2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4 40页

第四章　指数函数与对数函数 4.1 　指　　数 4.1.1 　 n 次方根与分数指数幂 必备知识 · 自主学习 导思 1. 在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有其他次方的方根？怎样表示？ 2. 在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指数不是正整数时，有什么含义和运算性质？ 1.n 次方根 如果 x n =a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 ，且 n∈N * . 可用下表表示： 提示： 不一定 . 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，且互为相反数，当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一个且仍为正数 . 2. 根式 (1) 式子 叫做根式， n 叫做根指数， a 叫做被开方数 . (2) 性质：当 n>1 ， n∈N * 时， ① ( ) n = __ ； ② = a 【 思考 】 式子 ( ) 4 与 中的 a 的范围一样吗？ 提示： 不一样，式子 ( ) 4 中 a≥0 ， 中 a∈R. 3. 分数指数幂的意义 (a>0 ， m ， n∈N * ，且 n>1) 【 思考 】 分数指数幂中，为什么规定底数 a>0 ？ 提示： 当 a=0 时， a 0 及 a 的负分数指数幂没有意义； 当 a<0 时，若 n 为偶数， m 为奇数，则 无意义 . 4. 有理数指数幂的运算性质 (a>0 ， b>0 ， r ， s∈Q) (1)a r a s =a r+s . 　　 (2)(a r ) s =a rs . (3)(ab) r =a r b r . 【 思考 】 同底数幂相除 a r ÷a s ，同次的指数幂相除 分别等于什么？ 提示： (1)a r ÷ a s =a r-s ； (2) . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) =-2. ( 　　 ) (2)∀a∈R ， (a 2 +1) 0 =1. ( 　　 ) (3) . ( 　　 ) 提示： (1) × . =2. (2)√.∀a∈R ， a 2 +1≠0 ，所以有 (a 2 +1) 0 =1. (3) × . . 2. 下列运算中正确的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a 2 a 3 =a 6 B.(-a 2 ) 3 =(-a 3 ) 2 C.( -1) 0 =1 D.(-a 2 ) 5 =-a 10 【 解析 】 选 D.a 2 a 3 =a 2+3 =a 5 ， (-a 2 ) 3 =-a 2×3 =-a 6 ， (-a 3 ) 2 =a 6 ，当 a=1 时， ( -1) 0 无意义， (-a 2 ) 5 =-a 10 . 3.( 教材二次开发：习题改编 ) =_______.  【 解析 】 =|x-2|= 答案： 关键能力 · 合作学习 类型一　 n 次方根的概念及相关的应用 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-6 B.2 -2 C.2 D.6 2. 把 (a-1) 根号外的 (a-1) 移到根号内等于 ( 　　 ) 3. 若 ，则实数 a 的取值范围是 _______.  【 解析 】 1. 选 A. -4, 所以原式 =-6+4- -4=-6. 2. 选 C. 由 ≥ 0 ，得 a<1 ，则 a-1<0 ， 所以 (a-1) 3. 因为 所以 1-3a≥0 ，所以 a≤ . 答案： 【 解题策略 】 根式化简与求值的思路及注意点 (1) 思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进 行化简 . (2) 注意点： ①正确区分 ( ) n 与 两式 . ② 运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方 公式的运用，必要时要进行讨论 . 【 补偿训练 】 若 n0 ，所以原式 =-(m+n)-(m-n)=-2m. 类型二　根式的化简、分数指数幂求值 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1. 化简 的结果是 ( 　　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C.3 D.5 2. (a>0) 的分数指数幂表示为 ( 　　 ) D. 都不对 3. 化简 (a>0) 的结果是 ( 　　 ) 【 思路导引 】 1. 2. 从里向外依次化为指数式 . 3. 化为指数式后利用指数运算性质计算 . 【 解析 】 1. 选 A. 原式 = 2. 选 A. 3. 选 B. 【 解题策略 】 根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1) 方法：根指数 分数指数的分母， 被开方数 ( 式 ) 的指数 分数指数的分子 . (2) 思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题 . 提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出 . 【 跟踪训练 】 1. 求值 =_______.   【 解析 】 原式 = 答案： 2. 用分数指数幂表示 a· =_______.  【 解析 】 原式 =a· 答案： 类型三　分数指数幂运算性质的应用 ( 数学运算 ) 角度 1 　化简问题  【 典例 】 (2020· 衡阳高一检测 ) =_______.( 式中的字母均是 正数 )  【 思路导引 】 将根式化为分数指数幂，然后进行运算 . 【 解析 】 原式 = 答案： 【 变式探究 】 将本例中的式子变为 ，试计算 . 【 解析 】 原式 =5×(-4)× 　角度 2 　求值问题  【 典例 】 计算： 【 思路导引 】 将各个因式求值后计算 . 【 解析 】 原式 = -1+2=2. 【 解题策略 】 关于指数式的化简、求值问题 (1) 无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减 . (2) 仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错 . 【 跟踪训练 】 计算下列各式： (1)(2020 · 南通高一检测 ) (2) 【 解析 】 (1) 原式 = (2) =[2×(-3)÷(-6)] =x 2 y. 课堂检测 · 素养达标 1. 下列各等式中成立的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. (a>0) B. (a>0) C. (a>0) D. (a>0) 【 解析 】 选 B. 由于 a>0 ，又因为 ， ， ， ， 所以成立的是 . 2. 若 x<3 ，则 -|x-6| 的值是 ( 　　 ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 【 解析 】 选 A. 若 x<3 ，则 x-3<0 ， x-6<0 ，所以 -|x-6|=|x-3|-|x-6|= 3-x+x-6=-3. 3. 设 a>0 ，将 表示成分数指数幂，其结果是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由题意 4.( 教材二次开发：练习改编 ) 计算 ( · ) 6 ·b 2 =_______.  【 解析 】 ( · ) 6 ·b 2 =a 3 ·b -2 ·b 2 =a 3 . 答案： a 3 5. -(1-0.5 -2 )÷ 的值为 _______.  【 解析 】 原式 =1-(1-2 2 ) ÷ =1-(-3) × = . 答案： 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 n 次方根 分数指数幂的意义 有理数指数幂的运算性质 概念 性质 表示 转化法：根式的运算转化为幂的运算，最后将结果转化为根式 1. 的形式化简对 n 要分奇偶讨论 2. 的形式化简已包含使根式有意义的条件 3. 代数式的化简结果不能同时含有根式和分数指数 1. 数学抽象：通过根式概念的形成过程，培养数学抽象的核心素养 2. 数学运算：通过分数指数幂的化简求值，培养数学运算的核心素养