【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.7.1 利用空间向量求线线角与线面角 7页

- 1 - 9.7.1 利用空间向量求线线角与线面角 核心考点·精准研析 考点一 异面直线所成的角 1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1= ,则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 2.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦 值为 ( ) A. B. C. D. 3.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若 AB1 与直线 A1C 的夹角的余弦值是 ,则棱 AB 的长度是________________. 4.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点, =λ ,若异面直线 D1E 和 A1F 所 成角的余弦值为 ,则λ的值为________________. 【解析】1.选 C.以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0, ),B1(1,1, ), 所以 =(-1,0, ), =(1,1, ),设异面直线 AD1 与 DB1 所成角为α, - 2 - 则 cos α=|cos , |= = . 2.选 C.建立如图所示空间直角坐标系. 设 BC=CA=CC1=2,则可得 A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以 =(1,-1,2), =(-1,0,2). 所以 cos< , >= = = = . 3.如图建立空间直角坐标系.设 AB=a,则 A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2), C(0,1,0),所以 =(a,0,2), =(0,1,-2),所以 = = = ,解得 a=1,所以棱 AB 的长度是 1. 答案:1 4.以 D 为原点,以 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为 2,则 A1 ,D1 ,E ,A , 所以 = , = + = +λ = + - 3 - λ = ,所以 cos< , >= = = ,解得λ= (λ=- 舍去). 答案: 求异面直线所成的角的两个关注点 (1)用向量方法求两条异面直线所成的角, 是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的. (2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈ 0, ,两方向向量的夹角α的范围是(0,π),所以要注意二者的 区别与联系,应有 cos θ=|cos α|. 【解析】选 C.由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且 BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体. 建立如图所示空间直角坐标系. 设正方体棱长为 2,则可得 A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2), 所以 =(-1,-1,2), =(0,1,2). 所以 cos< , >= = = = . 考点二 直线与平面所成的角 【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把△DFC 折 起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF⊥BF. - 4 - (1)证明:平面 PEF⊥平面 ABFD. (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 【解题导思】 序号 联想解题 (1)要证面面垂直,先想到判定定理 (2)要求线面角,考虑用向量法,想到如何建立空间坐标系. 【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F, 所以 BF⊥平面 PEF. 又 BF 平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD. (2)方法一:作 PH⊥EF,垂足为 H. 由(1)得,PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点, 的方向为 y 轴正方向,设正方形 ABCD 的边长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz. 由(1)可得,DE⊥PE. 又 DP=2,DE=1,所以 PE= . 又 PF=1,EF=2,故 PE⊥PF. 可得 PH= ,EH= . 则 H(0,0,0),P ,D , = , = 为平面 ABFD 的 一个法向量. - 5 - 设 DP 与平面 ABFD 所成角为θ, 则 sin θ= = = . 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 . 方法二:因为 PF⊥BF,BF∥ED,所以 PF⊥ED, 又 PF⊥PD,ED∩DP=D,所以 PF⊥平面 PED, 所以 PF⊥PE, 设 AB=4,则 EF=4,PF=2,所以 PE=2 , 过 P 作 PH⊥EF 交 EF 于 H 点, 由平面 PEF⊥平面 ABFD, 所以 PH⊥平面 ABFD,连接 DH, 则∠PDH 即为直线 DP 与平面 ABFD 所成的角, 由 PE·PF=EF·PH,所以 PH= = , 因为 PD=4,所以 sin∠PDH= = , 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 . 利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面 所成的角. 如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面为菱形,∠BAD=120°,AB=2,E,F 分别为 CD,AA1 的中点. - 6 - (1)求证:DF∥平面 B1AE. (2)若 AA1⊥底面 ABCD,且直线 AD1 与平面 B1AE 所成线面角的正弦值为 ,求 AA1 的长. 【解析】(1)设 G 为 AB1 的中点,连接 EG,GF, 因为 FG A1B1,又 DE A1B1, 所以 FG DE,所以四边形 DEGF 是平行四边形, 所以 DF∥EG,又 DF⊈ 平面 B1AE,EG ⫋ 平面 B1AE,所以 DF∥平面 B1AE. (2)因为ABCD是菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形.取BC中点M,则AM⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD, 所以 AA1⊥AM,AA1⊥AD,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,令 AA1=t(t>0), 则 A(0,0,0),E , ,0 ,B1( ,-1,t),D1(0,2,t), = , ,0 , =( ,-1,t), =(0,2,t), 设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z), - 7 - 则 n· = (x+ y)=0 且 n· = x-y+tz=0,取 n=(- t,t,4),设直线 AD1 与平面 B1AE 所成角 为θ,则 sin θ= = = ,解得 t=2,故线段 AA1 的长为 2.