2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练19 等比数列的运算和性质 23页

考点 19 等比数列的运算和性质 【考点分类】 热点一 等比数列的基本计算 1.【2013 年全国高考新课标（I）文科】设首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】等比数列 x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（ ） A.-24 B.0 C.12 D.24 3.【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，已知 S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则 a1= （ ） （A） （B）- （C） （D）- 4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 . 1 2 3 { }na n nS 2 1n nS a= − 3 2n nS a= − 4 3n nS a= − 3 2n nS a= − { }na 1 2− 1 2 3 4| | | |a a a a+ + + = 5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】 . 6【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】若等比数列 满足 ， ，则 公比 _____;前 项 _____. 7.（2012 年高考（浙江理））设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若 , , 则 q =______________. 【答案】 8．（2012 年高考（辽宁理））已知等比数列 为递增数列,且 ,则数列的通项 公式 ______________. 2 5 10 2 1,2( ) 5n n na a a a a+ += + = { } { } 1 3n n na S a n a a已知等比数列 是递增数列, 是 的前 项和. 若 ， 是方程 2 65 4 0x x S− + = =的两个根，则 { }na 2 4 20a a+ = 3 5 40a a+ = q = n nS = 2 23 2S a= + 4 43 2S a= + 3 2 { }na na = 9．（2012 年高考（北京文））已知 为等比数列.下面结论中正确的是 （　　）[来源:学。科。网 Z。X。X。K] A． B． C．若 ,则 D．若 ,则 10．（2012 年高考（辽宁文））已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列{an}的公比 q = ___________. 11．（2012 年高考（课标文））等比数列{ }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 =_______. 12．（2012 年高考（江西文））等比数列 的前 项和为 ,公比不为 1.若 ,且对任意的 都 有 ,则 _________________. 13.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在等比数列 中， ，且 为 和 { }na 1 3 22a a a+ ≥ 2 2 2 1 3 22a a a+ ≥ 1 3a a= 1 2a a= 3 1a a> 4 2a a> na q { }na n nS 1 1a = *n N∈ 2 1 2 0n n na a a+ ++ − = 5S = { }na 2 1 2a a− = 22a 13a 3a 的等差中项，求数列 的首项、公比及前 项和. 14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】 已知等比数列 满足： ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由. { }na n { }na 2 3| | 10a a− = 1 2 3 125a a a = { }na m 1 2 1 1 1 1 ma a a + + + ≥ m 【方法总结】 1.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元 的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用． 2．在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公式 q 是否等于 1 的判断和讨论． 3.关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计 算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵 活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量．[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 热点二 等比数列性质的应用 15.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】若等比数列{an}满足 a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比 q= ；前 n 项和 Sn= . 16.【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在正项等比数列 中， ， . 则满足 的最大正整数 的值为 . { }na 5 1 2a = 6 7 3a a+ = 1 2 1 2n na a a a a a+ +⋅⋅⋅+ > ⋅⋅⋅ n 17．（2012 年高考（新课标理））已知 为等比数列, , ,则 （　　） A． B． C． D． 18．（2012 年高考（安徽理））公比为 等比数列 的各项都是正数,且 ,则（　　） A． B． C． D． 19．（2012 年高考（广东文））(数列)若等比数列 满足 ,则 _________. { }na 5 6 8a a = − 1 10a a+ =4 7 2a a+ = 7 5 −5 −7 3 2 { }na 3 11 16a a = 4 5 6 7 { }na 2 4 1 2a a = 2 1 3 5a a a = 20.【2013 年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知首项为 的等比数列 不是递减数列, 其前 n 项和为 , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 的通项公式; (Ⅱ) 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值. 【方法总结】 1.等比数列的单调性． (1)Error!或Error!⇔{an}为递增数列； (2)Error!或Error!⇔{an}为递减数列； (3)q＝1⇔{an}为非零常数列； (4)q<0⇔{an}为摆动数列． 2．等比数列其他性质． 3 2 { }na ( *)nS n∈ N { }na *( )1 n n n T S nS ∈= − N { }nT (1)若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，{1 an}也是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn} 也是等比数列． (2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍成等比数列． (3)若等比数列{an}的项数为 2n，则S偶 S奇＝q，其中 S 偶，S 奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和． (4)an am ＝qn－m(m，n∈N*) 热点三 等比数列定义以其应用 21.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知数列 满足 ， ，则 的 前 10 项和等于（ ） A． B． C． D． 22.【2013 年普通高等学校招生全国统一 考试福建卷理】 已知等比数列 的公比为 ，记 ， ， ，则以下结论一定正确的 是（　　） A. 数列 为等差数列，公差为 　B. 数列 为等比数列，公比为 [来源:学_科_网] C. 数列 为等比数列，公比为 　D. 数列 为等比数列，公比为 ，所以等比，且以 为公比. 23．（2012 年高考（湖北理））定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 , 仍 是等比数列,则称 为“保等比数列函数”. 现有定义在 上的如下函数:① ; ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( )f x { }na { ( )}nf a ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 2( )f x x= { }na 13 0n na a+ + = 2 4 3a = − { }na 106(1 3 )−− − 101 (1 3 )9 − 103(1 3 )−− 103(1 3 )−+ { }na q mnmnmnmn aaab +−+−+− +⋅⋅⋅++= )1(2)1(1)1( mnmnmnmn aaab +−+−+− ∗⋅⋅⋅∗∗= )1(2)1(1)1( ( )*, Nnm ∈ { }nb mq { }nb mq2 { }nc 2mq { }nc mmq ( ) 21 1 2 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) mm mn mn mn mn m n m n m n m n m c a a a q qc a a a + + + + − + − + − + = = =    2mq 2mq ② ; ③ ; ④ .则其中是“保等比数列函数”的 的序号为 （　　） A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 24.【2013 年普通高等学校招 生全国统一考试（江西卷）文科】某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 等于 . 25.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 不是等比数列. ( ) 2xf x = ( ) | |f x x= ( ) ln | |f x x= ( )f x ( )n n N+∈ { }na { }na { 1}na + 26.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 设 Sn 表示数列 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 , 且对所有正整数 n, 有 . 判断 是否为等比数列. 并证明你的结论. 解：(Ⅰ)解法一：设 公差为 d,，则 又 { }na { }na 1 1, 0a q= ≠ 1 1 n n qS q −= − { }na { }na ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 12 1n nS a a a a a d a d a n d= + + + = + + + + +⋅⋅⋅+ + −   ( ) ( ) ( )2 2 1n n n n nS a a d a d a n d−= + − + − +⋅⋅⋅+ − −   ( )12 n nS n a a∴ = + ( )1 2 n n n a aS +∴ = 【方法总结】 1.等比数列的判定方法： (1)定义法：若an＋1 an ＝q(q 为非零常数)或 an an－1 ＝q(q 为非零常数且 n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中 an≠0 且 a 2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均为不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数 列． (4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为常数且 k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数 列． 需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选 择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等 比即可． 2．解决与等比数列有关问题的常见思想方法： (1)函数思想：在等比数列{an}中，an＝a1 q ·qn，它的各项是函数 y＝a1 q ·qx 图象上的一系列孤立的点． (2)方程思想：准确分析 a1，q，an，Sn，n 之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”． (3)分类讨论思想：无论是等比数列的前 n 项和公式的给出，还是等比数列单调性的划分都体现了分 类讨论思想的具体运用． (4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同 有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．(5)整体思想：等比数列{an}的前 n 项和 公式 Sn＝a1－anq 1－q ＝ a1 1－q － a1 1－q·qn(q≠1)，常把 a1 1－q 视为一个整体，其前 n 项和公式可写成 Sn＝k－k qn，k＝ a1 1－q(q≠1)的形式，这对于解答选择题、填空题是很有帮助的． 【考点剖析】 一．明确要求 1.理解等比数列的概念． 2．考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用． 3．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定． 二．命题方向 1.等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点． 2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、 基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法． 3．题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高. 三．规律总结 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， 同乘 q 得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn ， 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn 1－q (q≠1)． 两个防范 (1)由 an＋1＝qan，q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特 殊情形导致解题失误． 三种方法 等比数列的判断方法有： (1)定义法：若an＋1 an ＝q(q 为非零常数)或 an an－1 ＝q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且 a 2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数 列．注：前两种方法也可用来证明一个数 列为等比数列． 【考点模拟】 一．扎实基础 1. 【2013 安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知正数数列 是等比数列，若 ， ，则公 比 q=（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 2. 【 河 北 省 邯 郸 市 2013 年 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 】 设数列{an}是以 2 为首项， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ， {bn}是 以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 等于（ ） A. 78 B. 84 C. 124 D. 126 3. 【成都龙泉驿区 2013 届 5 月高三数学押题试卷】各项均为正数的等比数列{ }的 前 n 项和为 ，若 ＝2， ＝14，则 等于（ ） A．80 B．30 C．26 D．16 4. 【山东省济宁市 2013 届高三上学期期末考试】已知在等比数列 中， ，则该等比 数列 的公比为（ ） A. B. C.2 D.8 5. 【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】 在正项等比数列 中， 和 为方 程 的两根，则 (　 ) { }na 3 11 16a a• = 5 1a = 1 2 2 2 2 2 2 3 11 7 7 516 4 2a a a a a q q= = ⇒ = = × ⇒ = 1 2 6a a ab b b+ +⋅⋅⋅+ na nS nS 3nS 4nS { }na 1 3 4 6 510, 4a a a a+ = + = 1 4 1 2 { }na 1a 19a 016102 =+− xx =12108 aaa (A)16 (B)32 (C)64 (D)256 ∴ .选 C. 6. 【2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】在正项等比数列 中，已知 ， ， ，则 （ ） A. 11 B. 12 C. 14 D. 16 7. 【河南 中原名校 2012—2013 学年度第一学期期中联考】[在等比数列 中，若 a3=－9，a7=－1，则 a5 的值等于（ ） A．3 或－3 B．3 C．－3 D．不存在 8. 【2013 年浙江省高考测试卷】设数列 （ ） A．若 ，则 为等比数列 B．若 ，则 为等比数列 C．若 ，则 为等比数列 D．若 ，则 为等比数列 D．若 643 1012108 == aaaa { }na 1 2 3 4a a a = 4 5 6 12a a a = 1 1 324n n na a a− + = n = { }na { }na 2 *4 ,n na n N= ∈ { }na 2 * 2 1,n n na a a n N+ +• = ∈ { }na *2 , ,m n m na a m n N+• = ∈ { }na * 3 1 2 ,n n n na a a a n N+ + +• = • ∈ { }na 9. 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】在等比数列 中， ，则公比 ， . 10. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 等比数列{ }中， ，则 等于 . 二．能力拔高 11. 【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三下学期 6 月适应性考试】在等比数列 中,若 ,则 （ ） A． B ． C ． D． 【答案】D 【解析】由 ，所以 ， ，故选 D 12. 【2013 年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】 在正项等比数列 中， ,则 的值是 ( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 13. 【内蒙古赤峰市 2013 届高三最后一次仿真统考】已知 为等比数列 的前 n 项和， 为数列 的前 n }{ na 3lglglg 963 =++ aaa 111aa { }na 1 4 1= , = 42a a - =q 1 2 3+ + + + =na a a a na 1 2 3 420, 40a a a a+ = + = 5 6a a+ { }na 3 5 7 8a a a = 2 8a a = 4 4− 2 2− 3 3 5 7 5 8a a a a= = 5 8a = 2 2 8 5 4a a a⋅ = = nS { }na nT 1{ } na 项和，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 14. 【东北三校 2013 届高三 4 月第二次联考】已知数列 为等比数列， 是它的前 n 项和，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 等于( ) A． B． C． D． 15. 【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】等比数列 中 ，公比 ， 记 （即 表示数列 的前 项之积）， ， ， ， 中值为正数的个数 是（ ） A． B． C． D． 16. 【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考】 已知数列 为等比数列， ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． }{ na 274 =+ aa 865 −=⋅ aa 101 aa + 7 5− 5 7− 4 15 8S = 4 5 3T = 1 4a a 4 3 3 4 5 8 9 8 { }na nS 3 5 1 1 4a a a= 4a 7a 9 8 5S 35 33 31 29 { }na 5121 =a 2 1−=q 1 2n na a a∏ = × × × n∏ { }na n 8 ∏ 9 ∏ 10 ∏ 11∏ 2 3 4 17. 【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知 是等比数列, ，则 的取值范围是（ ） A. [12,16) B.[8,16) C. D. 【答案】C 【解析】依题意知 ， ，∴ ∴ . 18. 【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】设等比数列 的前 n 项积为 ，（ ），已知 ，且 ，则 m= . 19. 【陕西省宝鸡市 2013 届高三 3 月份第二次模拟考试】 已知在公比不等于 1 的等比数列 中， 成等差数列. （1） 求证： 成等差数列； （2） 若 ，数列 的前项和为 ，求证： }{an aaa 582 ,, sss 7104 ,, 11 =a }{ 3an T n 2