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  • 2021-07-01 发布

人教A数学必修二直线与圆的位置关系

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‎4. 2.1 ‎直线与圆的位置关系 ‎【教学目标】‎ ‎1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.‎ ‎2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想.‎ ‎3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯.‎ ‎【教学重难点】 ‎ 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.‎ 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系.‎ ‎【教学过程】‎ ㈠情景导入、展示目标 问题:‎ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?‎ 运用平面几何知识,你能解决这个问题吗?请同学们动手试一下.‎ ㈡检查预习、交流展示 ‎1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种?‎ ‎2.怎样判断直线与圆的位置关系呢?‎ ㈢合作探究、精讲精练 ‎ 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系?‎ 教师:利用坐标法,需要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应用起来简便,在这个实际问题中如何建立直角坐标系?‎ 学生:以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取‎10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为 轮船航线所在直线 l 的方程为 ‎.‎ 教师:请同学们运用已有的知识,从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.‎ 让学生自主探究,互相讨论,探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,鼓励学生积极、主动的探究.‎ ‎ 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法:‎ ‎ 方法一:代数法 ‎ 由直线与圆的方程,得: 消去y,得 因为 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。‎ ‎ 方法二:几何法 ‎ 圆心(0,0)到直线的距离 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响.‎ 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法?‎ ‎ 让学生通过实际问题的解决,对比总结,掌握方法.‎ ‎ ①代数法:‎ 由方程组,‎ 得,‎ ‎,则方程组有两解,直线与圆相交;,则方程组有一解,直线与圆相切;,则方程组无解,直线与圆相离.‎ ‎②几何法:‎ 直线与圆相交 ,则;直线与圆相切 ,则;直线与圆相离 ,则.‎ 例1 已知直线l:x+y-5=0和圆C:,判断直线和圆的位置关系.‎ ‎ 解析:方法一,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系.‎ 解:(法一)‎ 联立方程组,消y得 因为 所以直线与圆相交.‎ ‎(法二)‎ 将圆的方程化为.‎ 可得圆心C(2,-3),半径r=5.‎ 因为圆心到直线的距离d=<5,‎ 所以直线与圆相交.‎ 点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.‎ 变式1.判断直线x-y+5=0和圆C:的位置关系.‎ 解:将圆的方程化为.‎ 可得圆心C(2,-3),半径r=5.‎ 因为圆心到直线的距离d=>5,‎ 所以直线与圆相离.‎ 例2.求直线l:3x-y-6=0被圆C:截得的弦AB的长.‎ 解析:可以引导学生画图分析几何性质.‎ 解:(法一)‎ 将圆的方程化为.‎ 可得圆心C(1,2),半径r=.‎ 圆心到直线的距离 ‎.‎ 弦AB的长.‎ ‎(法二)‎ 联立方程组,消y得 ‎ 得,‎ 则,‎ 所以直线l被圆C截得的弦AB的长 ‎.‎ ‎(法三)‎ 联立方程组,消y得 根据一元二次方程根与系数的关系,有 直线l被圆C截得的弦AB的长 点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.‎ ‎ ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ‎ ‎  ㈤总结反思、共同提高 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0‎ 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r ‎△=0‎ 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r ‎△<0‎ ‎【板书设计】‎ 一. 直线与圆的位置关系 ‎ (1)相交,两个交点;‎ ‎(2)相切,一个交点;‎ ‎(3)相离,无交点.‎ 二.实例的解决 方法一 方法二 三. 判断直线与圆位置关系的方法 四. 例题 例1‎ 变式1‎ 例2‎ ‎ 【作业布置】‎ ‎ 导学案课后练习与提高 ‎4.2.1 ‎直线与圆的位置关系学案 课前预习学案 一. 预习目标 回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征,初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法.‎ 二. 预习内容 1. 初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种?‎ 2. 怎样判断直线与圆的位置关系呢?‎ 三. 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 ‎ 一.学习目标 ‎1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.‎ ‎2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想.‎ ‎3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯.‎ 学习重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.‎ 学习难点:用坐标法判直线与圆的位置关系.‎ 二. 学习过程 问题:‎ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西‎80km处,受影响的范围是半径长为‎30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北‎40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?‎ 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系?‎ 1. 如何建立直角坐标系?‎ 1. 根据直角坐标系写出直线和圆的方程.‎ ‎3.怎样用方程判断他们的位置关系?‎ 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法?‎ 例1 已知直线l:x+y-5=0和圆C:,判断直线和圆的位置关系.‎ 变式1.判断直线x-y+5=0和圆C:的位置关系.‎ 例2.求直线l:3x-y-6=0被圆C:截得的弦AB的长.‎ 三. 反思总结 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 四.当堂检测 ‎  1.已知直线与圆相切,则的值为( )‎ ‎    A.8 B.‎-18 C.-18或8 D.不存在 ‎  2.设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平 分线方程是 . ‎ ‎ 3.求经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y= -2x上的圆的方程.‎ 参考答案:1.C 2.‎ ‎3.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2‎ ‎  由题意则有 ‎  解得a=1,b=-2,r=,故所求圆的方程为 ‎     (x-1)2+(y+2)2=2.‎ 课后练习与提高 ‎ 1.直线与圆没有公共点,则的取值范围是( )‎ A.  B.  C. D. ‎ ‎ 2.圆在点处的切线方程为 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 3.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )‎ A.[] B.[] C.[ D.‎ ‎ 4.设直线与圆相交于、两点,且弦的长为,则________ ____.‎ ‎ 5.已知圆和直线. 若圆与直线没有公 共点,则的取值范围是 . ‎ ‎ 6.已知圆,定点P(4,0),问过P点的直线斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆(1)相切?(2)相交?(3)相离?‎