浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积含解析 19页

第2节　空间几何体的表面积与体积 考试要求　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.‎ ‎2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.表面积应为侧面积和底面积的和，要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.‎ ‎2.求空间几何体体积的常用方法 ‎(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.‎ ‎(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.‎ ‎(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)‎ ‎(2)球的体积之比等于半径比的平方.(　　)‎ ‎(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)‎ ‎(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)‎ 解析　(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.‎ ‎(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)‎ A.1 cm B.2 cm ‎ C.3 cm D. cm 解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).‎ 答案　B ‎3.(2020·北京通州期末)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中面积最小的侧面面积为(　　)‎ A.1 B. ‎ C.2 D. 解析　由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示：在此四棱锥P－ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC·PB＝×1×＝.‎ 答案　B ‎4.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3‎ ‎)是(　　)‎ A.2 B.4 ‎ C.6 D.8‎ 解析　由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选C.‎ 答案　C ‎5.(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.‎ 解析　设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，‎ ‎∴VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10.‎ 答案　10‎ ‎6.(2020·杭州质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3；表面积是________cm2.‎ 解析　由三视图得该几何体为一个长、宽、高分别为6，6，8的长方体挖去两个底面半径为3，高为4的圆锥体后剩余的部分，则其体积为6×6×8－2××4×π×32＝288－24π，表面积为2(6×6＋6×8＋6×8)－2×π×32＋2××5×2×π×3＝264＋12π.‎ 答案　288－24π　264＋12π 考点一　空间几何体的表面积 ‎【例1】 (1)(2020·温州适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是(　　)‎ A.8 cm2 B.12 cm2‎ C.(4＋2)cm2 D.(4＋4)cm2‎ ‎(2)(2020·浙江新高考仿真卷五)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A.1　　　　　　　　 B.2‎ C.4 D.8‎ 解析　(1)由视图得该几何体是底面为边长为2的正方形，高为2的正四棱锥，则其侧面的高为＝，所以该几何体的表面积为2×2＋4××2×＝4＋4，故选D.‎ ‎(2)由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为×4πr2＋πr2＋2r×2r＋×2πr×2r＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2，故选B.‎ 答案　(1)D　(2)B 规律方法　空间几何体表面积的求法.‎ ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.‎ ‎【训练1】 (1)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是________.‎ ‎(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P－ABCD，已知其体积为8，AB＝2，BC＝3，则该“阳马”的最长侧棱长为________，表面积为________.‎ 解析　(1)根据给定的三视图可知该几何体为个球体，其半径为2，因此该几何体的表面积为S＝×4π×22＋π×22＝16π.‎ ‎(2)由题意知，该“阳马”直观图如图所示.由体积V＝×AB×BC×PA＝8可知高PA＝4，∴该四棱锥的最长侧棱长PC＝＝，表面积为2×3＋(2×4＋3×4＋2×5＋3×2)＝21＋3.‎ 答案　(1)16π　(2)　21＋3 考点二　空间几何体的体积 ‎【例2】 (1)(一题多解)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A.90π B.63π ‎ C.42π D.36π ‎(2)(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.‎ 解析　(1)法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.‎ 将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.‎ 法二　(估值法)由题意知，V圆柱