高科数学专题复习课件：8_3　空间点、直线、平面之间的位置关系 69页

§8.3 　空间点、直线、平面之间的位置 关系 基础知识 　 自主学习 课时 作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 公理 1 ：如果一条直线上 的 在 一个平面内，那么这条直线在此平面内 . 公理 2 ： 过 的 三点，有且只有一个平面 . 公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们 过 该点的公共直线 . 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线 互相 . 1. 四个公理 知识梳理 两点 不在一条直线上 有且只有一条 平行 ① 定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a ′∥ a ， b ′∥ b ，把 a ′ 与 b ′ 所成 的 叫做 异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 ). ② 范围 ： . (1) 位置关系的分类 2. 直线与直线的位置关系 共面直线 直线 直线 异面直线：不同 在 一 个平面内，没有公共点 相交 平行 任何 (2) 异面直线所成的角 锐角 ( 或直角 ) 3. 直线与平面的位置关系 有 、 、 三 种情况 . 4. 平面与平面的位置关系 有 、 两种 情况 . 5. 等角定理 空间中如果两个角 的 ， 那么这两个角相等或互补 . 两边分别对应平行 平行 相交 直线在平面内 直线与平面相交 直线 与 平面 平行 1. 唯一性定理 (1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 . (2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 . (3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 . (4) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 . 2. 异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 如果两个不重合的平面 α ， β 有一条公共直线 a ，就说平面 α ， β 相交，并记作 α ∩ β ＝ a .( 　　 ) (2) 两个平面 α ， β 有一个公共点 A ，就说 α ， β 相交于过 A 点的任意一条直线 .( 　　 ) (3) 两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC .( 　　 ) (4) 经过两条相交直线，有且只有一个平面 .( 　　 ) (5) 没有公共点的两条直线是异面直线 .( 　　 ) 思考辨析 √ × √ × × 1. 下列命题正确的 个数为 ① 梯形可以确定一个平面； ② 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③ 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④ 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 . A.0 B.1 C.2 D.3 考点自测 答案 解析 ② 中两直线可以平行、相交或异面， ④ 中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交， ①③ 正确 . 2.(2016· 浙江 ) 已知互相垂直的平面 α ， β 交于直线 l . 若直线 m ， n 满足 m ∥ α ， n ⊥ β ， 则 A. m ∥ l B. m ∥ n C. n ⊥ l D. m ⊥ n 答案 解析 由已知， α ∩ β ＝ l ， ∴ l ⊂ β ，又 ∵ n ⊥ β ， ∴ n ⊥ l ， C 正确 . 3.( 2017· 合肥质检 ) 已知 l ， m ， n 为不同的直线， α ， β ， γ 为不同的平面，则下列判断正确 的是 A. 若 m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n B . 若 m ⊥ α ， n ∥ β ， α ⊥ β ，则 m ⊥ n C. 若 α ∩ β ＝ l ， m ∥ α ， m ∥ β ，则 m ∥ l D. 若 α ∩ β ＝ m ， α ∩ γ ＝ n ， l ⊥ m ， l ⊥ n ，则 l ⊥ α 答案 解析 m ， n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误 ； 根据 面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误 ； 根据 线面平行的性质可知 C 正确 ； 若 m ∥ n ，根据线面垂直的判定可知 D 错误，故选 C. 4.( 教材改编 ) 如图所示，已知在长方体 ABCD － EFGH 中， AB ＝ 2 ， AD ＝ 2 ， AE ＝ 2 ，则 BC 和 EG 所成角的大小是 ______ ， AE 和 BG 所成角的大小是 ________. 答案 解析 45° 60° ∵ BC 与 EG 所成的角等于 EG 与 FG 所成的角即 ∠ EGF ， tan ∠ EGF ＝ ＝ ＝ 1 ， ∴∠ EGF ＝ 45° ， ∴∠ GBF ＝ 60°. 5. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上，且 AB ∥ CD ，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ________. 答案 解析 4 EF 与正方体左、右两侧面均平行 . 所以与 EF 相交的侧面有 4 个 . 题型分类　深度剖析 题型一　平面基本性质的应用 例 1 　 (1)(2016· 山东 ) 已知直线 a ， b 分别在两个不同的平面 α ， β 内，则 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 α 和平面 β 相交 ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 α 和平面 β 相交 ； 若 平面 α 和平面 β 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. (2) 已知空间 四边形 ABCD ( 如图所示 ) ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， G 、 H 分别是 BC 、 CD 上的点，且 CG ＝ BC ， CH ＝ DC . 求证 ： ① E 、 F 、 G 、 H 四点共面 ； 证明 连接 EF 、 GH ，如图所示 ， ∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， ∴ EF ∥ BD . 又 ∵ CG ＝ BC ， CH ＝ DC ， ∴ GH ∥ BD ， ∴ EF ∥ GH ， ∴ E 、 F 、 G 、 H 四点共面 . 几何画板展示 ② 三直线 FH 、 EG 、 AC 共点 . 证明 易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴ 设 FH ∩ AC ＝ M ， ∴ M ∈ 平面 EFHG ， M ∈ 平面 ABC . 又 ∵ 平面 EFHG ∩ 平面 ABC ＝ EG ， ∴ M ∈ EG ， ∴ FH 、 EG 、 AC 共点 . 思维 升华 共面、共线、共点问题的证明 (1) 证明点或线共面问题的两种方法： ① 首先由所给条件中的部分线 ( 或点 ) 确定一个平面，然后再证其余的线 ( 或点 ) 在这个平面内； ② 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 . (2) 证明点共线问题的两种方法： ① 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； ② 直接证明这些点都在同一条特定直线上 . (3) 证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 . 跟踪训练 1 　如图，平面 ABEF ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形， ∠ BAD ＝ ∠ FAB ＝ 90° ， BC ∥ AD 且 BC ＝ AD ， BE ∥ AF 且 BE ＝ AF ， G 、 H 分别为 FA 、 FD 的中点 . ( 1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； 证明 由已知 FG ＝ GA ， FH ＝ HD ， ∴ 四边形 BCHG 为平行四边形 . (2) C 、 D 、 F 、 E 四点是否共面？为什么？ 解答 ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形， ∴ EF ∥ BG . ∴ EF ∥ CH ， ∴ EF 与 CH 共面 . 又 D ∈ FH ， ∴ C 、 D 、 F 、 E 四点共面 . 题型二　判断空间两直线的位置关系 例 2 　 (1)(2015· 广东 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α 内， l 2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的 是 A. l 与 l 1 ， l 2 都不相交 B. l 与 l 1 ， l 2 都相交 C. l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D. l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 答案 解析 若 l 与 l 1 ， l 2 都不相交，则 l ∥ l 1 ， l ∥ l 2 ， ∴ l 1 ∥ l 2 ，这与 l 1 和 l 2 异面矛盾， ∴ l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 . (2) 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别是 BC 1 ， CD 1 的中点，则下列判断错误的是 答案 解析 A. MN 与 CC 1 垂直 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与 A 1 B 1 平行 几何画板展示 连接 B 1 C ， B 1 D 1 ，如图所示 ， 则点 M 是 B 1 C 的中点， MN 是 △ B 1 CD 1 的中位线， ∴ MN ∥ B 1 D 1 ， 又 BD ∥ B 1 D 1 ， ∴ MN ∥ BD . ∵ CC 1 ⊥ B 1 D 1 ， AC ⊥ B 1 D 1 ， ∴ MN ⊥ CC 1 ， MN ⊥ AC . 又 ∵ A 1 B 1 与 B 1 D 1 相交， ∴ MN 与 A 1 B 1 不平行，故选 D . (3) 在图中， G 、 N 、 M 、 H 分别是正三棱柱 ( 两底面为正三角形的直棱柱 ) 的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH 、 MN 是异面直线的图形有 ________.( 填上所有正确答案的序号 ) 答案 解析 ②④ 图 ① 中，直线 GH ∥ MN ； 图 ② 中， G 、 H 、 N 三点共面，但 M ∉ 面 GHN ， 因此直线 GH 与 MN 异面； 图 ③ 中，连接 MG ， GM ∥ HN ，因此 GH 与 MN 共面； 图 ④ 中， G 、 M 、 N 共面，但 H ∉ 面 GMN ， 因此 GH 与 MN 异面 . 所以图 ②④ 中 GH 与 MN 异面 . 思维 升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定 . 对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 ( 梯形 ) 中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决 . 跟踪训练 2 　 (1) 已知 a ， b ， c 为三条不重合的直线，有下列结论： ① 若 a ⊥ b ， a ⊥ c ，则 b ∥ c ； ② 若 a ⊥ b ， a ⊥ c ，则 b ⊥ c ； ③ 若 a ∥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c . 其中正确的个数为 答案 解析 A.0 B.1 C.2 D.3 在空间中，若 a ⊥ b ， a ⊥ c ，则 b ， c 可能平行，也可能相交，还可能异 面所以 ①② 错， ③ 显然成立 . (2)(2016· 南昌一模 ) 已知 a 、 b 、 c 是相异直线， α 、 β 、 γ 是相异平面，则下列命题中正确的 是 A. a 与 b 异面， b 与 c 异面 ⇒ a 与 c 异面 B. a 与 b 相交， b 与 c 相交 ⇒ a 与 c 相交 C. α ∥ β ， β ∥ γ ⇒ α ∥ γ D. a ⊂ α ， b ⊂ β ， α 与 β 相交 ⇒ a 与 b 相交 答案 解析 如图 (1) ，在正方体中， a 、 b 、 c 是三条棱所在直线，满足 a 与 b 异面， b 与 c 异面，但 a ∩ c ＝ A ，故 A 错误 ； 在 图 (2) 的正方体中，满足 a 与 b 相交， b 与 c 相交，但 a 与 c 不相交，故 B 错误 ； 如 图 (3) ， α ∩ β ＝ c ， a ∥ c ，则 a 与 b 不相交，故 D 错误 . 题型三　求两条异面直线所成的角 例 3 　 (2016· 重庆模拟 ) 如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角为 ______. 答案 解析 如图，将原图补成正方体 ABCD － QGHP ，连接 GP ，则 GP ∥ BD ，所以 ∠ APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角， 在 △ AGP 中， AG ＝ GP ＝ AP ， 所以 ∠ APG ＝ . 引申 探究 在本例条件下，若 E ， F ， M 分别是 AB ， BC ， PQ 的中点，异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ ，求 cos θ 的 值 解答 设 N 为 BF 的中点，连接 EN ， MN ， 则 ∠ MEN 是异面直线 EM 与 AF 所成的角或其补角 . 不妨设正方形 ABCD 和 ADPQ 的边长为 4 ， 在 △ MEN 中，由余弦定理得 思维 升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1) 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2) 二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3) 三求：解三角形，求出作出的角 . 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 . 跟踪 训练 3 　已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 答案 解析 画出正四面体 ABCD 的直观图，如图所示 . 设其棱长为 2 ，取 AD 的中点 F ， 连接 EF ， 设 EF 的中点为 O ，连接 CO ， 则 EF ∥ BD ， 则 ∠ FEC 就是异面直线 CE 与 BD 所成的角 . △ ABC 为等边三角形， 则 CE ⊥ AB ， 故 CE ＝ CF . 因为 OE ＝ OF ，所以 CO ⊥ EF . 典例 　已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β 为两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若 m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n ，则 α ⊥ β ； ② 若 m ∥ α ， n ∥ β ， m ⊥ n ，则 α ∥ β ； ③ 若 m ⊥ α ， n ∥ β ， m ⊥ n ，则 α ∥ β ； ④ 若 m ⊥ α ， n ∥ β ， α ∥ β ，则 m ⊥ n . 其中所有正确的命题是 ________. 构造 模型判断空间线面位置关系 思想与方法系列 16 答案 解析 思想方法指 导 ①④ 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误 . 对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 . 返回 借助于长方体模型来解决本题，对于 ① ，可以得到平面 α 、 β 互相垂直，如图 (1) 所示，故 ① 正确 ； 对于 ② ，平面 α 、 β 可能垂直，如图 (2) 所示，故 ② 不正确 ； 对于 ③ ，平面 α 、 β 可能垂直，如图 (3) 所示，故 ③ 不正确 ； 对于 ④ ，由 m ⊥ α ， α ∥ β 可得 m ⊥ β ，因为 n ∥ β ，所以过 n 作平面 γ ，且 γ ∩ β ＝ g ，如图 (4) 所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m ⊥ g ，所以 m ⊥ n ，故 ④ 正确 . 返回 课时作业 1. 设 a ， b 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面， a ⊂ α ， b ⊥ β ，则 “ α ∥ β ” 是 “ a ⊥ b ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 若 a ⊂ α ， b ⊥ β ， α ∥ β ，则由 α ∥ β ， b ⊥ β ⇒ b ⊥ α ， 又 a ⊂ α ，所以 a ⊥ b ；若 a ⊥ b ， a ⊂ α ， b ⊥ β ， 则 b ⊥ α 或 b ∥ α 或 b ⊂ α ，此时 α ∥ β 或 α 与 β 相交， 所以 “ α ∥ β ” 是 “ a ⊥ b ” 的充分不必要条件，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 福州质检 ) 在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， E 、 F 分别为棱 AA 1 、 CC 1 的中点，则在空间中与直线 A 1 B 1 、 EF 、 BC 都相交的直线 A. 不存在 B . 有且只有两条 C. 有且只有三条 D . 有无数 条 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在 EF 上任意取一点 M ，直线 A 1 B 1 与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N ，当 M 的位置不同时确定不同的平面 ，从而 与 BC 有不同的交点 N ，而直线 MN 与 A 1 B 1 、 EF 、 BC 分别 有交点 P 、 M 、 N ，如图，故有无数条直线与 直线 A 1 B 1 、 EF 、 BC 都相交 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 对于任意的直线 l 与平面 α ，在平面 α 内必有直线 m ，使 m 与 l A . 平行 B . 相交 C. 垂直 D . 互为异面直线 √ 答案 解析 不论 l ∥ α ， l ⊂ α ，还是 l 与 α 相交， α 内都有直线 m 使得 m ⊥ l . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 在四面体 ABCD 的棱 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M ， 则 A. M 一定在直线 AC 上 B. M 一定在直线 BD 上 C. M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D. M 既不在 AC 上，也不在 BD 上 √ 答案 解析 由于 EF ∩ HG ＝ M ，且 EF ⊂ 平面 ABC ， HG ⊂ 平面 ACD ，所以点 M 为平面 ABC 与平面 ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为 AC ， 所以点 M 一定在直线 AC 上，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 四棱锥 P － ABCD 的所有侧棱长都 为 ， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 √ 答案 解析 因为四边形 ABCD 为正方形，故 CD ∥ AB ，则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角，即为 ∠ PAB . 利用余弦定理可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 下列命题中，正确的 是 A . 若 a ， b 是两条直线， α ， β 是两个平面，且 a ⊂ α ， b ⊂ β ，则 a ， b 是异 面 直线 B. 若 a ， b 是两条直线，且 a ∥ b ，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面 C. 若直线 a 与平面 α 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D. 若直线 a ∥ 平面 α ，点 P ∈ α ，则平面 α 内经过点 P 且与直线 a 平行的 直 线 有且只有一条 √ 答案 解析 对于 A ，当 α ∥ β ， a ， b 分别为第三个平面 γ 与 α ， β 的交线时，由面面平行的性质可知 a ∥ b ，故 A 错误 . 对于 B ，设 a ， b 确定的平面为 α ，显然 a ⊂ α ，故 B 错误 . 对于 C ，当 a ⊂ α 时，直线 a 与平面 α 内的无数条直线都平行，故 C 错误 . 易 知 D 正确 . 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2016· 南昌高三期末 ) 如图，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，底面为直角三角形 . ∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ 6 ， BC ＝ CC 1 ＝ ， P 是 BC 1 上一动点，则 CP ＋ PA 1 的最小值为 ________. 答案 解析 连接 A 1 B ，将 △ A 1 BC 1 与 △ CBC 1 同时展平形成一个平面四边形 A 1 BCC 1 ，则此时对角线 CP ＋ PA 1 ＝ A 1 C 达到最小，在等腰直角三角形 △ BCC 1 中， BC 1 ＝ 2 ， ∠ CC 1 B ＝ 45° ，在 △ A 1 BC 1 中， A 1 B ＝ ＝ 2 ， A 1 C 1 ＝ 6 ， BC 1 ＝ 2 ， ∴ A 1 C ＋ BC ＝ A 1 B 2 ，即 ∠ A 1 C 1 B ＝ 90°. 对于展开形成的四边形 A 1 BCC 1 ，在 △ A 1 C 1 C 中， C 1 C ＝ ， A 1 C 1 ＝ 6 ， ∠ A 1 C 1 C ＝ 135° ， 由余弦定理有， CP ＋ PA 1 ＝ A 1 C ＝ ＝ ＝ 5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图是正四面体 ( 各面均为正三角形 ) 的平面展开图， G 、 H 、 M 、 N 分别为 DE 、 BE 、 EF 、 EC 的中点，在这个正四面体中， ① GH 与 EF 平行； ② BD 与 MN 为异面直线； ③ GH 与 MN 成 60° 角； ④ DE 与 MN 垂直 . 以上四个命题中，正确命题的序号是 ________. 答案 解析 ②③④ 把正四面体的平面展开图还原，如图所示， GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线， GH 与 MN 成 60° 角， DE ⊥ MN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(2015· 浙江 ) 如图，三棱锥 A-BCD 中， AB ＝ AC ＝ BD ＝ CD ＝ 3 ， AD ＝ BC ＝ 2 ，点 M ， N 分别是 AD ， BC 的中点，则 异面 直线 AN ， CM 所成的角的余弦值 是 _____. 答案 解析 如图所示，连接 DN ，取线段 DN 的中点 K ，连接 MK ， CK . ∵ M 为 AD 的中点， ∴ MK ∥ AN ， ∴∠ KMC 为异面直线 AN ， CM 所成的角 . ∵ AB ＝ AC ＝ BD ＝ CD ＝ 3 ， AD ＝ BC ＝ 2 ， N 为 BC 的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在 △ CKM 中，由余弦定理，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10.( 2017· 郑州质检 ) 如图，矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 AD ， E 为边 AB 的中点，将 △ ADE 沿直线 DE 翻折成 △ A 1 DE . 若 M 为线段 A 1 C 的中点，则在 △ ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是 ________. 答案 解析 ① BM 是定值； ② 点 M 在某个球面上运动； ③ 存在某个位置，使 DE ⊥ A 1 C ； ④ 存在某个位置，使 MB ∥ 平面 A 1 DE . ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 取 DC 中点 F ，连接 MF ， BF ， MF ∥ A 1 D 且 MF ＝ A 1 D ， FB ∥ ED 且 FB ＝ ED ， 所以 ∠ MFB ＝ ∠ A 1 DE . 由余弦定理可得 MB 2 ＝ MF 2 ＋ FB 2 － 2 MF · FB ·cos ∠ MFB 是定值，所以 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的球上，可得 ①② 正确； 由 MF ∥ A 1 D 与 FB ∥ ED 可得平面 MBF ∥ 平面 A 1 DE ，可得 ④ 正确 ； A 1 C 在平面 ABCD 中的投影与 AC 重合， AC 与 DE 不垂直，可得 ③ 不正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 为正方形 ABCD 的中心， H 为直线 B 1 D 与平面 ACD 1 的交点 . 求证 ： D 1 、 H 、 O 三点共线 . 证明 如图，连接 BD ， B 1 D 1 ， 则 BD ∩ AC ＝ O ， ∵ BB 1 綊 DD 1 ， ∴ 四边形 BB 1 D 1 D 为平行四边形，又 H ∈ B 1 D ， B 1 D ⊂ 平面 BB 1 D 1 D ， 则 H ∈ 平面 BB 1 D 1 D ， ∵ 平面 ACD 1 ∩ 平面 BB 1 D 1 D ＝ OD 1 ， ∴ H ∈ OD 1 . 即 D 1 、 H 、 O 三点共线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图所示，等腰直角三角形 ABC 中， ∠ A ＝ 90° ， BC ＝ ， DA ⊥ AC ， DA ⊥ AB ，若 DA ＝ 1 ，且 E 为 DA 的中点 . 求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 . 解答 如图所示，取 AC 的中点 F ，连接 EF ， BF ， 在 △ ACD 中， E 、 F 分别是 AD 、 AC 的中点， ∴ EF ∥ CD . ∴∠ BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角 . 在 Rt △ EAB 中， AB ＝ AC ＝ 1 ， AE ＝ AD ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 D 1 C 1 ， C 1 B 1 的中点， AC ∩ BD ＝ P ， A 1 C 1 ∩ EF ＝ Q . 求证： (1) D 、 B 、 F 、 E 四点 共面； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图所示，因为 EF 是 △ D 1 B 1 C 1 的中位线 ， 所以 EF ∥ B 1 D 1 . 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， B 1 D 1 ∥ BD ， 所以 EF ∥ BD . 所以 EF ， BD 确定一个平面 . 即 D 、 B 、 F 、 E 四点共面 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 A 1 C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P ， Q ， R 三点共线 . 证明 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， 设平面 A 1 ACC 1 确定的平面为 α ， 又设平面 BDEF 为 β . 因为 Q ∈ A 1 C 1 ，所以 Q ∈ α . 又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈ β . 则 Q 是 α 与 β 的公共点， 同理， P 点也是 α 与 β 的公共点 . 所以 α ∩ β ＝ PQ . 又 A 1 C ∩ β ＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ，则 R ∈ α 且 R ∈ β . 则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13