2019-2020学年高中数学课时作业19二项分布北师大版选修2-3 8页

课时作业(十九)‎ ‎1．独立重复试验应满足的条件：‎ ‎①每次试验之间是相互独立的；‎ ‎②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；‎ ‎③每次试验发生的机会是均等的；‎ ‎④各次试验发生的事件是互斥的．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②　　　　　　　　　　 B．②③‎ C．①②③ D．①②④‎ 答案　C ‎2．已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，)，则P(X＝2)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　P(X＝2)＝C62×()2×(1－)6－2＝C62×()2×()4＝.‎ ‎3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　每种颜色的球被抽取的概率为，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C31()3＝3×＝.‎ ‎4．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次试验中，发生k次的概率为(　　)‎ A．1－pk B．(1－p)k·pn－k C．(1－p)k D．Cnk(1－p)k·pn－k 答案　D ‎5．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)的值为(　　)‎ 8‎ A．C32()2× B．C32()2× C．()2× D．()2× 答案　C 解析　当ξ＝3表示前2次测出的都是次品，第3次为正品，则P(ξ＝3)＝()2×.‎ ‎6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是(　　)‎ A．()5 B．C52()5‎ C．C53()3 D．C52C53()5‎ 答案　B 解析　由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B(5，)，∴P(ξ＝2)＝C52()2()3.‎ ‎7．(2015·合肥高二检测)在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C40p0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝.‎ ‎8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________．‎ 答案　 解析　任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，)，即有P(ξ＝k)＝C5k()k×()5－k，k＝0，1，2，3，4，5.‎ 8‎ ‎∴P(ξ＝4)＝C54()4×()1＝.‎ ‎9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．‎ 答案　0.947 7‎ 解析　至少3人被治愈的概率为C43(0.9)3·0.1＋(0.9)4＝0.947 7.‎ ‎10．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．‎ 答案　 解析　记Ar(r＝0，1，2，…，6)为“r个人同时上网”这个事件，则其概率为P(Ar)＝C6r0.5r(1－0.5)6－r＝C6r0.56＝C6r，‎ ‎“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6，因为A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为 P＝P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝(C63＋C64＋C65＋C66)＝×(20＋15＋6＋1)＝.‎ ‎11．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9；‎ ‎②他恰好击中目标3次的概率是0.1×0.93；‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案　①③‎ 解析　由题意可知①③正确，②不正确，因为恰好击中目标3次的概率P＝C430.93×0.1.‎ ‎12．2015年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是.‎ ‎(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；‎ ‎(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．‎ 解析　(1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i＝1，2，3，4)，则P(Ai)＝，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为 8‎ P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝××＝.‎ ‎(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故 P(B)＝C43×()3×＋C44×()4＝.‎ ‎13．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列．‎ 解析　补种费用ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.670‎ ‎0.287‎ ‎0.041‎ ‎0.002‎ 点评　每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝，所以每个坑不需要补种的概率为p＝1－＝.利用3次独立重复试验的公式求解即可．‎ ‎14．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.‎ ‎(1)求油罐被引爆的概率；‎ ‎(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．‎ 解析　(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件发生的概率为C51··()4＋()5.所以所求的概率为 ‎1－[C51··()4＋()5]＝.‎ ‎(2)当ξ＝4时记事件为A，则P(A)＝C31××()2×＝.‎ 当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B，则P(B)＝C41××()3＋()4＝.‎ 所以所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.‎ ‎15．如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物 8‎ 上顶点时，向左、右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(n，m)．‎ ‎(1)求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；‎ ‎(2)已知f(x)＝ 设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f(m)，试求ξ的分布列．‎ 解析　(1)P(4，1)＝C30()3＝，‎ P(4，2)＝C31()3＝，‎ 猜想P(n，m)＝Cn－1m－1()n－1.‎ ‎(2)ξ＝3，2，1，P(ξ＝3)＝P(6，1)＋P(6，6)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(6，2)＋P(6，5)＝，‎ P(ξ＝1)＝P(6，3)＋P(6，4)＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ P ‎►重点班选做题 ‎16．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.301 0)‎ 解析　记事件A＝“种一粒种子，发芽”，‎ 则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.‎ 设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.‎ 因为每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则P()＝Cn0·0.80·0.2n＝0.2n.‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.‎ 8‎ 由题意有1－0.2n>98%，所以0.2n<0.02，两边取对数得nlg0.2≈2.43，且n∈N，所以n≥3.‎ 故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.‎ ‎17．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．‎ ‎(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎(3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．‎ 解析　记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．‎ ‎(1)∵C＝A·＋·B，‎ ‎∴P(C)＝P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.‎ ‎(2)∵＝·，‎ ‎∴P()＝P(·)＝P()·P()＝0.5×0.4＝0.2.‎ ‎∴P(D)＝1－P()＝0.8.‎ ‎(3)ξ～B(3，0.8)，ξ的取值为0，1，2，3.‎ P(ξ＝0)＝0.23＝0.008，‎ P(ξ＝1)＝C31×0.8×0.22＝0.096，‎ P(ξ＝2)＝C32×0.82×0.2＝0.384，‎ P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ ‎1．(2013·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则(　　)‎ 8‎ A．p1＝p2 B．p1p2 D．以上三种情况都有可能 答案　B 解析　∵p1＝1－()10，p2＝1－()5＝1－()5，‎ ‎∴p1