高考文科数学复习备课课件：第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 29页

文数 课标版 第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 1.平面向量的数量积 (1)向量 a 与 b 的夹角:已知两个非零向量 a , b ,过 O 点作   = a ,   = b ,则∠ AOB = θ (0 ° ≤ θ ≤ 180 ° )叫做向量 a 与 b 的夹角. 当①      θ =90 °      时, a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b ; 当②      θ =0 °      时, a 与 b 同向; 教材研读 当③      θ =180 °      时, a 与 b 反向. (2) a 与 b 的数量积 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 θ ,则把数量| a |·| b |·cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a · b =④ 　| a |·| b |·cos θ      . (3)规定 0 · a =0. (4)一个向量在另一个向量方向上的投影 设 θ 是 a 与 b 的夹角,则| a |cos θ 叫做 a 在 b 的方向上的投影,| b |cos θ 叫做 b 在 a 的方向上的投影. b 在 a 的方向上的投影是一个实数,而不是向量. (5) a · b 的几何意义 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ 的乘积. 2.向量的数量积的性质 设 a 、 b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, θ 是 a 与 e 的夹角,则 (1) e · a = a · e =| a |·cos θ . (2) a ⊥ b ⇔ ⑤      a · b =0     . (3)当 a 与 b 同向时, a · b =| a || b |. 当 a 与 b 反向时, a · b =-| a || b |. 特别地, a · a =| a | 2 . (4)cos θ =⑥             . (5)| a · b | ≤ | a |·| b |. 3.向量的数量积的运算律 (1) a · b = b · a . (2)( λ a )· b = λ ( a · b )= a ·( λ b )( λ ∈R). (3)( a + b )· c = a · c + b · c . 4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),则 a · b =⑦      x 1 x 2 + y 1 y 2      . (2)若 a =( x , y ),则 a · a = a 2 =| a | 2 = x 2 + y 2 ,| a |=⑧             . (3)若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则|   |=⑨             ,这就是平面内 两点间的距离公式. (4)若 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ), a , b 为非零向量,则 a ⊥ b ⇔ ⑩      x 1 x 2 + y 1 y 2 =0     . 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)由 a · b =0,可得 a = 0 或 b = 0 .   ( × ) (2)两向量 a ⊥ b 的充要条件: a · b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 =0.   ( × ) (3)若 a · b >0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a · b <0,则 a 和 b 的夹角为钝角.   ( × ) (4)( a · b )· c = a ·( b · c ).   ( × ) (5) a · b = a · c ( a ≠ 0 ),则 b = c .   ( × ) 1.两个非零向量 a 、 b 互相垂直,给出下列式子: ① a · b =0;② a + b = a - b ;③| a + b |=| a - b |;④| a | 2 +| b | 2 =( a - b ) 2 ;⑤( a + b )·( a - b )=0.其中 正确的式子有   (　　) A.2个　    B.3个　    C.4个　    D.5个 答案     B　①显然正确;由向量运算的三角形法则知 a + b 与 a - b 长度相 等、方向不同,所以②错误,③正确;由向量数量积的运算律可知( a - b ) 2 = | a | 2 +| b | 2 ,故④正确;只有在| a |=| b |时, a + b 与 a - b 才垂直,⑤错误.故选B. 2.设向量 a , b 满足| a |=| b |=1, a · b =-   ,则| a +2 b |=   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     B　| a +2 b |=   =   =   =   . 3.在边长为1的等边△ ABC 中,设   = a ,   = b ,   = c ,则 a · b + b · c + c · a =   (    　) A.-   　    B.0　    C.   　    D.3 答案     A　依题意有 a · b + b · c + c · a =   +   +   =-   ,故选A. 4.若非零向量 a , b 满足| a |=| b |,(2 a + b )· b =0,则 a 与 b 的夹角为   (　　) A.30 ° 　    B.60 ° 　    C.120 ° 　    D.150 ° 答案     C　设 a 与 b 的夹角为 θ , ∵(2 a + b )· b =0, ∴2 a · b + b 2 =0, ∴2| a |·| b |cos θ + b 2 =0, 又∵| a |=| b |, ∴2| a | 2 cos θ +| a | 2 =0, ∴cos θ =-   , 又∵0 ° ≤ θ ≤ 180 ° ,∴ θ =120 ° .故选C. 5.已知 a =( m +1,-3), b =(1, m -1),且( a + b )⊥( a - b ),则 m 的值是 　　　     . 答案 　-2 解析      a + b =( m +2, m -4), a - b =( m ,-2- m ), ∵( a + b )⊥( a - b ), ∴ m ( m +2)-( m -4)( m +2)=0, ∴ m =-2. 考点一　平面向量数量积的运算 典例1　(1)(2015课标Ⅱ,4,5分)向量 a =(1,-1), b =(-1,2),则(2 a + b )· a =(    　) A.-1　    B.0　    C.1　    D.2 (2)(2016天津,7,5分)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形,点 D , E 分别是 边 AB , BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE =2 EF ,则   ·   的值为   (　　) A.-   　    B.   　    C.   　    D.   答案 　(1)C　(2)B 解析 　(1)因为2 a + b =2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2 a + b )· a =(1, 0)·(1,-1)=1 × 1+0 × (-1)=1.故选C. 考点突破 (2)建立如图所示的平面直角坐标系.   则 B   , C   , A   ,所以   =(1,0). 易知 DE =   AC ,∠ FEC =∠ ACE =60 ° ,则 EF =   AC =   , 所以点 F 的坐标为   , 所以   =   , 所以   ·   =   ·(1,0)=   .故选B. 方法技巧 (1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利 用数量积的几何意义. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减 运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平 面角的关系是相等还是互补.另外,解决此类问题时,可建立坐标系,利用 向量的坐标表示求解. 1-1 　设向量 a =(-1,2), b =( m ,1),如果向量 a +2 b 与2 a - b 平行,那么 a 与 b 的数 量积等于   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案     D     a +2 b =(-1+2 m ,4),2 a - b =(-2- m ,3),由题意得3(-1+2 m )-4(-2- m )=0, 则 m =-   ,所以 a · b =-1 ×   +2 × 1=   . 1-2 　在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ DC , AB =2, BC =1,∠ ABC =60 ° .点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且   =     ,   =     ,则   ·   的值为 　　          . 答案        解析　 解法一:由题意可知 CD =1, AD = BC =1,又因为   =     ,   =2   , 所以   =     ,在△ ADF 中,   =   +   =   +     ,在梯形 ABCD 中,   =   +   +   =-   +   +     =-     +   ,在△ ABE 中,   =   +   =   +     =   +   ·   =     +     ,所以   ·   =   ·   =     +     ·   +     =   × 2 2 +   × 2 × 1 ×   +   × 1 2 =   .   由于 AB =2, BC =1,∠ ABC =60 ° ,易得 CD =1,等腰梯形 ABCD 的高为   ,所以 A (0,0), B (2,0), D   , C   ,所以   =   ,   =(1,0),又因为   =     ,   =     ,所以 E   , F   ,因此   ·   =   ·   =   ×   +   ×   =   +   =   . 解法二:以 AB 所在直线为 x 轴, A 为原点建立如图所示的坐标系, 考点二　平面向量数量积的应用 命题角度一　模的问题 典例2 　(1)(2016河北衡水模拟)已知| a |=1,| b |=2, a 与 b 的夹角为   ,那么|4 a - b |=   (　　) A.2　    B.6　    C.2   　    D.12 (2)已知 e 1 , e 2 是平面单位向量,且 e 1 · e 2 =   .若平面向量 b 满足 b · e 1 = b · e 2 =1,则| b |= 　　　     . 答案 　(1)C　(2)   解析　 (1)|4 a - b | 2 =16 a 2 + b 2 -8 a · b =16 × 1+4-8 × 1 × 2 × cos   =12,∴|4 a - b |=2   . (2)∵ e 1 · e 2 =   , ∴| e 1 || e 2 |cos< e 1 , e 2 >=   , ∴< e 1 , e 2 >=60 ° . 又∵ b · e 1 = b · e 2 =1>0, ∴< b , e 1 >=< b , e 2 >=30 ° . 由 b · e 1 =1,得| b || e 1 |cos 30 ° =1,∴| b |=   =   . 典例3　(1)△ ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量 a , b 满足   =2 a ,   =2 a + b ,则下列结论正确的是   (　　) A.| b |=1　    B. a ⊥ b C. a · b =1　    D.(4 a + b )⊥   (2)已知向量 a =( k ,3), b =(1,4), c =(2,1),且(2 a -3 b )⊥ c ,则实数 k =   (　　) A.-   　    B.0　    C.3　    D.   答案 　(1)D　(2)C 解析 　(1)∵ b =   -   =   ,∴| b |=|   |=2,故A错;∵   ·   =2 × 2 × cos 60 ° = 2,即-2 a · b =2,∴ a · b =-1,故B、C都错;∵(4 a + b )·   =(4 a + b )· b =4 a · b + b 2 =-4+4 =0,∴(4 a + b )⊥   ,故选D. (2)2 a -3 b =(2 k -3,-6),由(2 a -3 b )⊥ c ,得(2 a -3 b )· c =0,即4 k -6-6=0,解得 k =3.选C. 命题角度二　垂直问题 典例4 　(1)(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量   =   ,   =   , 则∠ ABC =   (　　) A.30 ° 　    B.45 ° 　    C.60 ° 　    D.120 ° (2)已知向量 a =(1,   ), b =(3, m ).若向量 a , b 的夹角为   ,则实数 m =   (　　) A.2   　    B.   　    C.0　    D.-   答案　 (1)A　(2)B 解析 　(1)cos∠ ABC =   =   ,所以∠ ABC =30 ° ,故选A. (2)∵ a =(1,   ), b =(3, m ), ∴| a |=2,| b |=   , a · b =3+   m , 命题角度三　夹角问题 又 a , b 的夹角为   , ∴   =cos   , 即   =   , ∴   + m =   , 解得 m =   . 2-1 　已知向量 a , b 满足( a +2 b )·( a - b )=-6,且| a |=1,| b |=2,则 a 与 b 的夹角为      　　     . 答案        解析 　由( a +2 b )·( a - b )=-6,得 a 2 -2 b 2 + a · b =-6,又| a |=1,| b |=2,∴ a · b =1,设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,则cos θ =   =   ,又0 ≤ θ ≤ π,故 θ =   . 方法技巧 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角:cos θ =   ,要注意θ∈[0,π]. (2)两向量垂直的应用: a ⊥ b ⇔ a · b =0 ⇔ | a - b |=| a + b |. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有 ① a 2 = a · a =| a | 2 或| a |=   . ②| a ± b |=   =   . ③若 a =( x , y ),则| a |=   . 考点三　平面向量与三角函数的综合问题 典例5 　已知向量 a =   , b =   ,且 x ∈   . (1)求 a · b 及| a + b |; (2)若 f ( x )= a · b -| a + b |,求 f ( x )的最大值和最小值. 解析　 (1) a · b =cos   cos   -sin   sin   =cos 2 x . ∵ a + b =   , ∴| a + b |=   =   =2|cos x |. ∵ x ∈   ,∴cos x >0, ∴| a + b |=2cos x . (2) f ( x )=cos 2 x -2cos x =2cos 2 x -2cos x -1 =2   -   . ∵ x ∈   , ∴   ≤ cos x ≤ 1, ∴当cos x =   时, f ( x )取得最小值-   ; 当cos x =1时, f ( x )取得最大值-1. 方法技巧 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,先运用向量共线 或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量 的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的 有界性,求得值域等. 3-1 　已知△ ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,设向量 m =( a , b ), n =(sin B ,sin A ), p =( b -2, a -2). (1)若 m ∥ n ,求证:△ ABC 为等腰三角形; (2)若 m ⊥ p ,边长 c =2,角 C =   ,求△ ABC 的面积. 解析 　(1)证明:∵ m ∥ n ,∴ a sin A = b sin B , 即 a ·   = b ·   ,其中 R 是△ ABC 外接圆的半径, ∴ a = b . ∴△ ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m · p =0, 即 a ( b -2)+ b ( a -2)=0. ∴ a + b = ab . 由余弦定理可知4= a 2 + b 2 - ab =( a + b ) 2 -3 ab , 即( ab ) 2 -3 ab -4=0, ∴ ab =4( ab =-1舍去), ∴△ ABC 的面积 S =   ab sin C =   × 4 × sin   =   .