高科数学专题复习课件：高考专题突破六概率与统计问题 61页

高考专题突破 六 高考 中的概率与统计问题 考点自测 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2017· 安阳 月考 ) 一射手对同一目标进行 4 次射击，且射击结果之间互不影响 . 已知至少命中一次的概率 为 ， 则此射手的命中率为 答案 解析 2. 在可行域内任取一点，其规则如程序框图所示，则能输出数对 ( x ， y ) 的概率是 答案 解析 3. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 ， σ 2 ) ，且 P ( ξ <4) ＝ 0.8 ，则 P (0< ξ <2) 等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 ∵ P ( ξ <4) ＝ 0.8 ， ∴ P ( ξ >4) ＝ 0.2 ， 由题意知图象的对称轴为直线 x ＝ 2 ， P ( ξ <0) ＝ P ( ξ >4) ＝ 0.2 ， ∴ P (0< ξ <4) ＝ 1 － P ( ξ <0) － P ( ξ >4) ＝ 0.6 ， 答案 解析 4. 位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率 为 ， 向右移动的概率 为 ， 则质点 P 移动五次后位于点 (1,0) 的概率是 答案 解析 依题意得，质点 P 移动五次后位于点 (1,0) ，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动， 5. 为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次，得到茎叶图如图所示 . 从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派 ________( 填甲或乙 ) 运动员合适 . 甲 答案 解析 根据茎叶图， 题型分类　深度剖析 题型一　古典概型与几何概型 例 1 　 (1)(2016· 山东 ) 在 [ － 1,1 ] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y ＝ kx 与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相交 ” 发生的概率为 ________. 由已知得，圆心 (5,0) 到直线 y ＝ kx 的距离小于半径， 答案 解析 (2 ) 将 1,2,3,4,5 五个数字任意排成一排，且要求 1 和 2 相邻，则能排成五位偶数的概率为 ________. 答案 解析 思维 升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏 . 跟踪训练 1 　 (1)(2016· 江苏 ) 将一颗质地均匀的骰子 ( 一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具 ) 先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 ________. 基本事件共有 36 个 . 列举如下： (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ， (2,5) ， (2,6) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4) ， (4,5) ， (4,6) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,5) ， (5,6) ， (6,1) ， (6,2) ， (6,3) ， (6,4) ， (6,5) ， (6,6) ，其中满足点数之和小于 10 的有 30 个 . 答案 解析 答案 解析 题型二　求离散型随机变量的均值与方差 例 2 　 (2016· 广东东莞一中、松山湖学校联考 ) 某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为 1,2,3 ， … ， 10 的十个小球 . 活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金 30 元；三球号码都连号为二等奖，奖金 60 元；三球号码分别为 1,5,10 为一等奖，奖金 240 元；其余情况无奖金 . (1) 求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与均值； 解答 故 ξ 的分布列为 ξ 0 30 60 240 P (2) 员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ 解答 思维 升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应 . 跟踪训练 2 　 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 . 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年 . 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时间 x ( 年 ) 0< x ≤ 1 1< x ≤ 2 x >2 0< x ≤ 2 x >2 轿车数量 ( 辆 ) 2 3 45 5 45 每辆利润 ( 万元 ) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； 解 答 设 “ 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 ” 为事件 A ， (2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X 2 ，分别求 X 1 ， X 2 的分布列； 解答 依题意得， X 1 的分布列为 X 1 1 2 3 P X 2 的分布列为 X 2 1.8 2.9 P (3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车 . 若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 . 解答 因为 E ( X 1 )> E ( X 2 ) ，所以应生产甲品牌轿车 . 题型三　概率与统计的综合应用 例 3 　 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元 . 根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示 . 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 . 以 X ( 单位： t,100 ≤ X ≤ 150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T ( 单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 . 解 答 (1) 将 T 表示为 X 的函数； 当 X ∈ [100,130) 时， T ＝ 500 X － 300(130 － X ) ＝ 800 X － 39 000. 当 X ∈ [ 130,150 ] 时， T ＝ 500 × 130 ＝ 65 000. 解答 由 (1) 知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 ≤ X ≤ 150. 由直方图知需求量 X ∈ [ 120,150 ] 的频率为 0.7 ，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； 依题意可得 T 的分布列为 (3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100,110) ，则取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 105 的概率等于需求量落入 [100,110) 的频率 ) ，求 T 的均值 . 解答 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 E ( T ) ＝ 45 000 × 0.1 ＋ 53 000 × 0.2 ＋ 61 000 × 0.3 ＋ 65 000 × 0.4 ＝ 59 400. 思维 升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点 . 它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 . 跟踪训练 3 　 (2016· 衡阳模拟 ) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩 ( 满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数 ) 分成六段： [ 40,50 ) ， [ 50,60 ) ， … ， [ 90,100 ] 后得到如图所示的频率分布直方图 . (1) 求图中实数 a 的值； 由已知，得 10 × (0.005 ＋ 0.010 ＋ 0.020 ＋ a ＋ 0.025 ＋ 0.010) ＝ 1 ， 解得 a ＝ 0.03. 解答 (2) 若该校高一年级共有 640 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数； 根据频率分布直方图，可知成绩不低于 60 分的频率为 1 － 10 × (0.005 ＋ 0.010) ＝ 0.85. 由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数为 640 × 0.85 ＝ 544. 解答 (3) 若从数学成绩在 [ 40,50 ) 与 [ 90,100 ] 两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 . 解答 易知成绩在 [ 40,50 ) 分数段内的人数为 40 × 0.05 ＝ 2 ，这 2 人分别记为 A ， B ； 成绩 在 [ 90,100 ] 分数段内的人数为 40 × 0.1 ＝ 4 ，这 4 人分别记为 C ， D ， E ， F . 若 从数学成绩在 [ 40,50 ) 与 [ 90,100 ] 两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，则所有的基本事件有 ( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( A ， F ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ， ( B ， E ) ， ( B ， F ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( C ， F ) ， ( D ， E ) ， ( D ， F ) ， ( E ， F ) ，共 15 个 . 如果 2 名学生的数学成绩都在 [ 40,50 ) 分数段内或都在 [ 90,100 ] 分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10 . 如果一个成绩在 [ 40,50 ) 分数段内，另一个成绩在 [ 90,100 ] 分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10 . 记 “ 这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 ” 为事件 M ，则事件 M 包含的基本事件有 ( A ， B ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( C ， F ) ， ( D ， E ) ， ( D ， F ) ， ( E ， F ) ，共 7 个， 题型四　概率与统计案例的综合应用 例 4 　 (2016· 湖北武汉华中师大一附中期末 ) 某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出 20 名学生作为样本，其选报文科、理科的情况如下表所示 . 性别 科目　　　 男 女 文科 2 5 理科 10 3 (1) 若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出 3 人召开座谈会，试求 3 人中既有男生也有女生的概率； 解答 (2) 用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关？ 解答 P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 思维 升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题 . 跟踪训练 4 　 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名 . 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “ 体育迷 ”. (1) 根据已知条件完成下面的 2 × 2 列联表，并据此资料是否可以认为 “ 体育迷 ” 与性别有关？   非体育迷 体育迷 合计 男       女   10 55 合计       解答 由所给的频率分布直方图知， “ 体育迷 ” 人数为 100 × (10 × 0.020 ＋ 10 × 0.005) ＝ 25 ， “ 非体育迷 ” 人数为 75 ，从而 2 × 2 列联表如下：   非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 2 × 2 列联表的数据代入公式计算： 因为 2.706<3.030<3.841 ， 所以有 90% 的把握认为 “ 体育迷 ” 与性别有关 . (2) 将上述调查所得到的频率视为概率 . 现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的 “ 体育迷 ” 人数为 X . 若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列、均值 E ( X ) 和方差 D ( X ). 解答 P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.10 0.05 0.01 k 0 2.706 3.841 6.635 X 0 1 2 3 P 课时作业 1 2 3 4 1. 甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下： 游戏 Ⅰ ：口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5 ，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢 . 游戏 Ⅱ ：口袋中有质地、大小完全相同的 6 个球，其中 4 个白球、 2 个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢 . (1) 求游戏 Ⅰ 中甲赢的概率； 解答 ∵ 游戏 Ⅰ 中有放回地依次摸出两球的基本事件有 5 × 5 ＝ 25( 个 ) ， 其中 甲赢有 (1,1) ， (1,3) ， (1,5) ， (3,1) ， (3,3) ， (3,5) ， (5,1) ， (5,3) ， (5,5) ， (2,2) ， (2,4) ， (4,4) ， (4,2) ，共 13 个基本事件， 1 2 3 4 (2) 求游戏 Ⅱ 中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由 . 解答 设 4 个白球为 a ， b ， c ， d, 2 个红球为 A ， B ，则游戏 Ⅱ 中有放回地依次摸出两球，基本事件有 6 × 6 ＝ 36( 个 ) ，其中乙赢有 ( a ， A ) ， ( b ， A ) ， ( c ， A ) ， ( d ， A ) ， ( a ， B ) ， ( b ， B ) ， ( c ， B ) ， ( d ， B ) ， ( A ， a ) ， ( A ， b ) ， ( A ， c ) ， ( A ， d ) ， ( B ， a ) ， ( B ， b ) ， ( B ， c ) ， ( B ， d ) ，共 16 个基本事件， 1 2 3 4 2. 某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 . 解答 (1) 根据茎叶图计算样本平均数； 1 2 3 4 (2) 日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人 . 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？ 解答 1 2 3 4 (3) 从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率 . 解答 1 2 3 4 3. 某班甲、乙两名同学参加 100 米达标训练，在相同条件下两人 10 次训练的成绩 ( 单位：秒 ) 如下：   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 (1) 请画出茎叶图 . 如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由 ( 不用计算，可通过统计图直接回答结论 ) ； 解答 1 2 3 4 甲、乙两人 10 次训练的成绩的茎叶图如图： 从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好 . 1 2 3 4 (2) 经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在 [ 11.5,14.5 ] 之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率 . 解答 设甲同学的成绩为 x ，乙同学的成绩为 y ， 则 | x － y |<0.8 ， 得 x － 0.8< y <0.8 ＋ x ， 如图，阴影部分面积即为 3 × 3 － 2.2 × 2.2 ＝ 4.16 ， 则 P (| x － y |<0.8) ＝ P ( x － 0.8< y <0.8 ＋ x ) 1 2 3 4 *4. 一次考试共有 12 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一个是正确的 . 评分标准规定： “ 每题只选一个选项，答对得 5 分，不答或答错得零分 ”. 某考生已确定有 8 道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜 . 请求出该考生： (1) 得 60 分的概率； 解答 1 2 3 4 设 “ 可判断两个选项是错误的 ” 两道题之一选对为事件 A ， “ 有一道题可以判断一个选项是错误的 ” 选对为事件 B ， “ 有一道题不理解题意 ” 选对为事件 C ， 1 2 3 4 (2) 所得分数 X 的分布列和均值 . 解答 1 2 3 4 X 可能的取值为 40,45,50,55,60. 1 2 3 4 X 的分布列为 X 40 45 50 55 60 P 1 2 3 4