高考数学专题复习练习第3讲 函数的奇偶性与周期性 6页

第3讲 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 ‎1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于(　　)．‎ A．3 B．‎1 ‎‎ C．－1 D．－3‎ 解析　由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，‎ f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.‎ 答案　D ‎2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为 (　　)．‎ A．－1 B．‎0 ‎‎ C．1 D．2‎ 解析　(构造法)构造函数f(x)＝sin x，则有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin 3π＝0，故选B.‎ 答案　B ‎3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 (　　)．‎ A．f>f B．f(sin 1)f(sin 2)‎ 解析　当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，‎ 显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.‎ 答案　A ‎4．已知函数f(x)＝则该函数是 (　　)．‎ A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析　当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．‎ 答案　C ‎5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为(　　)‎ A．2 B．－‎1 C．－ D．1‎ 解析 f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.‎ 答案　D ‎6．设函数D(x)＝则下列结论错误的是 (　　)．‎ A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 解析　显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.‎ 解析　由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.‎ 答案　0‎ ‎8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.‎ 解析　因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－‎ ‎2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎9．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．‎ 解析　由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．‎ 答案　(－2,0)∪(2,5)‎ ‎10． 设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．‎ 解析 ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f，‎ ‎∴f(|2x|)＝f，‎ 又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，‎ ‎∴|2x|＝，‎ 即2x＝或2x＝－，‎ 整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，‎ 设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.‎ 则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.‎ 答案 －8‎ 三、解答题 ‎11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．‎ ‎(1)求f(1)，f(－1)的值；‎ ‎(2)判断函数f(x)的奇偶性．‎ 解　(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.‎ ‎(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．‎ ‎12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.‎ ‎(1)求证f(x)是奇函数；‎ ‎(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．‎ ‎(1)证明　令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，‎ 则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．‎ ‎(2)解　任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝‎3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.‎ 所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.‎ ‎13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，‎ ‎(1)求证：f(x)是周期函数；‎ ‎(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．‎ 解析 (1)证明　函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．‎ ‎(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，‎ 又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．‎ ‎(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，‎ f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1‎ 又f(x)是以4为周期的周期函数．‎ ‎∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)‎ ‎＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.‎ ‎14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．‎ ‎(1)求证：f(x)是周期函数；‎ ‎(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的个数．‎ ‎(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是以4为周期的周期函数．‎ ‎(2)解　当0≤x≤1时，f(x)＝x，‎ 设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，‎ ‎∴f(－x)＝(－x)＝－x.‎ ‎∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.‎ 故f(x)＝x(－1≤x≤1)．‎ 又设1