高考数学复习练习第1部分 专题五 第三讲 第一课时 预测演练提能 5页

1．(2013·陕西高考)已知动点 M(x，y)到直线 l：x＝4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率． 解：(1)如图 1，设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意，d＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2 (x－1)2＋y2， 化简得x2 4＋y2 3＝1， 图 1 ∴动点 M 的轨迹方程为x2 4＋y2 3＝1. (2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 y＝kx＋3，A(x1，y1)， B(x2，y2)，如图 2. 将 y＝kx＋3 代入x2 4＋y2 3＝1 中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0， 图 2 由根与系数的关系得， x1＋x2＝－ 24k 3＋4k2，　 ① x1x2＝ 24 3＋4k2.　 ② 又 A 是 PB 的中点，故 x2＝2x1，　 ③ 将③代入①②，得 x1＝－ 8k 3＋4k2，x21＝ 12 3＋4k2， 可得 ( －8k 3＋4k2)2＝ 12 3＋4k2，且 k2＞3 2， 解得 k＝－3 2或 k＝3 2， ∴直线 m 的斜率为－3 2或3 2. 法二：由题意，设直线 m 的方程为 y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图 2. ∵A 是 PB 的中点， ∴x1＝x2 2， ① y1＝3＋y2 2 . ② 又x21 4＋y21 3＝1， ③ x22 4＋y22 3＝1， ④ 联立①②③④，解得Error!或Error! 即点 B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线 m 的斜率为－3 2或3 2. 2．已知 F1，F2 分别为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N 分别为其左、右顶 点，过 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点．当直线 l 与 x 轴垂直时，四边形 AMBN 的面积 等于 2，且满足| |＝ 2| |＋| |. (1)求此椭圆的方程； (2)当直线 l 绕着焦点 F2 旋转但不与 x 轴重合时，求 · ＋ · 的取值范 围． 解：(1)当直线 l 与 x 轴垂直时， 由 S 四边形 AMBN＝1 2·2a· 2b2 a ＝2，得 b＝1. 又| |＝ 2| |＋| |， 所以 a＋c＝ 2·2b2 a ＋a－c， 即 ac＝ 2，又 a2＝c2＋1，解得 a＝ 2. 因此该椭圆的方程为x2 2＋y2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，而 M(－ 2，0)，N( 2，0)，所以 ＝(－ 2－x1，－y1)， ＝( 2－x1，－y1)， ＝(－ 2－x2，－y2)， ＝( 2－x2，－y2)． 从而有 · ＋ · ＝(－ 2－x1)( 2－x1)＋y21＋(－ 2－x2)( 2－x2)＋y22＝x21 ＋x22＋y21＋y22－4＝(x1＋x2)2－2x1x2＋(y1＋y2)2－2y1y2－4. 因为直线 l 过椭圆的焦点 F2(1,0)， 所以可以设直线 l 的方程为 x＝ty＋1(t∈R)， 则由Error!消去 x 并整理， 得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0(Δ＞0 恒成立)， 2MF AB 2F N AM AN BM BN 2MF AB 2F N AM AN BM BN AM AN BM BN 所以 y1＋y2＝ －2t t2＋2，y1y2＝ －1 t2＋2. 从而 x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝ 4 t2＋2， x1x2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＝2－2t2 t2＋2 ， 可得 · ＋ · ＝ ( 4 t2＋2 )2－2( 2－2t2 t2＋2 )＋( －2t t2＋2 )2－2( －1 t2＋2 )－4＝ 8 (t2＋2)2 － 6 t2＋2. 令 t2＋2＝m，则 m≥2. 从而有 · ＋ · ＝ 8 m2－ 6 m＝8( 1 m－3 8 )2－9 8，而 0＜ 1 m≤1 2，所以可以求得 · ＋ · 的取值范围是 [－9 8，0). 3．设点 P 是曲线 C：x2＝2py(p>0)上的动点，点 P 到点(0,1)的距离和它到焦点 F 的距 离之和的最小值为5 4. (1)求曲线 C 的方程； (2)若点 P 的横坐标为 1，过 P 作斜率为 k(k≠0)的直线交 C 于点 Q，交 x 轴于点 M，过 点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N，问是否存在实数 k，使得直线 MN 与曲线 C 相 切？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意知 1＋p 2＝5 4，解得 p＝1 2. 所以曲线 C 的方程为 x2＝y. (2)由题意知直线 PQ 的方程为 y＝k(x－1)＋1， 则点 M(1－1 k，0). 联立方程Error!消去 y，得 x2－kx＋k－1＝0， 解得 x1＝1，x2＝k－1，则 Q(k－1，(k－1)2)． 所以直线 QN 的方程为 y－(k－1)2＝－1 k(x－k＋1)， 代入曲线 y＝x2 中，得 x2＋1 kx－1＋1 k－(1－k)2＝0，解得 x3＝k－1，x4＝1－1 k－k， 则 N(1－1 k－k，(1－k－1 k)2 ). 所以直线 MN 的斜率 AM AN BM BN AM AN BM BN AM AN BM BN kMN＝ (1－k－1 k)2 (1－1 k－k)－(1－1 k ) ＝－(1－k－1 k)2 k . 又易知过点 N 的切线的斜率 k′＝2(1－k－1 k). 由题意有－(1－k－1 k)2 k ＝2(1－k－1 k). 解得 k＝ －1 ± 5 2 . 故存在实数 k＝ －1 ± 5 2 满足题意． 4．(2013·海淀模拟)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(1,0)，且点(－1， 2 2 )在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知动直线 l 过点 F，且与椭圆 C 交于 A，B 两点．试问 x 轴上是否存在定点 Q，使 得 · ＝－ 7 16恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意知 c＝1. 根据椭圆的定义得 2a＝ (－1－1)2＋( 2 2 )2＋ 2 2 ， 即 a＝ 2.所以 b2＝2－1＝1. 所以椭圆 C 的标准方程为x2 2＋y2＝1. (2)假设在 x 轴上存在点 Q(m,0)，使得 · ＝－ 7 16恒成立． 当直线 l 的斜率为 0 时，A( 2，0)，B(－ 2，0)， 则( 2－m,0)·(－ 2－m,0)＝－ 7 16， 解得 m＝±5 4. 当直线 l 的斜率不存在时，A(1， 2 2 )，B(1，－ 2 2 ). 由于(1＋5 4， 2 2 )·(1＋5 4，－ 2 2 )≠－ 7 16， 所以 m≠－5 4. QA QB QA QB 下面证明 m＝5 4时， · ＝－ 7 16恒成立． 显然直线 l 的斜率为 0 时， · ＝－ 7 16. 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由Error!可得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0. 显然 Δ＞0，y1＋y2＝－ 2t t2＋2，y1y2＝－ 1 t2＋2. 因为 x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1， 所以(x1－5 4，y1 )·(x2－5 4，y2 ) ＝(ty1－1 4)(ty2－1 4)＋y1y2 ＝(t2＋1)y1y2－1 4t(y1＋y2)＋ 1 16 ＝－(t2＋1) 1 t2＋2＋1 4t 2t t2＋2＋ 1 16 ＝ －2t2－2＋t2 2(t2＋2) ＋ 1 16＝－ 7 16. 综上所述，在 x 轴上存在点 Q( 5 4，0 )，使得 · ＝－ 7 16恒成立． QA QB QA QB QA QB