高科数学专题复习课件：6_1　数列的概念与简单表示法 66页

§6.1 　数列的概念与简单表示法 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 数列的定义 知识梳理 按照 排列 的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 的 . 一定顺序 项 2. 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有 穷数列 项数 _____ 无穷数列 项数 ______ 有限 无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋ 1 ___ a n 其中 n ∈ N * 递减数列 a n ＋ 1 ___ a n 常数列 a n ＋ 1 ＝ a n 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 > < 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别 是 、 和 . 4. 数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项 与 之间 的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 . 列表法 图象法 解析法 序号 n 1. 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，通项公式为 a n ， 知识 拓展 3. 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列 . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 (1) 所有数列的第 n 项都能使用公式表达 . ( 　 ) (2) 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 . ( 　 　 ) (3)1,1,1,1 ， … ，不能构成一个数列 . ( 　 ) (4) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 . ( 　 ) (5) 如果数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则对 ∀ n ∈ N * ，都有 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n . ( ) √ × × √ × 1. 把 1,3,6,10,15,21 ， … 这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形 ( 如图所示 ). 考点自测 答案 解析 则第 7 个三角形数 是 A.27 B.28 C.29 D.30 由图可知，第 7 个三角形数是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＝ 28. 答案 答案 解析 4. 数列 { a n } 中， a n ＝－ n 2 ＋ 11 n ，则此数列最大项的值是 ________. 答案 解析 30 ∵ n ∈ N * ， ∴ 当 n ＝ 5 或 n ＝ 6 时， a n 取最大值 30. 5. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ 1 ，则 a n ＝ ___ _ _________. 答案 解析 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 ，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 ＋ 1 － [( n － 1) 2 ＋ 1 ] ＝ 2 n － 1 ， 题型分类　深度剖析 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 　 (1)(2016· 太原模拟 ) 数列 1,3,6,10 ， … 的一个通项公式是 答案 解析 观察数列 1,3,6,10 ， … 可以发现 1 ＝ 1 ， 3 ＝ 1 ＋ 2 ， 6 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ， 10 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ， … ， 答案 解析 思维 升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1) 常用方法：观察 ( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、转化 ( 转化为特殊数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列 ) 等方法 . (2) 具体策略： ① 分式中分子、分母的特征； ② 相邻项的变化特征 ； ③ 拆项后的特征； ④ 各项的符号特征和绝对值特征； ⑤ 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥ 对于符号交替出现的情况，可用 ( － 1) k 或 ( － 1) k ＋ 1 ， k ∈ N * 处理 . 跟踪训练 1 根据 数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式 . (1) － 1,7 ，－ 13,19 ， … ； 解答 数列中各项的符号可通过 ( － 1) n 表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大 6 ，故通项公式为 a n ＝ ( － 1) n (6 n － 5). (2)0.8,0.88,0.888 ， … ； 解答 解答 各项的分母分别为 2 1, 2 2, 2 3, 2 4 ， … ，易看出第 2,3,4 项的绝对值的分子分别比分母小 3. 题型二　由 a n 与 S n 的关系求通项公式 例 2 　 (1)( 2017· 南昌 月考 ) 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ， 则 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. 答案 解析 两式相减，整理得 a n ＝－ 2 a n － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1 ， ∴ { a n } 是首项为 1 ，公比为－ 2 的等比数列， 故 a n ＝ ( － 2) n － 1 . (2) 已知下列数列 { a n } 的前 n 项和 S n ，求 { a n } 的通项公式 . ① S n ＝ 2 n 2 － 3 n ； 解 答 a 1 ＝ S 1 ＝ 2 － 3 ＝－ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (2 n 2 － 3 n ) － [ 2( n － 1) 2 － 3( n － 1 )] ＝ 4 n － 5 ， 由于 a 1 也适合此等式 ， ∴ a n ＝ 4 n － 5 . ② S n ＝ 3 n ＋ b . 解 答 a 1 ＝ S 1 ＝ 3 ＋ b ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (3 n ＋ b ) － (3 n － 1 ＋ b ) ＝ 2·3 n － 1 . 当 b ＝－ 1 时， a 1 适合此等式； 当 b ≠ － 1 时， a 1 不适合此等式 . ∴ 当 b ＝－ 1 时， a n ＝ 2·3 n － 1 ； 思维 升华 已知 S n ，求 a n 的步骤 (1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ； (2) 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ； ( 3) 对 n ＝ 1 时的情况进行检验，若适合 n ≥ 2 的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式 . 跟踪训练 2 (1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n 2 － 2 n ＋ 1 ，则其 通项 、 公式 为 ________________. 答案 解析 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 × 1 2 － 2 × 1 ＋ 1 ＝ 2 ； 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 3 n 2 － 2 n ＋ 1 － [ 3( n － 1) 2 － 2( n － 1) ＋ 1 ] ＝ 6 n － 5 ，显然当 n ＝ 1 时，不满足上式 . (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 ＝ 1 ， S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S n 等于 答案 解析 题型三　由数列的递推关系求通项公式 例 3 　 根据下列条件，确定数列 { a n } 的通项公式 . (1) a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ ln(1 ＋ ) ； 解答 ＝ 2 ＋ ln n ( n ≥ 2). 又 a 1 ＝ 2 适合上式，故 a n ＝ 2 ＋ ln n ( n ∈ N * ). (2) a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 n a n ； 解 答 (3) a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2. 解 答 ∵ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， 又 a 1 ＝ 1 ， ∴ a 1 ＋ 1 ＝ 2 ， 故数列 { a n ＋ 1} 是首项为 2 ，公比为 3 的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·3 n － 1 ，故 a n ＝ 2·3 n － 1 － 1 . 思维 升华 跟踪训练 3 (1) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＝ · a n － 1 ( n ≥ 2 且 n ∈ N * ) ，则 a n ＝ ____. 答案 解析 (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2 a n － 1( n ∈ N * ) ，则 a 5 等于 A. － 16 B.16 C.31 D.32 答案 解析 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 1 ， ∴ a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ { a n } 是等比数列且 a 1 ＝ 1 ， q ＝ 2 ， 故 a 5 ＝ a 1 × q 4 ＝ 2 4 ＝ 16 . 题型四　数列的性质 命题点 1 　数列的单调性 答案 解析 例 5 　数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 ＝ ， a 8 ＝ 2 ，则 a 1 ＝ _____. 答案 解析 命题点 2 　数列的周期性 ∴ 周期 T ＝ ( n ＋ 1) － ( n － 2) ＝ 3. ∴ a 8 ＝ a 3 × 2 ＋ 2 ＝ a 2 ＝ 2. 命题点 3 　数列的最值 答案 解析 (1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ① 用作差比较法，根据 a n ＋ 1 － a n 的符号判断数列 { a n } 是递增数列、递减数列还是常数列 . ② 用作商比较法， 根据 ( a n ＞ 0 或 a n ＜ 0) 与 1 的大小关系进行判断 . ③ 结合相应函数的图象直观判断 . (2) 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 . (3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 . 思维 升华 答案 解析 ∴ { a n } 为周期数列且 T ＝ 4 ， (2) 设 a n ＝－ 3 n 2 ＋ 15 n － 18 ，则数列 { a n } 中的最大项的值 是 答案 解析 典例 　 (1) 数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ ( n ＋ 1)·( ) n ，则此数列的最大项是第 ________ 项 . (2) 若 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 4 且对于 n ∈ N * ，都有 a n ＋ 1 > a n 成立，则实数 k 的取值范围是 __________. 解决 数列问题的函数思想 思想与方法系列 12 (1) 可以将数列看成定义域为正整数集上的函数 ； ( 2) 数列的最值可以根据单调性进行分析 . 9 或 10 答案 解析 思想方法指 导 ( － 3 ，＋ ∞ ) (1) ∵ a n ＋ 1 － a n 当 n <9 时， a n ＋ 1 － a n >0 ，即 a n ＋ 1 > a n ； 当 n ＝ 9 时， a n ＋ 1 － a n ＝ 0 ，即 a n ＋ 1 ＝ a n ； 当 n >9 时， a n ＋ 1 － a n <0 ，即 a n ＋ 1 < a n ， ∴ 该数列中有最大项，且最大项为第 9 、 10 项 . (2) 由 a n ＋ 1 > a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 4 ， 所以 ( n ＋ 1) 2 ＋ k ( n ＋ 1) ＋ 4> n 2 ＋ kn ＋ 4 ， 即 k > － 1 － 2 n ，又 n ∈ N * ，所以 k > － 3. 课时作业 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子 . 很容易归纳出数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ( － 1) n ＋ 1 · ， 故 a 10 ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 已知数列的通项公式为 a n ＝ n 2 － 8 n ＋ 15 ， 则 A.3 不是数列 { a n } 中的项 B.3 只是数列 { a n } 中的第 2 项 C.3 只是数列 { a n } 中的第 6 项 D.3 是数列 { a n } 中的第 2 项和第 6 项 √ 答案 解析 令 a n ＝ 3 ，即 n 2 － 8 n ＋ 15 ＝ 3 ，整理得 n 2 － 8 n ＋ 12 ＝ 0 ，解得 n ＝ 2 或 n ＝ 6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知 a 1 ＝ 1 ， a n ＝ n ( a n ＋ 1 － a n )( n ∈ N * ) ，则数列 { a n } 的通项公式 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ 数列 { a n } 具有周期性， T ＝ 6 ， ∴ a 2 018 ＝ a 336 × 6 ＋ 2 ＝ a 2 ＝ 3. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2016 · 开封 一模 ) 已知函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 R . 当 x <0 时 ， f ( x )>1 ，且对任意的实数 x ， y ∈ R ，等式 f ( x ) f ( y ) ＝ f ( x ＋ y ) 恒成立 . 若数列 { a n } 满足 a 1 ＝ f (0) ，且 f ( a n ＋ 1 ) ＝ ( n ∈ N * ) ，则 a 2 015 的值 为 A.4 029 B.3 029 C.2 249 D.2 209 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据题意，不妨设 f ( x ) ＝ ( ) x ，则 a 1 ＝ f (0) ＝ 1 ， ∴ 数列 { a n } 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， ∴ a n ＝ 2 n － 1 ， ∴ a 2 015 ＝ 4 029. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ( n ∈ N * ) ，则 a 7 ＝ ____. 答案 解析 由已知 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ， a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， 能够计算出 a 3 ＝ 1 ， a 4 ＝－ 1 ， a 5 ＝－ 2 ， a 6 ＝－ 1 ， a 7 ＝ 1 . 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S n ＝ 2 a n － n ，则 a n ＝ ______. 答案 解析 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ a 1 ＝ 2 a 1 － 1 ，得 a 1 ＝ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － n － 2 a n － 1 ＋ ( n － 1) ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2( a n － 1 ＋ 1) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是首项为 a 1 ＋ 1 ＝ 2 ，公比为 2 的等比数列 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·2 n － 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 2 n － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ( n ＋ 2 )·( ) n ，则数列 { a n } 的项 取最大值时， n = _______. 答案 解析 又 n ∈ N * ，所以 n ＝ 4 或 n ＝ 5 ， 故数列 { a n } 中 a 4 与 a 5 均为最大项，且 a 4 ＝ a 5 ＝ . 4 或 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ ( n ∈ N * ) ，则该数列的前 2 019 项的乘积 a 1 · a 2 · a 3 · … · a 2 019 ＝ ______. 答案 解析 3 ∴ 数列 { a n } 是以 4 为周期的数列，而 2 019 ＝ 4 × 504 ＋ 3 ， a 1 a 2 a 3 a 4 ＝ 1 ， ∴ 前 2 019 项的乘积为 1 504 · a 1 a 2 a 3 ＝ 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 11. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . (1) 若 S n ＝ ( － 1) n ＋ 1 · n ，求 a 5 ＋ a 6 及 a n ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为 a 5 ＋ a 6 ＝ S 6 － S 4 ＝ ( － 6) － ( － 4) ＝－ 2 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( － 1) n ＋ 1 · n － ( － 1) n ·( n － 1) ＝ ( － 1) n ＋ 1 · [ n ＋ ( n － 1)] ＝ ( － 1) n ＋ 1 ·(2 n － 1) ， 又 a 1 也适合此式， 所以 a n ＝ ( － 1) n ＋ 1 ·(2 n － 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 (2) 若 S n ＝ 3 n ＋ 2 n ＋ 1 ，求 a n . 因为当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 6 ； 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (3 n ＋ 2 n ＋ 1) － [ 3 n － 1 ＋ 2( n － 1) ＋ 1] ＝ 2 × 3 n － 1 ＋ 2 ， 由于 a 1 不适合此式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . ① － ② 得 ( a n － a n － 1 － 1)( a n ＋ a n － 1 ) ＝ 0. 由于 a n ＋ a n － 1 ≠ 0 ，所以 a n － a n － 1 ＝ 1 ， 又由 (1) 知 a 1 ＝ 1 ， 故数列 { a n } 为首项为 1 ，公差为 1 的等差数列， 故 a n ＝ n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 可知 1 ＞ a 1 ＞ a 2 ＞ a 3 ＞ a 4 ， a 5 ＞ a 6 ＞ a 7 ＞ … ＞ a n ＞ 1( n ∈ N * ). ∴ 数列 { a n } 中的最大项为 a 5 ＝ 2 ，最小项为 a 4 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 (2) 若对任意的 n ∈ N * ，都有 a n ≤ a 6 成立，求 a 的取值范围 . 已知对任意的 n ∈ N * ，都有 a n ≤ a 6 成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13