2020届高三模拟考试试卷南京数学(一) 18页

‎2020届高三模拟考试试卷(一)‎ 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2020．1‎ 参考公式：‎ 柱体体积公式：V＝Sh，锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．‎ 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知集合A＝(0，＋∞)，全集U＝R，则∁UA＝________．‎ ‎2. 设复数z＝2＋i，其中i为虚数单位，则z·＝________．‎ ‎3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为________．‎ ‎4. 命题“∀θ∈R，cos θ＋sin θ>1”的否定是________(选填“真”或“假”)命题．‎ ‎5. 运行如图所示的伪代码，则输出I的值为________．‎ S←0‎ I←0‎ While S≤10‎ ‎　 S←S＋I ‎　 I←I＋1‎ End While Print I ‎　 (第5题图)‎ ‎6. 已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是________．‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为________．‎ ‎8. 若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为________．‎ 18‎ ‎9. 在三棱柱ABCA1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABCA1B1C1与四棱锥PABB1A1的体积分别为V1与V2，则 ＝________．‎ ‎10. 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为________．‎ ‎11. 已知H是△ABC的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，＝＋，则cos∠BAC的值为________．‎ ‎12. 若无穷数列{cos (ωn)}(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为________．‎ ‎13. 已知集合P＝{(x，y)|x|x|＋y|y|＝16}，集合Q＝{(x，y)|kx＋b1≤y≤kx＋b2}．若P⊆Q，则的最小值为________．‎ ‎14. 若对任意实数x∈(－∞，1]，都有||≤1成立，则实数a的值为________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分) ‎ 已知△ABC满足sin(B＋)＝2cos B.‎ ‎(1) 若cos C＝，AC＝3，求AB的值；‎ ‎(2) 若A∈(0，)，且cos(B－A)＝，求sin A.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 18‎ 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．‎ ‎(1) 若AC1∥平面PBD，求的值；‎ ‎(2) 求证：BD⊥A1P.‎ 18‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从圆O中裁剪出两块全等的圆形铁皮圆P与圆Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB为圆柱的一条母线，点A，B在圆O上，点P，Q在圆O的一条直径上，AB∥PQ，圆P，圆Q分别与直线BC，AD相切，都与圆O内切．‎ ‎(1) 求圆形铁皮圆P半径的取值范围；‎ ‎(1) 请确定圆形铁皮圆P与圆Q半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)‎ 18‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(x0，y0)在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B(A，B不重合)．设＝λ，＝μ，求λ＋μ的最小值．‎ 18‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 定义：若无穷数列{an}满足{an＋1－an}是公比为q的等比数列，则称数列{an}为“M(q)数列”．设数列{bn}中b1＝1，b3＝7.‎ ‎(1) 若b2＝4，且数列{bn}是“M(q)数列”，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＋1＝2Sn－n＋λ，请判断数列{bn}是否为“M(q)数列”，并说明理由；‎ ‎(3) 若数列{bn}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n，使得<<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．‎ 18‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 若函数f(x)＝ex－ae－x－mx(m∈R)为奇函数，且x＝x0时f(x)有极小值f(x0)．‎ ‎(1) 求实数a的值；‎ ‎(2) 求实数m的取值范围；‎ ‎(3) 若f(x0)≥－，求实数m的取值范围．‎ 18‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(一)‎ 数学附加题 ‎(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. (选修4-2：矩阵与变换)‎ 已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2＋y2＝13，求实数a的值．‎ B. (选修4-4：坐标系与参数方程)‎ 在极坐标系中，直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m被曲线ρ＝4sin θ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．‎ C. (选修4-5：不等式选讲)‎ 已知正实数a，b，c满足＋＋＝1，求a＋2b＋3c的最小值．‎ 18‎ ‎【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 如图，AA1，BB1是圆柱的两条母线，A1B1，AB分别经过上下底面圆的圆心O1，O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2.‎ ‎(1) 若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；‎ ‎(2) 若二面角A1CDB1的大小为，求母线AA1的长．‎ ‎23. 设(1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n∈N*)．记Sn＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n.‎ ‎(1) 求Sn；‎ ‎(2) 记Tn＝－S1C＋S2C－S3C＋…＋(－1)nSnC，求证：|Tn|≥6n3恒成立．‎ 18‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. (－∞，0]　2. 5　3. 　4. 真　5. 6　6. 2　7. 2　8. 3　9. 　10. 7　11. 　12. 10　13. 4　14. － ‎15. 解：(1) 由sin(B＋)＝2cos B可知sin B＋cos B＝2cos B，‎ 移项可得tan B＝.‎ 又B∈(0，π)，故B＝.(2分)‎ 又由cos C＝，C∈(0，π)可知sinC＝＝，(4分)‎ 故在△ABC中，由正弦定理＝可得 ＝，所以AB＝2.(7分)‎ ‎(2) 由(1)知B＝，所以A∈(0，)时，－A∈(0，)．‎ 由cos (B－A)＝即cos(－A)＝可得sin(－A)＝＝ ，(10分)‎ 所以sin A＝sin[－(－A)]＝sincos(－A)－cossin(－A)＝×－×＝.(14分)‎ ‎16. (1) 解：连结AC交BD于点O，连结OP.‎ 因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，‎ 平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP.(3分)‎ 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O ，‎ 所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，‎ 所以在△ACC1中，＝＝1.(6分)‎ 18‎ ‎(2) 证明：连结A1C1.‎ 因为ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD.‎ 又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD.(8分)‎ 因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.(10分)‎ 又AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1A1, CC1⊂平面ACC1A1，‎ 所以BD⊥平面ACC1A1.(12分)‎ 因为P∈CC1，CC1⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1.‎ 又A1∈平面ACC1A1，所以A1P⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1P.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 设圆P半径为r，则AB＝4(2－r)，‎ 所以圆P的周长2πr＝BC≤2，(4分)‎ 解得 r≤，故圆P半径的取值范围是(0，]．(6分)‎ ‎(2) 在(1)的条件下，油桶的体积V＝πr2·AB＝4πr2(2－r)，(8分)‎ 设函数f(x)＝x2(2－x)，x∈(0，]，所以f′(x)＝4x－3x2.‎ 由于 <，所以f′(x)>0在定义域上恒成立，‎ 故f(x)在定义域上单调递增，即当圆P半径r＝时，体积取到最大值．(14分)‎ ‎18. 解：(1) 由当PF2⊥x轴时x0＝1，可知c＝1，(2分)‎ 将x0＝1，y0＝e代入椭圆方程得＋＝1　(*)．‎ 而e＝＝，b2＝a2－c2＝a2－1，代入(*)式得＋＝1，解得a2＝2，故b2＝1，‎ ‎∴ 椭圆C的方程为＋y2＝1.(4分)‎ ‎(2) (解法1)设A(x1，y1)，由＝λ得故 代入椭圆的方程得＋(－λy0)2＝1　(**). (8分)‎ 又由＋y＝1得y＝1－，代入(**)式得(λx0＋λ＋1)2＋2λ2(1－x)＝2，‎ 化简得3λ2＋2λ－1＋2λ(λ＋1)x0＝0，即(λ＋1)(3λ－1＋2λx0)＝0，显然λ＋1≠0，‎ ‎∴ 3λ－1＋2λx0＝0，故λ＝.(12分)‎ 18‎ 同理可得u＝，故λ＋μ＝＋＝≥，‎ 当且仅当x0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为.(16分)‎ ‎(解法2)由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合，故可设直线PA的方程为x＝my－1，‎ 联立消去x得(m2＋2)y2－2my－1＝0　(***)．‎ 设A(x1，y1)，则y1与y0为方程(***)的两个实根，‎ 由求根公式可得y0，1＝，故y0y1＝，则y1＝.(8分)‎ 将点P(x0，y0)代入椭圆的方程得＋y＝1，‎ 代入直线PA的方程得x0＝my0－1，∴ m＝.‎ 由＝λ得－y1＝λy0，故λ＝－＝＝ ‎＝＝＝.(12分)‎ 同理可得u＝，故λ＋μ＝＋＝≥，‎ 当且仅当x0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为.(16分)‎ 注：(1) 也可设P(cos θ，sin θ)得λ＝，其余同理．‎ ‎(2) 也可由＋＝6运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．‎ ‎19. 解：(1) ∵ b2＝4，且数列{bn}是“M(q)数列”，‎ ‎∴ q＝＝＝1，∴ ＝1，∴ bn＋1－bn＝bn－bn－1，(2分)‎ 故数列{bn}是等差数列，公差为b2－b1＝3，‎ 故通项公式为bn＝1＋(n－1)×3，即bn＝3n－2.(4分)‎ ‎(2) 由bn＋1＝2Sn－n＋λ得b2＝＋λ，b3＝4＋3λ＝7，故λ＝1.‎ ‎(解法1)由bn＋1＝2Sn－n＋1得bn＋2＝2Sn＋1－(n＋1)＋1，‎ 18‎ 两式作差得bn＋2－bn＋1＝2bn＋1－，即bn＋2＝3bn＋1－.‎ 又b2＝，∴ b2＝3b1－，∴ bn＋1＝3bn－对n∈N*恒成立，(6分)‎ 则bn＋1－＝3(bn－)，而b1－＝≠0，∴ bn－≠0，∴ ＝3，‎ ‎∴ {bn－}是等比数列，(8分)‎ ‎∴ bn－＝(1－)×3n－1＝×3n，‎ ‎∴ bn＝×3n＋，∴ ＝＝3，‎ ‎∴ {bn＋1－bn}是公比为3的等比数列，故数列{bn}是“M(q)数列”．(10分)‎ ‎(解法2)同解法1得bn＋1＝3bn－对n∈N*恒成立，‎ 则bn＋2＝3bn＋1－，两式作差得bn＋2－bn＋1＝3(bn＋1－bn)．‎ 而b2－b1＝≠0，∴ bn＋1－bn≠0，∴ ＝3，以下同解法1.(10分)‎ ‎(3) 由数列{bn}是“M(2)数列”得bn＋1－bn＝(b2－b1)×2n－1，‎ 又＝2，∴ ＝2，∴ b2＝3，∴ b2－b1＝2，∴ bn＋1－bn＝2n，‎ ‎∴ 当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1，‎ 当n＝1时上式也成立，故bn＝2n－1.(12分)‎ 假设存在正整数m，n使得<<，则<<.‎ 由>>1可知2m－1>2n－1，∴ m>n.又m，n为正整数，∴ m－n≥1.‎ 又＝＝2m－n＋<，‎ ‎∴ 2m－n<<3，∴ m－n＝1，∴ ＝2＋，∴ <2＋<，‎ ‎∴ <2n<2 020，∴ n＝10，∴ m＝11，‎ 18‎ 故存在满足条件的正整数m，n，m＝11，n＝10.(16分)‎ ‎20. 解：(1) 由函数f(x)为奇函数，得f(x)＋f(－x)＝0在定义域上恒成立，‎ 所以 ex－ae－x－mx＋e－x－aex＋mx＝0，化简可得 (1－a)·(ex＋e－x)＝0，所以a＝1.(3分)‎ ‎(2) (解法1)由(1)可得f(x)＝ex－e－x－mx，所以f′(x)＝ex＋e－x－m＝，‎ 其中当m≤2时，由于e2x－mex＋1≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，故不存在极小值．(5分)‎ 当m>2时，方程t2－mt＋1＝0有两个不等的正根t1，t2(t12，取t＝ln m，则g(t)＝>0.‎ 又函数g(x)的图象在区间[0，t]上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间(0，t)上，存在x0为函数g(x)的零点，f(x0)为f(x)极小值．‎ 所以m的取值范围是(2，＋∞)．(9分)‎ ‎(3) 由x0满足ex0＋e－x0＝m，代入f(x)＝ex－e－x－mx, ‎ 消去m可得f(x0)＝(1－x0)ex0－(1＋x0)e－x0，(11分)‎ 构造函数h(x)＝(1－x)ex－(1＋x)e－x，‎ 所以h′(x)＝x(e－x－ex)，当x≥0时，e－x－ex＝≤0，‎ 所以当x≥0时，h′(x)≤0恒成立，故h(x)在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－，(13分)‎ 则f(x0)≥－可转化为h(x0)≥h(1)，‎ 故x0≤1，由ex0＋e－x0＝m，设y＝ex＋e－x，‎ 可得当x≥0时，y′＝ex－e－x≥0，y＝ex＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋.‎ 18‎ 综上，m的取值范围是(2，e＋] .(16分)‎ 18‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)‎ 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21. A. 解：设圆C上一点(x，y)，经矩阵M变换后得到圆C′上一点(x′，y′)，‎ 所以＝，所以(5分)‎ 又圆C′：x2＋y2＝13，所以圆C的方程为(ax＋3y)2＋(3x－2y)2＝13，‎ 化简得(a2＋9)x2＋(6a－12)xy＋13y2＝13，‎ 所以解得a＝2.(10分)‎ B. 解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，‎ 由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m，可得直角坐标方程为x＋2y－m＝0.‎ 又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4, (5分)‎ 所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2为半径的圆．‎ 为使直线被曲线(圆)截得的弦AB最长，所以直线过圆心(0，2)，‎ 于是0＋2×2－m＝0，解得m＝4.(10分)‎ C. 解：因为＋＋＝1，所以＋＋＝1.‎ 由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(1＋2＋3)2，‎ 即a＋2b＋3c≥36, (5分)‎ 当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，‎ 所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a＋2b＋3c取最小值36.(10分)‎ ‎22. 解：(1) (1) 以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.　‎ 由CD＝2，AA1＝3，所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，A1(0，－1，3)，B1(0，1，3)，从而＝(－1，1，－3)，＝(1，－1，－3)，‎ 18‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为.(4分)‎ ‎(2) 设AA1＝m>0，则A1(0，－1，m)，B1(0，1，m)，‎ 所以＝(－1，1，－m)，＝(1，－1，－m)，＝(2，0，0)．‎ 设平面A1CD的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，‎ 所以 所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，‎ 所以平面A1CD的一个法向量n1＝(0，m，1)，‎ 同理可得平面B1CD的一个法向量n2＝(0，－m，1)．‎ 因为二面角A1CDB1的大小为，‎ 所以＝||＝，解得m＝或m＝，‎ 由图形可知当二面角A1CDB1的大小为时， m＝.(10分)‎ 注：用传统方法也可，请参照评分．‎ ‎23. (1) 解：令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝0.‎ 令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝31＋32＋…＋32n＝(9n－1)，‎ 两式相加得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝(9n－1)，∴ Sn＝(9n－1)．(3分)‎ ‎(2) 证明：Tn＝－S1C＋S2C－S3C＋…＋(－1)nSnC ‎＝{[－91C＋92C－93C＋…＋(－1)n9nC]－[－C＋C－C＋…＋(－1)nC]}‎ ‎＝{[90C－91C＋92C－93C＋…＋(－1)n9nC]－[C－C＋C－C＋…＋(－1)nC]}‎ ‎＝[90C－91C＋92C－93C＋…＋(－1)n9nC]‎ ‎＝[C(－9)0＋C(－9)1＋C(－9)2＋…＋C(－9)n]‎ ‎＝[1＋(－9)]n＝×(－8)n(7分)‎ 18‎ 要证|Tn|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n－1≥n3，即证2n－1≥n，‎ 当n＝1，2时，2n－1≥n显然成立；‎ 当n≥3时，2n－1＝C＋C＋…＋C≥C＋C＝1＋(n－1)＝n，即2n－1≥n，‎ ‎∴ 2n－1≥n对n∈N*恒成立．‎ 综上，|Tn|≥6n3恒成立．(10分)‎ 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n－1≥n恒成立，请参照评分．‎ 18‎