高科数学专题复习课件：第五章 5_2平面向量基本定理及坐标表示 48页

§5.2 　 平面向量基本定理及坐标表示 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 2. 平面向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ＋ b ＝ ， a － b ＝ ， λ a ＝ ， | a | ＝ . 1. 平面向量基本定理 如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ， 一对实数 λ 1 、 λ 2 ，使 a ＝ . 其中 ，不共线的向量 e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组 . 知识梳理 不共线 有且只有 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 基底 ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) ( x 1 － x 2 ， y 1 － y 2 ) ( λx 1 ， λy 1 ) (2) 向量坐标的求法 ① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 . ② 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 ＝ ， | | ＝ . 3. 平面向量共线的坐标表示 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，其中 b ≠ 0 . a 、 b 共线 ⇔ . ( x 2 － x 1 ， y 2 － y 1 ) x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 1. 若 a 与 b 不共线， λ a ＋ μ b ＝ 0 ，则 λ ＝ μ ＝ 0. 2. 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，如果 x 2 ≠ 0 ， y 2 ≠ 0 ， 则 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 .( 　 　 ) (2) 若 a ， b 不共线，且 λ 1 a ＋ μ 1 b ＝ λ 2 a ＋ μ 2 b ，则 λ 1 ＝ λ 2 ， μ 1 ＝ μ 2 .( 　 　 ) (3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 .( 　 　 ) (4) 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件可表示 成 . ( 　 　 ) (5) 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 .( 　 　 ) × √ 思考辨析 √ √ × 1. 设 e 1 ， e 2 是平面内一组基底， 那么 A. 若实数 λ 1 ， λ 2 使 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ＝ 0 ，则 λ 1 ＝ λ 2 ＝ 0 B. 空间内任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ( λ 1 ， λ 2 为实数 ) C. 对实数 λ 1 ， λ 2 ， λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 不一定在该平面内 D. 对平面内任一向量 a ，使 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 的实数 λ 1 ， λ 2 有无数对 考点自测 答案 2.( 教材改编 ) 已知 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 0 ，且 a n ＝ (3,4) ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n － 1 的 坐标为 A.(4,3) B .( － 4 ，－ 3) C.( － 3 ，－ 4) D.( － 3,4) a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n － 1 ＝－ a n ＝ ( － 3 ，－ 4). 答案 解析 A.( － 7 ，－ 4) B .(7,4) C.( － 1,4) D .(1,4) 答案 解析 4. 已知向量 a ＝ (2,3) ， b ＝ ( － 1,2) ，若 m a ＋ n b 与 a － 2 b 共线， 则 ＝ ___. 由已知条件可得 m a ＋ n b ＝ (2 m, 3 m ) ＋ ( － n, 2 n ) ＝ (2 m － n, 3 m ＋ 2 n ) ， a － 2 b ＝ (2,3) － ( － 2,4) ＝ (4 ，－ 1). ∵ m a ＋ n b 与 a － 2 b 共线， 答案 解析 5.( 教材改编 ) 已知 ▱ ABCD 的顶点 A ( － 1 ，－ 2) ， B (3 ，－ 1) ， C (5,6) ，则顶点 D 的坐标为 ______. 答案 解析 (1,5) 题型分类　深度剖析 例 1 　 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F . 题型一　平面向量基本定理的应用 答案 解析 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 . (2) 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 答案 解析 例 2 　 (1) 已知 a ＝ (5 ，－ 2) ， b ＝ ( － 4 ，－ 3) ，若 a － 2 b ＋ 3 c ＝ 0 ，则 c 等于 题型二　 平面向量的坐标运算 由已知 3 c ＝－ a ＋ 2 b ＝ ( － 5,2) ＋ ( － 8 ，－ 6) ＝ ( － 13 ，－ 4). 答案 解析 (2) 已知向量 a ＝ (1 ，－ 2) ， b ＝ ( m, 4) ，且 a ∥ b ，则 2 a － b 等于 A.(4,0) B .( 0,4) C.(4 ，－ 8) D.( － 4,8) 因为向量 a ＝ (1 ，－ 2) ， b ＝ ( m, 4) ，且 a ∥ b ， 所以 1 × 4 ＋ 2 m ＝ 0 ，即 m ＝－ 2 ， 所以 2 a － b ＝ 2 × (1 ，－ 2) － ( － 2,4) ＝ (4 ，－ 8). 答案 解析 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算 . 若 已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 北京东城区模拟 ) 向量 a ， b ， c 在正方形网格中的位置 如图所 示，若 c ＝ λ a ＋ μ b ( λ ， μ ∈ R ) ， 答案 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如 图所 示的平面直角坐标 系 ( 设每个小正方形边长为 1) ，则 A (1 ，－ 1) ， B (6,2) ， C (5 ，－ 1) ， 4 ∵ c ＝ λ a ＋ μ b ， ∴ ( － 1 ，－ 3) ＝ λ ( － 1,1) ＋ μ (6,2) ， 答案 解析 命题点 1 　 利用向量共线求向量或点的坐标 例 3 　 已知点 A (4,0) ， B (4,4) ， C (2,6) ，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 _____. 题型三　向量共线的坐标表示 答案 解析 (3,3) 所以 ( x － 4) × 6 － y × ( － 2) ＝ 0 ，解得 x ＝ y ＝ 3 ， 所以点 P 的坐标为 (3,3). 命题点 2 　 利用向量共线求参数 例 4 　 ( 2017· 郑州 月考 ) 已知向量 a ＝ (1 － sin θ ， 1) ， b ＝ ( ， 1 ＋ sin θ ) ，若 a ∥ b ，则锐角 θ ＝ ____. 又 θ 为锐角， ∴ θ ＝ 45°. 答案 解析 45° 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1) 利用两向量共线求参数 . 如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用 “ 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 ＝ x 2 y 1 ” 解题比较方便 . (2) 利用两向量共线的条件求向量坐标 . 一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λ a ( λ ∈ R ) ，然后结合其他条件列出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λ a 即可得到所求的向量 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 已知梯形 ABCD ，其中 AB ∥ CD ，且 DC ＝ 2 AB ，三个顶点 A (1,2) ， B (2,1) ， C (4,2) ，则点 D 的坐标为 _____. ∵ 在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， DC ＝ 2 AB ， 答案 解析 故点 D 的坐标为 (2,4). (2,4) 所以 ( － a ＋ 2 ，－ 2) ＝ λ ( b ＋ 2 ，－ 4) ， ( 当且仅当 b ＝ a 时，等号成立 ). 答案 解析 典例　 解析 法 ( 坐标法 ) 在向量中的应用 思想与方法系列 11 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征 . 思想方法指 导 规范解答 建立平面直角坐标系，如图所示， 课时作业 √ 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2. 已知点 A ( － 1,5) 和向量 a ＝ (2,3) ， 若 ＝ 3 a ，则点 B 的坐标为 A.(7,4) B .( 7,14) C .(5,4) D .(5,14) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 3. 已知向量 a ＝ (1,2) ， b ＝ (1,0) ， c ＝ (3,4). 若 λ 为实数， ( a ＋ λ b ) ∥ c ，则 λ 等于 ∵ a ＋ λ b ＝ (1 ＋ λ ， 2) ， c ＝ (3,4) ，且 ( a ＋ λ b ) ∥ c ， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 4. 已知 a ＝ (1,1) ， b ＝ (1 ，－ 1) ， c ＝ ( － 1,2) ，则 c 等于 设 c ＝ λ a ＋ μ b ， ∴ ( － 1,2) ＝ λ (1,1) ＋ μ (1 ，－ 1) ， √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.2 B. C.3 D.4 √ 答案 解析 以 OA 为 x 轴， OB 为 y 轴建立直角坐标系 ( 图略 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ( － 3 ，－ 5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 8. 设 0 ＜ θ ＜ ， 向量 a ＝ (sin 2 θ ， cos θ ) ， b ＝ (cos θ ， 1) ，若 a ∥ b ，则 tan θ ＝ ___. ∵ a ∥ b ， ∴ sin 2 θ × 1 － cos 2 θ ＝ 0 ， ∴ 2sin θ cos θ － cos 2 θ ＝ 0 ， ∵ ， ∴ cos θ ＞ 0 ， ∴ 2sin θ ＝ cos θ ， ∴ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 9. 在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是 CD 和 BC 的中点 . 其中 λ ， μ ∈ R ，则 λ ＋ μ ＝ _____. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 * 10 . 如图所示， A ， B ， C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D ， ( － 1,0) ∴ m ＝ kλ ， n ＝ k (1 － λ ) ， ∴ m ＋ n ＝ k ，从而 m ＋ n ∈ ( － 1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 11. 已知 A (1,1) ， B (3 ，－ 1) ， C ( a ， b ). (1) 若 A ， B ， C 三点共线，求 a ， b 的关系式 ； ∵ A ， B ， C 三点共线 ， ∴ . ∴ 2( b － 1) ＋ 2( a － 1) ＝ 0 ，即 a ＋ b ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 ∴ 点 C 的坐标为 (5 ，－ 3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由已知得 a ＝ (5 ，－ 5) ， b ＝ ( － 6 ，－ 3) ， c ＝ (1,8). 3 a ＋ b － 3 c ＝ 3(5 ，－ 5) ＋ ( － 6 ，－ 3) － 3(1,8) ＝ (15 － 6 － 3 ，－ 15 － 3 － 24 ) ＝ (6 ，－ 42). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求 3 a ＋ b － 3 c ； 解答 (2) 求满足 a ＝ m b ＋ n c 的实数 m ， n ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ m b ＋ n c ＝ ( － 6 m ＋ n ，－ 3 m ＋ 8 n ) ＝ (5 ，－ 5) ， 解答 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 如图所示， G 是 △ OAB 的重心， P ， Q 分别 是边 OA 、 OB 上的动点 ，且 P ， G ， Q 三点共线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13