高科数学专题复习课件：第十四章 14_2 第2课时不等式选讲 51页

§14.2 　 不等式选讲 第 2 课时　不等式的证明 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 比较法： ① 作差比较法： 知道 a > b ⇔ a － b >0 ， a < b ⇔ a － b <0 ，因此要证明 a > b 只要 证明 即 可，这种方法称为作差比较法 . ② 作商比较法： 由 a > b >0 ⇔ > 1 且 a >0 ， b >0 ，因此当 a >0 ， b >0 时，要证明 a > b ，只要 证明 即 可，这种方法称为作商比较法 . 1. 不等式证明的方法 知识梳理 a － b >0 (2) 综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法 . 即 “ 由因导果 ” 的方法 . (3) 分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 ( 已知条件、定理等 ) ，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法 . 即 “ 执果索因 ” 的方法 . (4) 反证法和放缩法： ① 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法 . ② 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法 . (5) 数学归纳法： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n 0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： ① 证明当 n ＝ n 0 时命题成立； ② 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ，且 k ≥ n 0 ) 时命题成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立 . 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n 0 的所有正整数都成立 . 这种证明方法称为数学归纳法 . (1) 柯西不等式： ① 柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 都是实数，则 ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) ≥ ( 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立 ). ② 柯西不等式的向量形式：设 α ， β 是两个向量，则 | α || β | ≥ | α · β | ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝ k β 时，等号成立 . 2. 几个常用基本不等式 ( ac ＋ bd ) 2 考点自测 解答 解答 ≤ (1 2 ＋ 1 2 ＋ 1 2 )( a ＋ b ＋ c ) ＝ 3. ∵ x >0 ， y >0 ， 解答 题型分类　深度剖析 例 1 　 (1) 已知 x ， y 均为正数，且 x > y ，求证： 2 x ＋ ≥ 2 y ＋ 3 ； 题型一　用综合法与分析法证明不等式 证明 因为 x >0 ， y >0 ， x － y >0 ， 证明 只需证明 ( a ＋ b ＋ c ) 2 ≥ 3. 即证： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3 ， 而 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1 ， 故需证明： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3( ab ＋ bc ＋ ca ). 即证： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ca . 所以原不等式成立 . 思维 升华 用综合法证明不等式是 “ 由因导果 ” ，用分析法证明不等式是 “ 执果索因 ” ，它们是两种思路截然相反的证明方法 . 综合法 往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 . 跟踪训练 1 　 设 a 、 b 、 c 均为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，证明： 证明 由 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ， b 2 ＋ c 2 ≥ 2 bc ， c 2 ＋ a 2 ≥ 2 ac 得 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ca . 由题设得 ( a ＋ b ＋ c ) 2 ＝ 1 ， 即 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ＝ 1. 证明 例 2 　 若 a ， b ∈ R ， 求证： 当 | a ＋ b | ＝ 0 时，不等式显然成立 . 当 | a ＋ b | ≠ 0 时， 题型二　放缩法证明不等式 证明 思维 升华 (1) 在不等式的证明中， “ 放 ” 和 “ 缩 ” 是常用的推证技巧 . 常见的放缩变换有： ② 利用函数的单调性； ③ 真分数性质 “ 若 0< a < b ， m >0 ， (2) 在用放缩法证明不等式时， “ 放 ” 和 “ 缩 ” 均需把握一个度 . 跟踪训练 2 　 证明 由 2 n ≥ n ＋ k > n ( k ＝ 1,2 ， … ， n ) ，得 … ∴ 原不等式成立 . 题型三　柯西不等式的应用 证明 (2) 若 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 6 ，求 x 2 ＋ y 2 ＋ z 2 的最小值 . 解答 思维 升华 (1) 使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行 证明 . ( 2) 利用柯西不等式求最值的一般结构为 ： ≥ (1 ＋ 1 ＋ … ＋ 1) 2 ＝ n 2 . 在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 . 证明 由柯西不等式及题意得， 课时作业 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 已知 x ＋ y ＝ 1 ，求 2 x 2 ＋ 3 y 2 的最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 即 a ＝－ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由柯西不等式可得 ( x 2 ＋ y 2 ＋ z 2 )(1 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 ) ≥ ( x ＋ 2 y ＋ 3 z ) 2 ， 即 ( x ＋ 2 y ＋ 3 z ) 2 ≤ 14 ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 又 a ＋ b ＋ c >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知 a ， b ， c ∈ R ，且 2 a ＋ 2 b ＋ c ＝ 8 ，求 ( a － 1) 2 ＋ ( b ＋ 2) 2 ＋ ( c － 3) 2 的最小值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由柯西不等式得 (4 ＋ 4 ＋ 1) × [ ( a － 1) 2 ＋ ( b ＋ 2) 2 ＋ ( c － 3) 2 ] ≥ [ 2( a － 1) ＋ 2( b ＋ 2) ＋ c － 3 ] 2 ， ∴ 9 [ ( a － 1) 2 ＋ ( b ＋ 2) 2 ＋ ( c － 3) 2 ] ≥ (2 a ＋ 2 b ＋ c － 1) 2 . ∵ 2 a ＋ 2 b ＋ c ＝ 8 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明： (1) a ＋ b ≥ 2 ； (2) a 2 ＋ a ＜ 2 与 b 2 ＋ b ＜ 2 不可能同时成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 (2) 假设 a 2 ＋ a ＜ 2 与 b 2 ＋ b ＜ 2 同时成立， 则由 a 2 ＋ a ＜ 2 及 a ＞ 0 得 0 ＜ a ＜ 1 ； 同理， 0 ＜ b ＜ 1 ，从而 ab ＜ 1 ，这与 ab ＝ 1 矛盾 . 故 a 2 ＋ a ＜ 2 与 b 2 ＋ b ＜ 2 不可能同时成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 求 M ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以 f ( x )<2 的解集 M ＝ { x | － 1< x <1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 证明：当 a ， b ∈ M 时， | a ＋ b |<|1 ＋ ab |. 由 (1) 知，当 a ， b ∈ M 时，－ 1< a <1 ，－ 1< b <1 ， 从而 ( a ＋ b ) 2 － (1 ＋ ab ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － a 2 b 2 － 1 ＝ ( a 2 － 1)(1 － b 2 )<0 ， 即 ( a ＋ b ) 2 <(1 ＋ ab ) 2 ，因此 | a ＋ b |<|1 ＋ ab |. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(1) 关于 x 的不等式 | x － 3| ＋ | x － 4|< a 的解集不是空集，求 a 的取值范围； ∵ | x － 3| ＋ | x － 4| ≥ |( x － 3) － ( x － 4)| ＝ 1 ， 且 | x － 3| ＋ | x － 4|< a 的解集不是空集， ∴ a >1 ，即 a 的取值范围是 (1 ，＋ ∞ ). 由柯西不等式，得 ＝ ( x ＋ y ＋ z ) 2 ， 即 25 × 1 ≥ ( x ＋ y ＋ z ) 2 . ∴ 5 ≥ | x ＋ y ＋ z | ， ∴ － 5 ≤ x ＋ y ＋ z ≤ 5. ∴ x ＋ y ＋ z 的取值范围是 [ － 5,5 ]. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 已知 a ， b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， a ＋ b ＝ 1 ， x 1 ， x 2 ∈ (0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 因为 a ， b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， a ＋ b ＝ 1 ， x 1 ， x 2 ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 (2) 求证： ( ax 1 ＋ bx 2 )( ax 2 ＋ bx 1 ) ≥ x 1 x 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一 　由 a ， b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， a ＋ b ＝ 1 ， x 1 ， x 2 ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，及柯西不等式可得： 所以 ( ax 1 ＋ bx 2 )( ax 2 ＋ bx 1 ) ≥ x 1 x 2 . 方法二 　因为 a ， b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， a ＋ b ＝ 1 ， x 1 ， x 2 ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 所以 ( ax 1 ＋ bx 2 )( ax 2 ＋ bx 1 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ≥ x 1 x 2 ( a 2 ＋ b 2 ) ＋ ab (2 x 1 x 2 ) ＝ x 1 x 2 ( a 2 ＋ b 2 ＋ 2 ab ) ＝ x 1 x 2 ( a ＋ b ) 2 ＝ x 1 x 2 ， 当且仅当 x 1 ＝ x 2 时，取得等号 . 所以 ( ax 1 ＋ bx 2 )( ax 2 ＋ bx 1 ) ≥ x 1 x 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10