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  • 2021-07-01 发布

高考数学专题复习:课时达标检测(二十七) 平面向量基本定理及坐标表示

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课时达标检测(二十七) 平面向量基本定理及坐标表示 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1.若向量=(2,4),=(1,3),则=(  )‎ A.(1,1) B.(-1,-1) ‎ C.(3,7) D.(-3,-7)‎ 解析:选B 由向量的三角形法则,=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).故选B.‎ ‎2.(2017·丰台期末)已知向量a=(3,-4),b=(x,y),若a∥b,则(  )‎ A.3x-4y=0 B.3x+4y=0‎ C.4x+3y=0 D.4x-3y=0‎ 解析:选C 由平面向量共线基本定理可得3y+4x=0,故选C.‎ ‎3.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若‎3a-2b+c=0,则c=(  )‎ A.(-23,-12) B.(23,12)‎ C.(7,0) D.(-7,0)‎ 解析:选A 由题意可得‎3a-2b+c=3(5,2)-2(-4,-3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).‎ ‎4.若AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=(3,5),=(2,4),则=(  )‎ A.(-1,-1)  B.(5,9) C.(1,1) D.(3,5)‎ 解析:选A 由题意可得==-=(2,4)-(3,5)=(-1,-1).‎ ‎5.若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________.‎ 解析:=(a-1,3),=(-3,4),据题意知∥,∴4(a-1)=3×(-3),即‎4a=-5,∴a=-.‎ 答案:- ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),若a∥b,则‎3a+2b=(  )‎ A.(7,2) B.(7,-14) C.(7,-4) D.(7,-8)‎ 解析:选B ∵a∥b,∴m+4=0,∴m=-4,∴b=(2,-4),∴‎3a+2b=3(1,-2)+2(2,-4)=(7,-14).‎ ‎2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反,则x的值是(  )‎ A.2 B.-‎2 ‎‎ ‎‎ C.±2 D.0‎ 解析:选B 因为a与b方向相反,所以b=ma,m<0,则有(4,x)=m(x,1),∴解得m=±2.又m<0,‎ ‎∴m=-2,x=m=-2.‎ ‎3.已知在平行四边形ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 因为在平行四边形ABCD中,有=+,=,所以=(+)=[(-3,4)+(2,8)]=×(-1,12)=,故选B.‎ ‎4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量‎4a,4b-‎2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=(  )‎ A.(2,6) B.(-2,6)‎ C.(2,-6) D.(-2,-6)‎ 解析:选D 设d=(x,y),由题意知‎4a=4(1,-3)=(4,-12),4b-‎2c=4(-2,4)-2(-1,-2)=(-6,20),2(a-c)=2[(1,-3)-(-1,-2)]=(4,-2),又‎4a+(4b-‎2c)+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).‎ ‎5.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D =+=(-2,3)+(3,7)=(1,10).∴==.∴=.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=,||=2,若=λ+μ,则λ+μ=(  )‎ A.2 B. C.2 D.4 解析:选A 因为||=2,∠AOC=,所以C(,),又=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,λ+μ=2.‎ 二、填空题 ‎7.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若 =(4,3),=(1,5),则=________.‎ 解析:=-=(1,5)-(4,3)=(-3,2),∴=2=2(-3,2)=(-6,4).=+=(4,3)+(-6,4)=(-2,7),∴=3=3(-2,7)=(-6,21).‎ 答案:(-6,21)‎ ‎8.已知向量,和在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=________.‎ 解析:建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0),由题意可知(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.‎ 答案:-3‎ ‎9.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于________.‎ 解析:P中,a=(-1+m,1+‎2m),Q中,b=(1+2n,-2+3n).则得此时a=b=(-13,-23).‎ 答案:{(-13,-23)}‎ ‎10.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 解析:由=λ+μ,得=λ·(+)+μ·(+),则+++ =0,得++=0,得+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.‎ 答案: 三、解答题 ‎11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,试用a,b为基底表示向量,,.‎ 解:=++=-b-a+b=b-a,‎ ‎=+=-b+=b-a,‎ ‎=+=-b-=a-b.‎ ‎12.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.‎ 解:以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B-,,设∠AOC=αα∈0,,则C(cos α,sin α),‎ 由=x+y,得 所以x=cos α+sin α,y=sin α,‎ 所以x+y=cos α+sin α=2sin,‎ 又α∈,则α+∈.‎ 所以当α+=,即α=时,x+y取得最大值2. ‎