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- 2021-07-01 发布
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2019届高三数学专题练习导数的应用
1.利用导数判断单调性
例1:求函数的单调区间
2.函数的极值
例2:求函数的极值.
3.利用导数判断函数的最值
例3:已知函数在区间上取得最小值4,则___________.
一、单选题
1.函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
2.若是函数的极值点,则( )
A.有极大值 B.有极小值
C.有极大值0 D.有极小值0
3.已知函数在上单调递减,且在区间
上既有最大值,又有最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数是上的单调函数,则的范围是( )
A. B. C. D.
5.遇见你的那一刻,我的心电图就如函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.函数在内存在极值点,则( )
A. B.
C.或 D.或
7.已知,,若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
8.函数在定义域内可导,其图像如图所示.记的导函数为,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9.设函数,则( )
A.在区间,内均有零点
B.在区间,内均无零点
C.在区间内有零点,在区间内无零点
D.在区间内无零点,在区间内有零点
10.若函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围为( )
A. B. C.或 D.或
11.已知函数的两个极值点分别在与内,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间
上,则称函数在区间上为“凹函数”,已知在区间上为“凹函数”,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.函数在区间上的最大值是___________.
14.若函数在,上都是单调增函数,则实数的取值集合是______.
15.函数在内不存在极值点,则的取值范围是___________.
16.已知函数,
①当时,有最大值;
②对于任意的,函数是上的增函数;
③对于任意的,函数一定存在最小值;
④对于任意的,都有.
其中正确结论的序号是_________.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题
17.已知函数
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)证明:恒成立.
18.已知函数,其导函数为.
(1)当时,若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(2)设,点是曲线上的一个定点,是否存在实数
使得成立?并证明你的结论.
答案
1.利用导数判断单调性
例1:求函数的单调区间
【答案】见解析
【解析】第一步:先确定定义域,定义域为,
第二步:求导:
,
第三步:令,即,
第四步:处理恒正恒负的因式,可得,
第五步:求解,列出表格
2.函数的极值
例2:求函数的极值.
【答案】的极大值为,无极小值
【解析】
令解得:,的单调区间为:
的极大值为,无极小值.
3.利用导数判断函数的最值
例3:已知函数在区间上取得最小值4,则___________.
【答案】
【解析】思路一:函数的定义域为,.
当时,,
当时,,为增函数,所以,,矛盾舍去;
当时,若,,为减函数,若,,为增函数,
所以为极小值,也是最小值;
①当,即时,在上单调递增,所以,
所以(矛盾);
②当,即时,在上单调递减,,
所以;
③当,即时,在上的最小值为,
此时(矛盾).
综上.
思路二:,令导数,考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得,因此可假设,,分别为函数的最小值点,求出后再检验即可.
一、单选题
1.函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的导数为,令,得,
∴结合函数的定义域,得当时,函数为单调减函数.
因此,函数的单调递减区间是.故选A.
2.若是函数的极值点,则( )
A.有极大值 B.有极小值
C.有极大值0 D.有极小值0
【答案】A
【解析】因为是函数的极值点,所以,,,.当时,;当时,,因此有极大值,故选A.
3.已知函数在上单调递减,且在区间上既有最大值,又有最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减,
所以对于一切恒成立,得,,
又因为在区间上既有最大值,又有最小值,
所以,可知在上有零点,
也就是极值点,即有解,在上解得,
可得,,故选C.
4.函数是上的单调函数,则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若函数是上的单调函数,只需恒成立,
即,.故选C.
5.遇见你的那一刻,我的心电图就如函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,其定义域为,即,,
则函数为奇函数,故排除C、D,
,则函数在定义域内单调递减,排除B,故选A.
6.函数在内存在极值点,则( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【解析】若函数在无极值点,则或在恒成立.
①当在恒成立时,时,,得;
时,,得;
②当在恒成立时,则且,得;
综上,无极值时或.∴在在存在极值.故选A.
7.已知,,若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】D
【解析】因为,函数在区间上单调递减,
所以在区间上恒成立,
只需,即解得或,故选D.
8.函数在定义域内可导,其图像如图所示.记的导函数为,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图象知和上递减,因此的解集为.
故选A.
9.设函数,则( )
A.在区间,内均有零点
B.在区间,内均无零点
C.在区间内有零点,在区间内无零点
D.在区间内无零点,在区间内有零点
【答案】D
【解析】的定义域为,在单调递减,单调递增,,
当在区间上时,在其上单调,,,故在区间上无零点,
当在区间上时,在其上单调,,,故在区间上有零点.
故选D.
10.若函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围为( )
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】,,
函数既有极大值又有极小值,
有两个不等的实数根,
,,则或,故选D.
11.已知函数的两个极值点分别在与内,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数,求导,
的两个极值点分别在区间与内,由
的两个根分别在区间与内,,
令,转化为在约束条件为时,求的取值范围,
可行域如下阴影(不包括边界),
目标函数转化为,由图可知,在处取得最大值,在处取得最小值,可行域不包含边界,的取值范围.本题选择A选项.
12.设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间
上,则称函数在区间上为“凹函数”,已知在区间上为“凹函数”,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,∴,∴,
∵函数在区间上为“凹函数”∴,
∴在上恒成立,即在上恒成立.
∵在上为单调增函数,∴,∴,
故选D.
二、填空题
13.函数在区间上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】,已知,
当或时,,在该区间是增函数,
当时,,在该区间是减函数,
故函数在处取极大值,,又,故的最大值是8.
14.若函数在,上都是单调增函数,则实数的取值集合是______.
【答案】
【解析】,,
函数在,上都是单调增函数,
则,即,解得,,即,解得,
则实数的取值集合是,故答案为.
15.函数在内不存在极值点,则的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】函数在内不存在极值点在内单调函数或在内恒成立,
由在内恒成立,,即,
同理可得,故答案为或.
16.已知函数,
① 当时,有最大值;
② 对于任意的,函数是上的增函数;
③ 对于任意的,函数一定存在最小值;
④ 对于任意的,都有.
其中正确结论的序号是_________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】②③
【解析】由函数的解析式可得:,当时,,,单调递增,且,
据此可知当时,,单调递增,函数没有最大值,说法①错误;
当时,函数,均为单调递增函数,则函数是上的增函数,说法②正确;
当时,单调递增,且,
且当,据此可知存在,
在区间上,,单调递减;
在区间上,,单调递增;
函数在处取得最小值,说法③正确;
当时,,
由于,故,,说法④错误;
综上可得:正确结论的序号是②③.
三、解答题
17.已知函数
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)证明:恒成立.
【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,
在上单调递减;(2)见解析.
【解析】(1),
当时,恒成立,所以,在上单调递增;
当时,令,得到,所以,当时,,单调递增,当时,,单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)证法一:由(1)可知,当时,,
特别地,取,有,即,所以(当且仅当时等号成立),
因此,要证恒成立,只要证明在上恒成立即可,
设 ,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增.
所以,当时,,即在上恒成立.
因此,有,又因为两个等号不能同时成立,所以有恒成立.
证法二:记函数,则,
可知在上单调递增,又由,知,在上有唯一实根,
且,则,即(*),
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
所以,结合(*)式,知,
所以,
则,即,所以有恒成立.
18.已知函数,其导函数为.
(1)当时,若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(2)设,点是曲线上的一个定点,是否存在实数使得成立?并证明你的结论.
【答案】(1)或;(2)不存在,见解析.
【解析】(1)当时,,,,,
由题意得,即,
令,则,解得,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
,
当时,,当时,,
则或时,在上有且只有一个零点.
(2)由,得,
假设存在,则有,
即,
,
,
,
即,,,
令,则,
两边同时除以,得,即,
令,,
令在上单调递增,且,
对于恒成立,即对于恒成立,
在上单调递增,,
对于恒成立,不成立,
同理,时,也不成立,
不存在实数使得成立.
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