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  • 2021-07-01 发布

2019年高考数学练习题汇总2019届高三数学专题练习导数的应用

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‎2019届高三数学专题练习导数的应用 ‎1.利用导数判断单调性 例1:求函数的单调区间 ‎2.函数的极值 例2:求函数的极值.‎ ‎3.利用导数判断函数的最值 例3:已知函数在区间上取得最小值4,则___________.‎ 一、单选题 ‎1.函数的单调递减区间为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.若是函数的极值点,则( )‎ A.有极大值 B.有极小值 C.有极大值0 D.有极小值0‎ ‎3.已知函数在上单调递减,且在区间 上既有最大值,又有最小值,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.函数是上的单调函数,则的范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.遇见你的那一刻,我的心电图就如函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数在内存在极值点,则( )‎ A. B.‎ C.或 D.或 ‎7.已知,,若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎8.函数在定义域内可导,其图像如图所示.记的导函数为,则不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.设函数,则( )‎ A.在区间,内均有零点 B.在区间,内均无零点 C.在区间内有零点,在区间内无零点 D.在区间内无零点,在区间内有零点 ‎10.若函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C.或 D.或 ‎11.已知函数的两个极值点分别在与内,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间 上,则称函数在区间上为“凹函数”,已知在区间上为“凹函数”,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎13.函数在区间上的最大值是___________.‎ ‎14.若函数在,上都是单调增函数,则实数的取值集合是______.‎ ‎15.函数在内不存在极值点,则的取值范围是___________.‎ ‎16.已知函数,‎ ‎①当时,有最大值;‎ ‎②对于任意的,函数是上的增函数;‎ ‎③对于任意的,函数一定存在最小值; ‎ ‎④对于任意的,都有.‎ 其中正确结论的序号是_________.(写出所有正确结论的序号)‎ 三、解答题 ‎17.已知函数 ‎(1)讨论函数在上的单调性;‎ ‎(2)证明:恒成立.‎ ‎18.已知函数,其导函数为.‎ ‎(1)当时,若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设,点是曲线上的一个定点,是否存在实数 使得成立?并证明你的结论.‎ 答案 ‎1.利用导数判断单调性 例1:求函数的单调区间 ‎【答案】见解析 ‎【解析】第一步:先确定定义域,定义域为,‎ 第二步:求导:‎ ‎,‎ 第三步:令,即,‎ 第四步:处理恒正恒负的因式,可得,‎ 第五步:求解,列出表格 ‎2.函数的极值 例2:求函数的极值.‎ ‎【答案】的极大值为,无极小值 ‎【解析】‎ 令解得:,的单调区间为:‎ 的极大值为,无极小值.‎ ‎3.利用导数判断函数的最值 例3:已知函数在区间上取得最小值4,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路一:函数的定义域为,.‎ 当时,,‎ 当时,,为增函数,所以,,矛盾舍去;‎ 当时,若,,为减函数,若,,为增函数,‎ 所以为极小值,也是最小值;‎ ‎①当,即时,在上单调递增,所以,‎ 所以(矛盾);‎ ‎②当,即时,在上单调递减,,‎ 所以;‎ ‎③当,即时,在上的最小值为,‎ 此时(矛盾).‎ 综上.‎ 思路二:,令导数,考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得,因此可假设,,分别为函数的最小值点,求出后再检验即可.‎ 一、单选题 ‎1.函数的单调递减区间为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为,令,得,‎ ‎∴结合函数的定义域,得当时,函数为单调减函数. 因此,函数的单调递减区间是.故选A.‎ ‎2.若是函数的极值点,则( )‎ A.有极大值 B.有极小值 C.有极大值0 D.有极小值0‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是函数的极值点,所以,,,.当时,;当时,,因此有极大值,故选A.‎ ‎3.已知函数在上单调递减,且在区间上既有最大值,又有最小值,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数在上单调递减,‎ 所以对于一切恒成立,得,,‎ 又因为在区间上既有最大值,又有最小值,‎ 所以,可知在上有零点,‎ 也就是极值点,即有解,在上解得,‎ 可得,,故选C.‎ ‎4.函数是上的单调函数,则的范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】若函数是上的单调函数,只需恒成立,‎ 即,.故选C.‎ ‎5.遇见你的那一刻,我的心电图就如函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,其定义域为,即,,‎ 则函数为奇函数,故排除C、D,‎ ‎,则函数在定义域内单调递减,排除B,故选A.‎ ‎6.函数在内存在极值点,则( )‎ A. B.‎ C.或 D.或 ‎【答案】A ‎【解析】若函数在无极值点,则或在恒成立.‎ ‎①当在恒成立时,时,,得;‎ 时,,得;‎ ‎②当在恒成立时,则且,得;‎ 综上,无极值时或.∴在在存在极值.故选A.‎ ‎7.已知,,若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】因为,函数在区间上单调递减,‎ 所以在区间上恒成立,‎ 只需,即解得或,故选D.‎ ‎8.函数在定义域内可导,其图像如图所示.记的导函数为,则不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图象知和上递减,因此的解集为.‎ 故选A.‎ ‎9.设函数,则( )‎ A.在区间,内均有零点 B.在区间,内均无零点 C.在区间内有零点,在区间内无零点 D.在区间内无零点,在区间内有零点 ‎【答案】D ‎【解析】的定义域为,在单调递减,单调递增,,‎ 当在区间上时,在其上单调,,,故在区间上无零点,‎ 当在区间上时,在其上单调,,,故在区间上有零点.‎ 故选D.‎ ‎10.若函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】,,‎ 函数既有极大值又有极小值,‎ 有两个不等的实数根,‎ ‎,,则或,故选D.‎ ‎11.已知函数的两个极值点分别在与内,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数,求导,‎ 的两个极值点分别在区间与内,由 的两个根分别在区间与内,,‎ 令,转化为在约束条件为时,求的取值范围,‎ 可行域如下阴影(不包括边界),‎ 目标函数转化为,由图可知,在处取得最大值,在处取得最小值,可行域不包含边界,的取值范围.本题选择A选项.‎ ‎12.设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间 上,则称函数在区间上为“凹函数”,已知在区间上为“凹函数”,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,∴,∴,‎ ‎∵函数在区间上为“凹函数”∴,‎ ‎∴在上恒成立,即在上恒成立.‎ ‎∵在上为单调增函数,∴,∴,‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎13.函数在区间上的最大值是___________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】,已知,‎ 当或时,,在该区间是增函数,‎ 当时,,在该区间是减函数,‎ 故函数在处取极大值,,又,故的最大值是8.‎ ‎14.若函数在,上都是单调增函数,则实数的取值集合是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ 函数在,上都是单调增函数,‎ 则,即,解得,,即,解得,‎ 则实数的取值集合是,故答案为.‎ ‎15.函数在内不存在极值点,则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】函数在内不存在极值点在内单调函数或在内恒成立,‎ 由在内恒成立,,即,‎ 同理可得,故答案为或.‎ ‎16.已知函数,‎ ‎① 当时,有最大值;‎ ‎② 对于任意的,函数是上的增函数;‎ ‎③ 对于任意的,函数一定存在最小值; ‎ ‎④ 对于任意的,都有.‎ 其中正确结论的序号是_________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】由函数的解析式可得:,当时,,,单调递增,且,‎ 据此可知当时,,单调递增,函数没有最大值,说法①错误;‎ 当时,函数,均为单调递增函数,则函数是上的增函数,说法②正确;‎ 当时,单调递增,且,‎ 且当,据此可知存在,‎ 在区间上,,单调递减;‎ 在区间上,,单调递增;‎ 函数在处取得最小值,说法③正确;‎ 当时,,‎ 由于,故,,说法④错误;‎ 综上可得:正确结论的序号是②③.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数 ‎(1)讨论函数在上的单调性;‎ ‎(2)证明:恒成立.‎ ‎【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,‎ 在上单调递减;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1),‎ 当时,恒成立,所以,在上单调递增;‎ 当时,令,得到,所以,当时,,单调递增,当时,,单调递减.‎ 综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)证法一:由(1)可知,当时,,‎ 特别地,取,有,即,所以(当且仅当时等号成立),‎ 因此,要证恒成立,只要证明在上恒成立即可,‎ 设 ,则,‎ 当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增.‎ 所以,当时,,即在上恒成立.‎ 因此,有,又因为两个等号不能同时成立,所以有恒成立.‎ 证法二:记函数,则,‎ 可知在上单调递增,又由,知,在上有唯一实根,‎ 且,则,即(*),‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增,‎ 所以,结合(*)式,知,‎ 所以,‎ 则,即,所以有恒成立.‎ ‎18.已知函数,其导函数为.‎ ‎(1)当时,若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设,点是曲线上的一个定点,是否存在实数使得成立?并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)或;(2)不存在,见解析.‎ ‎【解析】(1)当时,,,,,‎ 由题意得,即,‎ 令,则,解得,‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增,‎ ‎,‎ 当时,,当时,,‎ 则或时,在上有且只有一个零点.‎ ‎(2)由,得,‎ 假设存在,则有,‎ 即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,,,‎ 令,则,‎ 两边同时除以,得,即,‎ 令,,‎ 令在上单调递增,且,‎ 对于恒成立,即对于恒成立,‎ 在上单调递增,,‎ 对于恒成立,不成立,‎ 同理,时,也不成立,‎ 不存在实数使得成立.‎