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- 2021-07-01 发布
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小题提速练(五)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=( )
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.∅ D.{-1}
解析:选D.∵A={x|x=m2,m∈U}={0,1},∴∁UA={-1},故选D.
2.已知复数z=-2i(其中i是虚数单位),则|z|=( )
A.2 B.2
C.3 D.3
解析:选C.复数z=3-i-2i=3-3i,则|z|=3,故选C.
3.已知命题p,q,则“¬p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B.充分性:若¬p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性:p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则¬p为假命题.所以“¬p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要而不充分条件,故选B.
4.已知正方形ABCD的中心为O且其边长为1,则(-)·(+)=( )
A. B.
C.2 D.1
解析:选D.(-)·(+)=·=1××cos 45°=1.
5.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD)中,点P是正方形A1B1C1D1内一点,则三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( )
A. B.1
C.2 D.
解析:选A.由题易知,其正视图面积为×1×2=1.当顶点P在底面ABCD上的投影在△BCD内部或其边上时,俯视图的面积最小,最小值为S△BCD=×1×1=,所以三棱锥P
BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1+=,故选A.
6.点P(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的动点,则m=x-y的最小值为( )
A.-1 B.1
C.4 D.0
解析:选D.如图所示,不等式组
所表示的平面区域为图中阴影部分所示.由图可知,当直线y=x-m经过点B时,m取得最小值.由可得故B(2,2).将点B(2,2)代入目标函数m=x-y,得m=0.故选D.
7.执行如图所示的程序框图,若最终输出的结果为0,则开始输入的x的值为( )
A. B.
C. D.4
解析:选B.i=1,x=2x-1,i=2;x=2(2x-1)-1=4x-3,i=3;x=2(4x-3)-1=8x-7,i=4,退出循环.此时8x-7=0,解得x=,故选B.
8.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽的弦图.弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实=弦2,化简得:勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A.866 B.500
C.300 D.134
解析:选D.设勾为a,则股为a,所以弦为2a,小正方形的边长为a-a,所以题图中大正方形的面积为4a2,小正方形的面积为(-1)2a2,所以小正方形与大正方形的面积比为=1-,所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.
9.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx的最小正周期为π,则函数f(x)的一个单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.f(x)=2sin,∵最小正周期T==π,∴ω=2,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得,-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),故选A.
10.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A.(2,+∞) B.∪(2,+∞)
C.∪(,+∞) D.(,+∞)
解析:选B.因为f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(log2x)>2=f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<-1⇔x>2或0<x<.故选B.
11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,则kPA·kPB=( )
A.1 B.
C. D.3
解析:选A.由双曲线的离心率为得b=a,所以双曲线的方程可化为x2-y2=a2,左顶点A(-a,0),右顶点B(a,0),设点P(m,n)(m≠±a),则直线PA的斜率kPA=,直线PB的斜率kPB=,所以kPA·kPB=①,又P(m,n)是双曲线x2-y2=a2上的点,所以m2-n2=a2,得n2=m2-a2,代入①式得kPA·kPB=1.
12.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是( )
A.(3,6] B.(3,5)
C.(5,6] D.[5,6]
解析:选C.由(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,及正弦定理可得,(a-b)(a+b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,∴cos A===,又0<A<,∴A=.∵a=,∴====2,∴b=2sin B,c=2sin C,∵C=π-B-=-B,
∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4
=4
=4+2
=4-4sinsin =4+2sin,在锐角△ABC中,0<B<,0<C<,∴<B<,∴<2B-<,
∴sin∈,∴b2+c2∈(5,6],故选C.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知函数f(x)=则f(f(3))=________.
解析:∵f(3)=f(2)=f(1)=21=2,∴f(f(3))=f(2)=f(1)=21=2.
答案:2
14.若tan θ=-3,则cos2θ+sin 2θ=________.
解析:cos2θ+sin 2θ====-.
答案:-
15.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a,a2=1,则a1=________.
解析:∵a3·a9=a,∴a=2a,设等比数列{an}的公比为q,因此q2=2,由于q>0,解得q=,∴a1===.
答案:
16.已知三棱锥SABC,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则三棱锥SABC的外接球的表面积为________.
解析:将三棱锥SABC放在长方体中(图略),易知三棱锥SABC所在长方体的外接球,即为三棱锥SABC的外接球,所以三棱锥SABC的外接球的直径2R==10,即三棱锥SABC的外接球的半径R=5,所以三棱锥SABC的外接球的表面积S=4πR2=100π.
答案:100π
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