云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）试题 4页

第 1 页，共 4 页（理科数学） 云南民族大学附属中学 2020 届高三第一次高考仿真模拟（理科数学） （考试时间 120 分钟 ， 满分 150 分） 命题人：高才奎 审题人：蔡丽香 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上 填写清楚。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 设集合퐴 = *푦|푦 = 2푥,푥 ∈ 푅+，퐵 = *푥|푥2 − 1 < 0+，则퐴⋃퐵 = ( ) A. (−1,1) B. (0,1) C. (−1,+∞) D. (0,+∞) 2. 复数 z 满足푧 − 2 + 푖 = 1，则|푧|的值是( ) A. √5 B. √6 C. √10 D. 2√5 3. 在△ 퐴퐵퐶中，D 在边 AC 上满足퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为 BD 的中点，则퐶퐸⃗⃗⃗⃗⃗ = (     ) A. 5 6 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 3 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ B. 1 3 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 5 6 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ C. 1 3 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 5 6 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ D. 5 6 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 幂函数푓(푥) = 푥훼的图象过点(3,5)，且푎 = (1 푒)훼，푏 = √훼3 ，푐 = log훼 1 4，则 a，b，c 的大小关系为( ) A. 푐 < 푎 < 푏 B. 푎 < 푐 < 푏 C. 푎 < 푏 < 푐 D. 푐 < 푏 < 푎 5. “函数푓(푥) = 푎푥2 − (3푎 − 1)푥 + 1在区间,1, +∞)上是增函数”是“0 ≤ 푎 ≤ 1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知푥, 푦满足条件{ 푥 ≥ 0 푦 ≤ 푥 2푥 + 푦 + 푘 ≤ 0 ，若目标函数푧 = 푥 + 3푦的最大值为 8，则푘 = ( ) A. 6 B. −16 C. − 8 3 D. −6 7. 已知数列*푎푛+的前 n 项和푆푛满足푆푛 = 2푎푛 − 1.若对任意正整数 n 都有휆푆푛+1 − 푆푛 < 0恒成立，则实数휆的 取值范围为( ) A. (−∞, 1) B. (−∞, 1 2) C. (−∞, 1 3) D. (−∞, 1 4) 8. 已知直线 l、m 与平面훼、훽，푙 ⊂ 훼，푚 ⊂ 훽，则下列命题中正确的是( ) A. 若푙//푚，则必有훼//훽 B. 若푙 ⊥ 푚，则必有훼 ⊥ 훽 C. 若푙 ⊥ 훽，则必有훼 ⊥ 훽 D. 若훼 ⊥ 훽，则必有푚 ⊥ 훼 第 2 页，共 4 页（理科数学） 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 值为 127，则判断框中可以填( ) A. 푘 < 5？ B. 푘 < 6？ C. 푘 < 7？ D. 푘 < 8？ 10. 设点퐹1、퐹2分别为椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1的左、右焦点，点 A、B 分别为椭圆 C 的右顶点和下顶点，且点퐹1关于直线 AB 的对称点为푀.若푀퐹2 ⊥ 퐹1퐹2， 则椭圆 C 的离心率为( ) A. √3−1 2 B. √3−1 3 C. √5−1 2 D. √2 2 11. 已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队 方法数为( ) A. 72 B. 96 C. 120 D. 288 12. 已知可导函数푓(푥)的定义域为(−∞, 0)，其导函数푓′(푥)满足푥푓′(푥) − 2푓(푥) > 0，则不等式푓(2020 + 푥) − (푥 + 2020)2푓(−1) < 0的解集为( ) A. (−∞, −2021) B. (−2021,−2020) C. (−2021,0) D. (−2020,0) 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知三棱锥푃 − 퐴퐵퐶的体积为4√3 3 ，∠퐴푃퐶 = 휋 4，∠퐵푃퐶 = 휋 3，푃퐴 ⊥ 퐴퐶，푃퐵 ⊥ 퐵퐶，且平面푃퐴퐶 ⊥平面 PBC， 则三棱锥푃 − 퐴퐵퐶外接球的表面积为________． 14. 检测 600 个某产品的质量(单位：g)，得到的频率分布直 方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所 对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测 的质量在100.5～105.5之间的产品数为 150，则质量在 115.5～120.5的长方形高度为_______． 15. 我国南北朝时期一部数学著作《张丘建算经》中，有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五 尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为“现有一善织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相 同数量的布，第一天织了 5 尺布，现在一个月(按 30 天计算)共织布 390 尺．”设该女子一个月中第 n 天所织布的尺数为푎푛，则每天增加的数量为________，푎14 + 푎15 + 푎16 + 푎17 =________（第一空 2 分， 第二空 3 分）. 16. 在平面直角坐标系中，当푃(푥, 푦)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为푃′( 푦 푥2+푦2 , −푥 푥2+푦2)；当 P 是原点时， 定义 P 的“伴随点”为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线퐶′定义为曲线 C 的“伴 随曲线”.现有下列命题： ①若点 A 的“伴随点”是点퐴′，则点퐴′的“伴随点”是点 A； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”퐶′关于 y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线． 其中的真命题是___________(写出所有真命题的序列，少选得 2 分，多选不得分)． 第 3 页，共 4 页（理科数学） 三、解答题：共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 已知函数푓(푥) = sin푥cos푥 + √3cos2푥 − √3 2 ． (1) 求푦 = 푓(푥)的最小正周期，并求其单调递减区间； (2) 퐴퐵퐶的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 푓(퐴) = − √3 2 ，且 A 为钝角，푎 = 2，求 퐴퐵퐶面积的最 大值． 18．（本小题满分 12 分） 《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行 人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处 以扣 3 分，罚款 50 元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线” 行为统计数据： 月 份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 (1)请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程푦^ = 푏^ 푥 + 푎^； (2)预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数； (3)若从表中 3、4 月份分别抽取 4 人和 2 人，然后再从中任选 2 人进行交规调查，求抽到的两人恰 好来自同一月份的概率． 参考公式：푏̂ = ∑ 푥 푦 −푛푥 푦 ∑ 푥 2 −푛푥2 = ∑ ( 푥 −푥)(푦 −푦) ∑ ( 푥 −푥)2 ，푎̂ = 푦 − 푏̂ 푥. 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷中，푃퐴 ⊥底面 ABCD，퐴퐷 ⊥ 퐴퐵，퐷퐶//퐴퐵，푃퐴 = 1，퐴퐵 = 2，푃퐷 = 퐵퐶 = √2． (1)求证：퐶퐷 ⊥平面 PAD； (2)若棱 PB 上存在异于 P、B 的一点 E，使得二面角퐸 − 퐴퐶 − 푃的余弦值为√3 3 ，求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 第 4 页，共 4 页（理科数学） 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为√2 2 ，퐹1，퐹2分别为 E 的左、右焦点，过 E 的右焦点퐹2作 x 轴的垂线交 E 于 A，B 两点， 퐹1퐴퐵的面积为√2． (1)求椭圆 E 的方程； (2)是否存在与 x 轴不垂直的直线 l 与 E 交于 C，D 两点，且弦 CD 的垂直平分线过 E 的右焦点퐹2？ 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 已知函数푓(푥) = (2푎 − 1)ln푥 − 1 푥 − 2푎푥(푎 ∈ 푅) (1) 푎 = 0时，求函数푓(푥)的极值； (2) 푎 0时，讨论函数푓(푥)的单调区间。 （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线퐶1的极坐 标方程为휌 = 4푠푖푛휃，曲线퐶2的极坐标方程为휌 sin (휃 + 휋 6) = 2． (1)求曲线퐶1, 퐶2的直角坐标方程； (2)设曲线퐶1, 퐶2交于 A，B 两点，曲线퐶2与 x 轴交于点 E，求线段 AB 的中点到点 E 的距离． 23. （本小题满分 10 分） 已知函数푓(푥) = −푥2 + 푎푥 + 4, 푔(푥) = |푥 + 1| + |푥 − 1| (1)当푎 = 2时，求不等式푓(푥) ≥ 푔(푥)的解集； (2)若不等式푓(푥) ≥ 푔(푥)的解集包含*− 1 2 , 1 2+，求 a 的取值范围．