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  • 2021-07-01 发布

云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学(理)试题

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第 1 页,共 4 页(理科数学) 云南民族大学附属中学 2020 届高三第一次高考仿真模拟(理科数学) (考试时间 120 分钟 , 满分 150 分) 命题人:高才奎 审题人:蔡丽香 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上 填写清楚。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 第 I 卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 设集合퐴 = *푦|푦 = 2푥,푥 ∈ 푅+,퐵 = *푥|푥2 − 1 < 0+,则퐴⋃퐵 = ( ) A. (−1,1) B. (0,1) C. (−1,+∞) D. (0,+∞) 2. 复数 z 满足푧 − 2 + 푖 = 1,则|푧|的值是( ) A. √5 B. √6 C. √10 D. 2√5 3. 在△ 퐴퐵퐶中,D 在边 AC 上满足퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,E 为 BD 的中点,则퐶퐸⃗⃗⃗⃗⃗ = (     ) A. 5 6 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 3 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ B. 1 3 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 5 6 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ C. 1 3 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 5 6 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ D. 5 6 퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 幂函数푓(푥) = 푥훼的图象过点(3,5),且푎 = (1 푒)훼,푏 = √훼3 ,푐 = log훼 1 4,则 a,b,c 的大小关系为( ) A. 푐 < 푎 < 푏 B. 푎 < 푐 < 푏 C. 푎 < 푏 < 푐 D. 푐 < 푏 < 푎 5. “函数푓(푥) = 푎푥2 − (3푎 − 1)푥 + 1在区间,1, +∞)上是增函数”是“0 ≤ 푎 ≤ 1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知푥, 푦满足条件{ 푥 ≥ 0 푦 ≤ 푥 2푥 + 푦 + 푘 ≤ 0 ,若目标函数푧 = 푥 + 3푦的最大值为 8,则푘 = ( ) A. 6 B. −16 C. − 8 3 D. −6 7. 已知数列*푎푛+的前 n 项和푆푛满足푆푛 = 2푎푛 − 1.若对任意正整数 n 都有휆푆푛+1 − 푆푛 < 0恒成立,则实数휆的 取值范围为( ) A. (−∞, 1) B. (−∞, 1 2) C. (−∞, 1 3) D. (−∞, 1 4) 8. 已知直线 l、m 与平面훼、훽,푙 ⊂ 훼,푚 ⊂ 훽,则下列命题中正确的是( ) A. 若푙//푚,则必有훼//훽 B. 若푙 ⊥ 푚,则必有훼 ⊥ 훽 C. 若푙 ⊥ 훽,则必有훼 ⊥ 훽 D. 若훼 ⊥ 훽,则必有푚 ⊥ 훼 第 2 页,共 4 页(理科数学) 9. 执行如图所示的程序框图,若输出的 S 值为 127,则判断框中可以填( ) A. 푘 < 5? B. 푘 < 6? C. 푘 < 7? D. 푘 < 8? 10. 设点퐹1、퐹2分别为椭圆 C:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1的左、右焦点,点 A、B 分别为椭圆 C 的右顶点和下顶点,且点퐹1关于直线 AB 的对称点为푀.若푀퐹2 ⊥ 퐹1퐹2, 则椭圆 C 的离心率为( ) A. √3−1 2 B. √3−1 3 C. √5−1 2 D. √2 2 11. 已知六人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队 方法数为( ) A. 72 B. 96 C. 120 D. 288 12. 已知可导函数푓(푥)的定义域为(−∞, 0),其导函数푓′(푥)满足푥푓′(푥) − 2푓(푥) > 0,则不等式푓(2020 + 푥) − (푥 + 2020)2푓(−1) < 0的解集为( ) A. (−∞, −2021) B. (−2021,−2020) C. (−2021,0) D. (−2020,0) 第 II 卷 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知三棱锥푃 − 퐴퐵퐶的体积为4√3 3 ,∠퐴푃퐶 = 휋 4,∠퐵푃퐶 = 휋 3,푃퐴 ⊥ 퐴퐶,푃퐵 ⊥ 퐵퐶,且平面푃퐴퐶 ⊥平面 PBC, 则三棱锥푃 − 퐴퐵퐶外接球的表面积为________. 14. 检测 600 个某产品的质量(单位:g),得到的频率分布直 方图中,前三组的长方形的高度成等差数列,后三组所 对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列,已知检测 的质量在100.5~105.5之间的产品数为 150,则质量在 115.5~120.5的长方形高度为_______. 15. 我国南北朝时期一部数学著作《张丘建算经》中,有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五 尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为“现有一善织布的女子,从第 2 天开始,每天比前一天多织相 同数量的布,第一天织了 5 尺布,现在一个月(按 30 天计算)共织布 390 尺.”设该女子一个月中第 n 天所织布的尺数为푎푛,则每天增加的数量为________,푎14 + 푎15 + 푎16 + 푎17 =________(第一空 2 分, 第二空 3 分). 16. 在平面直角坐标系中,当푃(푥, 푦)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为푃′( 푦 푥2+푦2 , −푥 푥2+푦2);当 P 是原点时, 定义 P 的“伴随点”为它自身,平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线퐶′定义为曲线 C 的“伴 随曲线”.现有下列命题: ①若点 A 的“伴随点”是点퐴′,则点퐴′的“伴随点”是点 A; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身; ③若曲线 C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线”퐶′关于 y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是___________(写出所有真命题的序列,少选得 2 分,多选不得分). 第 3 页,共 4 页(理科数学) 三、解答题:共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数푓(푥) = sin푥cos푥 + √3cos2푥 − √3 2 . (1) 求푦 = 푓(푥)的最小正周期,并求其单调递减区间; (2) 퐴퐵퐶的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 푓(퐴) = − √3 2 ,且 A 为钝角,푎 = 2,求 퐴퐵퐶面积的最 大值. 18.(本小题满分 12 分) 《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行 人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,其中第 90 条规定:对不礼让行人的驾驶员处 以扣 3 分,罚款 50 元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线” 行为统计数据: 月 份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 (1)请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程푦^ = 푏^ 푥 + 푎^; (2)预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数; (3)若从表中 3、4 月份分别抽取 4 人和 2 人,然后再从中任选 2 人进行交规调查,求抽到的两人恰 好来自同一月份的概率. 参考公式:푏̂ = ∑ 푥 푦 −푛푥 푦 ∑ 푥 2 −푛푥2 = ∑ ( 푥 −푥)(푦 −푦) ∑ ( 푥 −푥)2 ,푎̂ = 푦 − 푏̂ 푥. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷中,푃퐴 ⊥底面 ABCD,퐴퐷 ⊥ 퐴퐵,퐷퐶//퐴퐵,푃퐴 = 1,퐴퐵 = 2,푃퐷 = 퐵퐶 = √2. (1)求证:퐶퐷 ⊥平面 PAD; (2)若棱 PB 上存在异于 P、B 的一点 E,使得二面角퐸 − 퐴퐶 − 푃的余弦值为√3 3 ,求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 第 4 页,共 4 页(理科数学) 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为√2 2 ,퐹1,퐹2分别为 E 的左、右焦点,过 E 的右焦点퐹2作 x 轴的垂线交 E 于 A,B 两点, 퐹1퐴퐵的面积为√2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在与 x 轴不垂直的直线 l 与 E 交于 C,D 两点,且弦 CD 的垂直平分线过 E 的右焦点퐹2? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数푓(푥) = (2푎 − 1)ln푥 − 1 푥 − 2푎푥(푎 ∈ 푅) (1) 푎 = 0时,求函数푓(푥)的极值; (2) 푎 0时,讨论函数푓(푥)的单调区间。 (二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线퐶1的极坐 标方程为휌 = 4푠푖푛휃,曲线퐶2的极坐标方程为휌 sin (휃 + 휋 6) = 2. (1)求曲线퐶1, 퐶2的直角坐标方程; (2)设曲线퐶1, 퐶2交于 A,B 两点,曲线퐶2与 x 轴交于点 E,求线段 AB 的中点到点 E 的距离. 23. (本小题满分 10 分) 已知函数푓(푥) = −푥2 + 푎푥 + 4, 푔(푥) = |푥 + 1| + |푥 − 1| (1)当푎 = 2时,求不等式푓(푥) ≥ 푔(푥)的解集; (2)若不等式푓(푥) ≥ 푔(푥)的解集包含*− 1 2 , 1 2+,求 a 的取值范围.