2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练20 数列的通项公式和数列求和 27页

考点20 数列的通项公式和数列求和 ‎【考点分类】‎ 热点一 求数列的通项公式 ‎1.【2013年全国高考新课标（I）理科】若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】‎ 设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2) 求数列的通项公式；‎ ‎(3) 证明：对一切正整数，有．‎ ‎ ‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】‎ 正项数列 ‎ ‎ 故有 ‎ 而,所以的通项公式为.‎ ‎6．（2012年高考（上海春））已知数列满足 ‎(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;‎ ‎(2)设求正整数使得一切均有 ‎(3)设当时,求数列的通项公式.‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎7．（2012年高考（广东理））设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.‎ ‎.‎ ‎【方法总结】求数列的通项公式，常见的有六种类型：‎ （1） 已知数列的前几项，求其通项公式.‎ 常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等.‎ 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力.‎ （2） 已知数列前n项和，或前n项和与的关系求通项.‎ 利用虽然已知求时，方法千差万别，但已知求时，方法却相对固定.‎ ‎（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.‎ ‎（4）对于型，求，其关键是确定待定系数，使 ‎（5）对于型，求，可用的方法.‎ ‎（6）对于型，求，可用的方法.‎ 热点二 数列求和 ‎8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________.‎ ‎，所以.‎ ‎9．（2012年高考（福建文））数列的通项公式,其前项和为,则等于（　　）‎ A．1006 B．‎2012 ‎‎ ‎‎ C．503 D．0‎ ‎10.【2013年全国高考新课标（I）文科】‎ 已知等差数列的前项和满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎11.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】‎ 等差数列中，‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前n项和.‎ 解得.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以 ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】‎ 设等差数列的前项和为，且,.[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列满足 ，求的前项和.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】‎ 设为数列{}的前项和，已知，2，N ‎（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列｛｝的前项和.‎ ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】‎ 设等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，且 (为常数)，令，求数列的前项和.‎ ‎15．（2012年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.‎ ‎(1)确定常数k,求an;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎16．（2012年高考（山东理））在等差数列中,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列 的前项和.‎ ‎【方法总结】数列求和的常用方法 ‎1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 ‎(1)等差数列的前n项和公式：‎ Sn＝＝na1＋d；‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：‎ Sn＝ ‎2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．‎ ‎3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．‎ ‎4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．‎ ‎6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．‎ ‎2．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．‎ ‎3．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．‎ 二．命题方向 ‎1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高．题型上以解答题为主.‎ ‎2.数列的通项公式的考查在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an，以选择、填空题为主，较为简单，若涉及递推公式常为解答题，属中等难度题目.‎ 三．规律总结 由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．‎ ‎1．构造等比数列，已知首项a1，如果递推关系为an＋1＝qan＋b(n∈N*)时，求数列{an}的通项公式的关键是将an＋1＝qan＋b转化为an＋1＋a＝q(an＋a)的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qan＋b＝an＋1＝qan＋(q－1)a⇒a＝(q≠1)．(此种方法称为待定系数法)‎ ‎2．已知a1且an－an－1＝　f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝　f(n)＋　f(n－1)＋…＋　f(3)＋　f(2)，‎ 即an＝a1＋　f(2)＋　f(3)＋…＋　f(n－1)＋　f(n)．‎ ‎3．已知a1且＝　f(n)(n≥2)，可以用“累乘法”，得··…··＝　f(n)·　f(n－1)·…·　f(3)·　f(2)，即an＝a1·　f(2)·　f(3)·…·　f(n－1)·　f(n)．‎ 一种思路 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．‎ 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意：‎ ‎(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；‎ ‎(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．‎ 三个公式：‎ ‎(1)＝－；‎ ‎(2)＝；‎ ‎(3)＝－.‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【广东省惠州市2013届四月高三第一次模拟考试】在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为 ( ) ‎ A．2 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎2. 【广东省惠州市2013届高三第三次调研考试】数列{} 中，，则数列{}前项和等于（ ）‎ A．76 B．‎78 C． 80 D．82‎ ‎3. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若数列的通项为，则其前项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 【2012-2013学年度河北省普通高中11月高三教学质量监测】已知数列满足：，，（），则数列的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)‎ A．120 B．‎99 ‎‎ ‎‎ C．11 D．121‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，所以，即，即，解得.选A.‎ ‎6. 【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是___________.‎ ‎7. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】 设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为 .‎ ‎8. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】‎ 若，则 .[来源:学科网]‎ ‎。‎ ‎9. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】设Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=1 ,an =Sn-1,(n≥2)，则an =_____.‎ ‎10. 【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】若等比数列的首项是，公比为，是其前项和，则=_____________.‎ 二．能力拔高 ‎11. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】数列满足，，则的整数部分是（ ）‎ ‎ A．１ B．‎２ ‎ C．３ D．４ ‎ ‎12. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】已知数列满足，，则（ ）‎ A. 143 B. ‎156 ‎ C. 168 D. 195‎ ‎13. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】已知等差数列的通项公式为设 ‎,则当取最小值时，的取值为（ ）‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎14. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】在数列中，，，若，则等于（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 事实上，可以配凑成，但这需要一定配凑意识、观察能力和思维的灵活，而这正是解决本题的难点所在.‎ ‎15. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】‎ 已知数列满足.定义：使乘积…为正整数的 叫做“简易数”.则在内所有“简易数”的和为 .‎ ‎【答案】2036 ‎ ‎【解析】‎ ‎…,则“简易数”为使为整数，即满足所以则在内所有“简易数”的和为 ‎16. 【河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试】‎ 数列的前n项和为,若数列的各项排列如下：‎ ‎…,, …,…,若，则=___.‎ ‎17. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】‎ 在数列中，，等于除以3的余数，则的前89项的和等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等于除以3的余数为，则 故数列前八项为1,2,0,2,2,1,0,1，且周期为8，故的前89项的和等于 ‎18. 【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】‎ 设Sn是正项数列{an}的前n项和，且和满足：，则 ‎＝ ．‎ ‎19. 【上海市崇明2013届高三一模】 数列满足，则的前60项和等于 .‎ ‎20. 【北京市顺义区2013届高三第一次统练】已知为等差数列,且.‎ ‎(I)求数列的前项和;‎ ‎(II)求数列的前项和.‎ ‎[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 所以.‎ 由(I)可知,,‎ 所以,‎ 故.………………………………………………13分 三．提升自我 ‎21. 【安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测】数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求、、；‎ ‎（Ⅱ）求的表达式；‎ ‎（Ⅲ）令，求．‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎ …10分 ‎ ． ‎ ‎22. 【2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试】‎ 数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)．‎ ‎ (I)求数列{an}的通项公式及的值；‎ ‎ (Ⅱ)比较+++…+与了Sn的大小．‎ ‎23. 【2013年山东省日照高三一模模拟考试】若数列：对于，都有（常数），则称数列是公差为d的准等差数列.如数列：若是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.‎ ‎（I）求证：为准等差数列；‎ ‎（II）求证：的通项公式及前20项和 ‎24. .【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和．‎ ‎25. 【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】‎ 设数列的前项和为，点在直线上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.‎ ‎……………………………………11分 ‎ ……………………………………12分 ‎【考点预测】‎ ‎1.数列｛｝的通项公式＋1，前n项和为Sn（），则＝（ ）‎ ‎ A. 1232 　. ‎2580 ‎　C: 3019 　D. 4321‎ ‎2.已知函数，且则（ ）‎ A. B‎.0 ‎ C.100 D.10200 ‎ ‎3.已知数列中，，，则数列的前n项和等于 .‎ ‎4.已知向量向量 与 垂直，且 ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足 ，求数列的前项和.‎ ‎5.已知等比数列{an}满足网]‎ ‎(I)求{an}的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前n项的和.‎ ‎＝(n＋1)[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝n． …7分 记数列{}的前n项的和为Sn，则 Sn＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n×(－3)n－1，‎ ‎－3Sn＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n×(－3)n，[来源:学+科+网]‎ 两式相减，得 ‎4Sn＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n×(－3)n＝－n×(－3)n，‎ 故Sn＝． ‎