【数学】2020届一轮复习北师大版空间点直线平面之间的位置关系课时作业 8页

空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎ (20分钟　45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件　‎ D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选A.若直线a和直线b相交,设交点为P,因为a⊂α,所以P∈α,因为b⊂β,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共点,所以平面α,β相交.若平面α,β相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.‎ 所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ ‎2.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,下列结论不正确的是 (　　)‎ A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC C.BD1∥B‎1C D.∠ACB1=60°‎ ‎【解析】选C.因为BD1与B‎1C是两条异面直线,所以不可能平行.‎ ‎3.已知正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.令AB=1,则AA1=2,连接A1B,因为CD1∥A1B,所以异面直线BE与CD1所成的角即A1B与BE所成的角.在△A1BE中由余弦定理易得cos∠A1BE=.‎ ‎4.已知三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.设线段BC的中点为D,连接AD,A1D,A1B,则A1D⊥平面ABC,因此A1D⊥BC,AD⊥A1D.又因为CC1∥AA1,则∠A1AB(或其补角)是异面直线AB与CC1所成的角.另外设三棱柱ABC-A1B‎1C1的棱长为2,则AD=,A1D=1,A1B== ,cos∠A1AB===.‎ ‎5.在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 (　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【解析】选C.在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,用列举法知符合要求的棱为BC,CD,C1D1,BB1,AA1,共5条.‎ ‎6.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 (　　)‎ A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 ‎【解析】选C.沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内,如图,所以这三个平面把空间分成7部分.‎ ‎7.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是 (　　)‎ A.直线AA1 B.直线A1B1 ‎ C.直线A1D1 D.直线B‎1C1‎ ‎【解析】选D.只有D中直线B‎1C1与EF在同一平面内,是相交的,A,B,C中直线与EF都是异面直线.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎8.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F, 导学号 ‎①四边形BFD′E一定是平行四边形 ‎②四边形BFD′E有可能是正方形 ‎③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形 ‎④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D 以上结论正确的为________(写出所有正确结论的编号) ‎ ‎【解析】由正方体的性质,四边形BFD′E的两组对边分别平行,所以一定是平行四边形,所以①正确,若是正方形,则BF⊥D′F,又因为D′C′⊥BF,所以BF⊥平面CDD′C′,所以BF⊥CF,矛盾,所以②错误,因为四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是四边形ABCD,所以一定是正方形,③正确,因为当EF平行于AC时,截面四边形是菱形,此时四边形BFD′E垂直于平面BB′D,所以④正确.‎ 答案:①③④‎ ‎9.对于四面体ABCD,下列命题正确的是________. ‎ ‎(写出所有正确命题的编号) 导学号 ‎①相对棱AB与CD所在的直线异面;‎ ‎②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD的三条高线的交点;‎ ‎③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;‎ ‎④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.‎ ‎【解析】由异面直线的判断方法可知棱AB与CD所在的直线异面,所以①正确.若AB垂直于底面BCD,而三角形BCD是一般三角形的情况下,B不是△BCD的三条高线的交点,所以②错误.当CA=CB,DA=DB时,两个三角形的高是相交直线,所以③错误.因为顺次连接空间四边形的四条边的中点得到的是平行四边形,所以相对棱中点的连线是这个平行四边形的对角线,所以④正确.‎ 答案:①④‎ ‎ (20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则下列命题正确的是 (　　)‎ A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥β C.若l∥β,则m⊥α D.若α∥β,则l⊥m ‎【解析】选D.对于A,若α⊥β,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则l与m可能平行、相交、异面,故不正确;对于B,若l⊥m,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则α与β可能平行,也可能相交,故B不正确;对于C, 若l∥β,m与α的位置不确定,故C不正确;对于D,若α∥β,直线l⊥平面α,则直线l⊥平面β,又因直线m∥平面β,则l⊥m,正确.‎ ‎2.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n= (　　)‎ A.8　　　　B‎.9　‎　　　C.10　　　　D.11‎ ‎【解析】选A.由题意可知直线CE与正方体的上底面平行,在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以m=4,直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8.‎ ‎3.(5分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,∠AOC=120°,∠A1O1B1=60°,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B‎1C与AA1所成的角的大小是____________. ‎ ‎【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1∥AA1,所以∠BB‎1C为直线B‎1C与AA1所成角(或补角),‎ ‎|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=,∠AOC=,所以 ‎∠BOC=,所以△BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB‎1C=1,所以直线B‎1C与AA1所成角的大小为45°.‎ 答案:45°‎ ‎4.(12分)已知球内接正四棱锥P-ABCD的高为3,AC,BD相交于点O,球的表面积为,若E为PC中点. 导学号 ‎(1)求异面直线BP和AD所成角的余弦值.‎ ‎(2)求点E到平面PAD的距离.‎ ‎【解析】(1)由球的表面积公式S=4πR2得球的半径R=,设球心为O1,在正四棱锥P-ABCD中,高为PO,则O1必在PO上,连接AO1,则O1O=,AO1=,则在 Rt△O1OA中,有O+OA2=O1A2,即OA=2,可得正方形ABCD的边长为2,侧棱PA==.‎ 在正方形ABCD中,BC∥AD,所以∠PBC是异面直线BP和AD所成的角或其补角,取BC中点M,在等腰△PBC中,可得PM⊥BC,斜高PM=,‎ 则在Rt△PMB中,‎ cos∠PBC===.‎ 所以异面直线BP和AD所成的角的余弦值为.‎ ‎(2)由O,E为CA,CP中点,得OE∥AP,‎ 且满足OE⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,所以OE∥平面PAD,‎ 所以E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离,又因为 S△PAD=×2×=,S△AOD=×2×2=2,‎ 再设O到平面PAD的距离为h,则由 VE-PAD=VO-PAD=VP-AOD,‎ 可得·S△PAD·h=·S△AOD·PO,‎ 则h=,‎ 所以点E到平面PAD的距离为.‎ ‎5.(13分)如图,在四面体ABCD中 ,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点. 导学号 ‎【证明】如图,连接GE,FH.‎ 因为E,G分别为BC,AB的中点,‎ 所以GE∥AC.‎ 又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,‎ 所以FH∥AC.‎ 所以FH∥GE,GH,EF不平行.‎ 所以E,F,H,G四点共面.‎ 所以四边形EFHG是一个梯形.‎ 设GH和EF交于一点O.‎ 因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,‎ 所以O在这两个平面的交线上.‎ 因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.‎ 这就证明了GH和EF的交点也在BD上,‎ 所以EF,GH,BD交于一点.‎