【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 8页

‎1、如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ，则第n个图形的顶点个数是（ ）‎ ‎（1） （2）（3） （4）‎ A． (2n+1)(2n+2) B． 3(2n+2) C． 2n(5n+1) D． (n+2)(n+3)‎ ‎2、有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 ‎3、观察下列各式：a+b=1. a22+b2=3，a3+b3="4" ，a4+b4=7,a5+b5=11,，则a10+b10=( )‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎4、某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎5、甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是（ ）‎ A．跑步比赛 B．跳远比赛 C．铅球比赛 D．不能判定 ‎6、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦？ ？曼德尔布罗特( )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是( )‎ A．55个 B．89个 C．144个 D．233个 ‎7、用数学归纳法证明 时，到时，不等式左边应添加的项为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8、甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是(　　)打碎了玻璃．‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎9、用反证法证明命题“已知，如果可被7整除，那么至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（ ）‎ A．都不能被7整除 B．都能被7整除 C．只有一个能被7整除 D．只有不能被7整除 ‎10、在用数学归纳法证明不等式的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需要增加的代数式是.________________．‎ ‎11、A、B、C三位老师分别教数学、英语、体育、劳技、语文、阅读六门课，每位教两门.已知：‎ ‎（1）体育老师和数学老师住在一起，‎ ‎（2）A老师是三位老师中最年轻的，‎ ‎（3）数学老师经常与C老师下象棋，‎ ‎（4）英语老师比劳技老师年长，比B老师年轻，‎ ‎（5）三位老师中最年长的老师比其他两位老师家离学校远.‎ 问：A、B、C三位老师每人各教哪几门课？‎ ‎12、已知数列满足 ‎（1）分别求的值；‎ ‎（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎13、设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．‎ ‎14、已知函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的曲线，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.‎ ‎15、选择适当的证明方法证明下列问题 ‎（1）设是公比为的等比数列且，证明数列不是等比数列.‎ ‎（2）设为虚数单位，为正整数，，证明：.‎ 参考答案 ‎1、答案：D 由已知图形中，我们可以列出顶点个数与多边形边数，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论.‎ ‎【详解】‎ 由已知中的图形我们可以得到：‎ 当时，顶点共有（个），‎ 时，顶点共有（个），‎ 时，顶点共有（个），‎ 时，顶点共有（个），‎ 由此我们可以推断：第个图形共有顶点个，故选D.‎ ‎2、答案：C ‎“乙说：是甲，甲说不是我”，那么甲和乙必定有一个人说了真话，结合三个人中只有一个说的是真话可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，‎ 所以，甲乙两人的话一定一真一假，‎ 又因为，三个人中只有一个说的是真话，‎ 所以，丙说的话“我不是班长”为假话，由此可得班长是丙，‎ 故选C.‎ ‎3、答案：C 由题观察可发现，‎ ‎，‎ 即后一个式子的值为它前两个式子的和。‎ 考点：观察和归纳推理能力。‎ ‎4、答案：B 如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B.‎ ‎5、答案：A 分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.‎ 详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；‎ 再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.‎ 故选：A.‎ 点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.‎ ‎6、答案：C 分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想：，得出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明。‎ 详解：‎ 行数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 球数 ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎34‎ ‎55‎ ‎89‎ ‎144‎ ‎，由此猜想：，故选C。‎ ‎7、答案：C 先列出当和时左边的式子，然后相减即可.‎ ‎【详解】‎ 解：当时，左边= ‎ 当时，左边= ‎ 所以不等式左边应添加的项为 故选：C.‎ ‎8、答案：D 假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．‎ ‎【详解】‎ 假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，‎ 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，‎ 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，‎ 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，‎ 所以是丁打碎了玻璃；‎ 故选：D ‎【点评】‎ 本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．‎ ‎9、答案：A 本题考查反证法，至少有一个的反设词为一个都没有。‎ ‎【详解】‎ ‎，至少有一个能被整除，则假设，都不能被整除，故选A ‎【点评】‎ 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有个 至少有个 至多有一个 至少有两个 对所有x成立 存在某个x不成立 至少有个 至多有个 对任意x不成立 存在某个x成立 ‎10、答案：‎ 分别写出和时左侧对应的代数式，然后比较两者的表达形式即可确定左边需要增加的代数式.‎ ‎【详解】‎ 当时，等式左侧为：，‎ 当时，等式左侧为：，‎ 据此可得，左边需要增加的代数式是 .‎ ‎11、答案：A是劳技和数学老师；B老师是语文和阅读老师；C老师是英语和体育老师 试题分析：通过制表来记录结果，依据各个条件填写否定或肯定，依次判断得到结果.‎ ‎【详解】‎ 借助图表来进行判断，用“”表示否定，用“√”表示肯定，制表如下：‎ 数学 英语 体育 劳技 语文 阅读 有条件可知，表格中每行有且仅有两个肯定，每列有且仅有一个肯定 由（3）知，不是数学老师 由（4）可知，英语老师不是最年轻，也不是最年长的，又每个人教两科，可知老师最年长且不教英语和劳技；劳技老师最年轻 结合（2）可知，为劳技老师；由此可确定英语老师为 结合（1）（5）可知，最年长的老师不教体育和数学，同时确定老师还教数学 由此可得到下表：‎ 数学 英语 体育 劳技 语文 阅读 ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ 由此可得结果：为劳技和数学老师；为语文和阅读老师；为英语和体育老师 ‎12、答案：（1）；（2）见解析.‎ 试题分析：(1)通过赋值法得到相应的数值；（2）由数学归纳法猜想证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(1），‎ ‎(2）猜想 ‎①当n=1时命题显然成立 ‎②假设命题成立，即 当时，‎ 时命题成立 综合①②，当时命题成立 ‎13、答案：试题分析：由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明．‎ 试题当时，由，‎ 得，‎ 当时，由，得，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ 当时，等式恒成立．‎ ‎（1）当时，由上面计算可知，等式成立；‎ ‎（2）假设且时，等式成立，即成立，‎ 那么当时，‎ ‎，‎ ‎∴当时，等式也成立．‎ 由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．‎ 考点：归纳猜想及数学归纳法的应用．‎ ‎14、答案：试题分析：由题意可知y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），利用反证法证明假设不成立即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】‎ 因为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像连续不间断，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)·f(b)<0.所以函数y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，‎ 假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），即f(x1)=0，‎ 由函数f(x)在区间[a，b]上单调且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在区间[a，b]上单调递减；‎ 若x1>x0，则f(x1)f(x0)，即0>0，矛盾，‎ 因此假设不成立，故y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.‎ ‎15、答案：试题分析：(1)要想证明数列不是等比数列.可以使用反证法。先假设数列是等比数列，根据数学推理，得出一个错误结论，从而假设不成立，本题得证。‎ ‎（2）对于关于正整数的有关命题，一般可以使用数学归纳法。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）用反证法：设是公比为的等比数列，数列是等比数列.‎ ‎①当存在，使得成立时，数列不是等比数列.‎ ‎②当，使得成立时，则，‎ 化为.‎ ‎∵，，，故矛盾.‎ 综上两种情况，假设不成立，故原结论成立.‎ ‎（2）1°当时，左边，右边，‎ 所以命题成立.‎ ‎2°假设当时，命题成立，‎ 即，‎ 则当时，‎ ‎.‎ 所以，当时，命题也成立.‎ 综上所述，（为正整数）成立.‎