新北师大初一数学有理数知识点及经典题型总结讲义(全)+习题（含答案解析） 11页

第1讲 有 理 数 教学目标 ‎1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上；‎ ‎ 2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小；‎ ‎ 3、掌握有理数的大小比较；‎ ‎ 4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。‎ 正数和负数 ‎⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）‎ ‎②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。‎ ‎2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：‎ 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃‎ ‎3.0表示的意义 ‎⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；‎ ‎⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。‎ 有理数 ‎1.有理数的概念 ‎⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）‎ ‎⑵正分数和负分数统称为分数 ‎⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。‎ 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。‎ 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。‎ ‎2.有理数的分类 ‎⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 ‎ 正整数 正整数 ‎ 整数 0 正有理数 ‎ 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视）‎ ‎ 正分数 负整数 ‎ 分数 负有理数 ‎ 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）‎ ‎ ②负整数、0统称为非正整数 ‎ ③正有理数、0统称为非负有理数 ‎ ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ‎⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。‎ 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。‎ ‎ 2.数轴上的点与有理数的关系 ‎⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。‎ ‎⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）‎ ‎3.利用数轴表示两数大小 ‎⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；‎ ‎⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；‎ ‎⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。‎ ‎4.数轴上特殊的最大（小）数 ‎⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；‎ ‎⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；‎ ‎⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 ‎5.a可以表示什么数 ‎⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；‎ ‎⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0‎ ‎⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0‎ ‎6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。‎ 相反数 ‎⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。‎ 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；‎ ‎⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。‎ ‎2.相反数的性质与判定 ‎⑴任何数都有相反数，且只有一个；‎ ‎⑵0的相反数是0；‎ ‎⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0‎ ‎3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。‎ 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。‎ ‎4.相反数的求法 ‎⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；‎ ‎⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；‎ ‎⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)‎ ‎5.相反数的表示方法 ‎⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。‎ 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）‎ 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）‎ 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）‎ 考试常考：已知a,b互为相反数，立马要想到a+b=0.‎ ‎6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。‎ 练习1. ‎ 绝对值 ‎⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。‎ ‎2.绝对值的代数定义 ‎⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.‎ 可用字母表示为：‎ ‎①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。‎ 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）‎ ‎②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）‎ ‎3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即：‎ ‎⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；‎ ‎⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；‎ ‎⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；‎ ‎⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；‎ ‎⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；‎ ‎⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；‎ ‎⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。‎ ‎（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）‎ ‎4.有理数大小的比较 ‎⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；‎ ‎⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。‎ ‎5.绝对值的化简 ‎①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a ‎ ‎6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。‎ 例1.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱= -(a+b),试求a+b的值。‎ 练习2.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣= -ab,试求a+b的值。‎ 有理数的加减法 ‎1.有理数的加法法则 ‎⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；‎ ‎⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；‎ ‎⑶互为相反数的两数相加，和为零；‎ ‎⑷一个数与零相加，仍得这个数。‎ ‎2.有理数加法的运算律 ‎⑴加法交换律：a+b=b+a ‎⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)‎ 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：‎ ‎①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；‎ ‎②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；‎ ‎③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；‎ ‎④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；‎ ‎⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。‎ ‎3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：‎ ‎⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b