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- 2021-10-25 发布
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6.2.1方程的简单变形(一)
知识技能目标
1.理解并掌握方程的两个变形规则;
2.使学生了解移项法则,即移项后变号,并且能熟练运用移项法则解方程;
3.运用方程的两个变形规则解简单的方程.
过程性目标
1.通过实验操作,经历并获得方程的两个变形过程;
2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较,感受新旧知识的联系和迁移;
3.体会移项法则:移项后要变号.
课前准备
托盘天平,三个大砝码,几个小砝码.
教学过程
一、创设情境
同学们,你们还记得“曹冲称象”的故事吗?请同学说说这个故事.
小时候的曹冲是多么地聪明啊!随着社会的进步,科学水平的发达,我们有越来越多的方法测量物体的重量.
最常见的方法是用天平测量一个物体的质量.
我们来做这样一个实验,测一个物体的质量(设它的质量为x).首先把这个物体放在天平的左盘内,然后在右盘内放上砝码,并使天平处于平衡状态,此时两边的质量相等,那么砝码的质量就是所要称的物体的质量.
二、探究归纳
请同学来做这样一个实验,如何移动天平左右两盘内的砝码,测物体的质量.
实验1:如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码,天平依然平衡,所测物体的质量等于3个小砝码的质量.
实验2:如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体,天平依然平衡,所测物体的质量等于2个小砝码的质量.
7
实验3:如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一,天平依然平衡,所测物体的质量等于3个小砝码的质量.
上面的实验操作过程,反映了方程的变形过程,从这个变形过程,你发现了什么一般规律?
方程是这样变形的:
方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,方程的解不变.
方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数,方程的解不变.
请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处?并请思考为什么它们有相同之处?
通过实验操作,可求得物体的质量,同样通过对方程进行适当的变形,可以求得方程的解.
三、实践应用
例1 解下列方程.
(1)x-5 = 7; (2)4x = 3x-4.
分析:(1)利用方程的变形规律,在方程x-5 = 7的两边同时加上5,即x -5 + 5 = 7 + 5,可求得方程的解.
(2)利用方程的变形规律,在方程4x = 3x-4的两边同时减去3x,即4x-3x = 3x-3x-4,可求得方程的解.
即 x = 12.
即 x =-4 .
像上面,将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition).
注 (1)上面两小题方程变形中,均把含未知数x的项,移到方程的左边,而把常数项移到了方程的右边.
(2)移项需变号,即:跃过等号,改变符号.
例2 解下列方程:
(1)-5x = 2; (2) ;
分析:(1)利用方程的变形规律,在方程-5x = 2的两边同除以-5,即-5x÷(-5)= 2÷(-5)(或),也就是x =,可求得方程的解.
7
(2)利用方程的变形规律,在方程的两边同除以或同乘以,即(或),可求得方程的解.
解 (1)方程两边都除以-5,得
x = .
(2)方程两边都除以,得
x = ,
即x = .
或解 方程两边同乘以,得
x = .
注:1.上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1” .
2.上面两个解方程的过程,都是对方程进行适当的变形,得到x = a的形式.
例3下面是方程x + 3 = 8的三种解法,请指出对与错,并说明为什么?
(1)x + 3 = 8 = x = 8-3 = 5;
(2)x + 3 = 8,移项得x = 8 + 3,所以x = 11;
(3)x + 3 = 8移项得x = 8-3 , 所以x = 5.
解 (1)这种解法是错的.变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等,所以解方程时不能连等;
(2)这种解法也是错误的,移项要变号;
(3)这种解法是正确的.
四、交流反思
本堂课我们通过实验得到了方程的变形规律:
(1)方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,方程的解不变;
(2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数,方程的解不变.
通过上面几例解方程我们得出解简单方程的一般步骤:
(1)移项:通常把含有未知数的项移到方程的左边,把常数项移到方程的右边;
(2)系数化为1:方程两边同除以未知数的系数(或同乘以未知数系数的倒数),得到x = a 的形式.
必须牢记:移项要变号!
五、检测反馈
1.判断下列方程的解法对不对?如果不对,应怎样改正.
(1)9x = -4,得x = ;
7
(2),得x = 1;
(3),得x = 2;
(4),得y =;
(5)3 + x = 5,得x = 5 + 3;
(6)3 = x-2,得x = -2-3 .
2.(口答)求下列方程的解.
(1)x-6 = 6; (2)7x = 6x-4;
(3)-5x = 60; (4).
3.下面的移项对不对?如果不对,错在哪里?应当怎样改正?
(1)从7 + x = 13,得到x = 13 + 7;
(2)从5x = 4x + 8,得到5x - 4x = 8
4.用方程的变形解方程:44x + 64 = 328.
6.2.1方程的简单变形(二)
知识技能目标
1.运用方程的变形规律熟练解方程;
2.理解解方程的步骤,掌握移项变号规则.
过程性目标
通过解方程过程的探讨,使学生获得解方程的步骤,体会数学中由特殊到一般的思想方法.
教学过程
一、创设情境
方程的变形是怎样的?请同学们利用方程的变形,求方程2x + 3 = 1的解.并讨论:
(1)解方程的每一步的依据是什么?
(2)解方程应解到什么形式为止?
(3)通过解方程,你能归纳出解方程的一般步骤吗?
二、探究归纳
解 2x = 1-3,………………移项;
2x = -2,………………合并同类项;
x = -1.………………未知数的系数化为1.
(1)第一步的依据是方程的变形:在方程的两边同时减去3;
第二步的依据是合并同类项;
第三步的依据是方程的变形:方程的两边同时除以2.
(2)解方程应得到x = a 的形式.
(3)解方程的一般步骤是:
7
①移项;
②合并同类项;
③系数化为1.
三、实践应用
例1 解下列方程,并能说出每一步的变形过程.
(1)8x = 2x-7 ;
(2)6 = 8 + 2x ;
(3)2y - = ;
(4)3y-2 = y + 1 + 6y.
解 (1)8x = 2x-7,
移项,得
8x-2x =-7,
合并同类项,得
6x = -7,
系数化为1,得
x = -.
(2)分析 本题含有未知数的项在方程的右边,在解题时可考虑先把8 + 2x放到方程的左边,把6放到方程的右边,然后再解方程.
解 8 + 2x = 6,
移项
2x = 6-8,
合并同类项
2x = -2,
系数化为1
x = -1.
注意:(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的,把8 + 2x放在方程左边,6放到方程的右边时,符号不变.
(2)也可考虑直接把含未知数的项2x移到方程的左边,然后再解方程.
或解 6 = 8 + 2x,
移项
- 2x = 8 - 6,
合并同类项
- 2x =2,
系数化为1
x = -1.
或解 6 = 8 + 2x,
移项
6-8 = 2x,
合并同类项
-2 = 2x,
即 2x = -2,
系数化为1
7
x =-1.
以上三种解法,让学生通过对比分析,体会每种方法的优点,寻求较简捷的方法.
(3) 2y - =
移项
2y-=-3 + ,
合并同类项
= -,
系数化为1
y = -÷= -×,
即 y = -.
注 将系数化为1时,如果系数是分数,要特别细心,若结果是分数,则要化为最简分数.
思考:这个方程还有其他的解法吗?能否采用把方程的分母去掉把系数化为整数?并比较哪种方法更好?
(4)3y-2 = y + 1 + 6y,
合并同类项
3y-2 = 7y + 1,
移项
3y-7y = 1 + 2,
合并同类项
-4y = 3,
系数化为1
y = 3÷(-4) = 3 ×(-) =- .
通过上面的解方程,想一想,你能选择解方程的步骤了吗?
例2 解下列方程,并按例1的解题格式书写解题过程.
(1)2x:3 = 6:5; (2)1.3x +1.2-2x =1.2-2.7x .
分析 把方程中的比先化为分数,再解方程.
解 (1) 2x:3 = 6:5,
,
系数化为1
x =÷= ×= .
(2) 1.3x + 1.2-2x =1.2-2.7x,
7
移项
1.3x-2x + 2.7x = 1.2-1.2,
合并同类项
2x = 0,
系数化为1
x = 0÷2 = 0.
例3 已知y1 = 3x + 2,y2 = 4-x.当x取何值时,y1与 y2互为相反数?
分析 y1与 y2互为相反数,即y1+ y2 = 0.本题就转化为求方程3x + 2 + 4-x = 0的解.
解 由题意得:3x + 2 + 4-x = 0,
3x-x = -4-2,
x = -3.
所以当x = -3时,y1与 y2互为相反数.
四、交流反思
1.解方程的一般步骤为:
(1)移项;
(2)合并同类项;
(3)系数化为1.
2.方程解的结果是化为x = a的形式.
3.移项时要注意改变符号.
4.将系数化为1时,如果系数是分数,要特别细心,若结果是分数,则要化为最简分数.
五、检测反馈
1.解下列方程,并写出每步变形的依据.
(1)3x + 4 = 0; (2)7y + 6 = -y;
(3)-0.2x; (4)1-.
2.解下列方程:
(1)3x-7 + 4x = 6x-2; (2)10y + 5 = 11y-5-2y ;
(3)a-1 = 5 + 2a; (4);
(5)5; (6).
3.已知y1 = 3x + 2,y2 = 4-x.
(1)当x取何值时,y1 = y2? (2)当x取何值时,y1比 y2大4?
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