七年级数学上册第5章相交线与平行线5-1相交线1对顶角习题课件新版华东师大版 27页

第 5 章 相交线与平行线 5.1 相 交 线 1. 对 顶 角 1. 理解对顶角的概念及其性质 .( 重点 ) 2. 运用对顶角的性质解决相关问题 .( 难点 ) 一、对顶角的定义 如图，画直线 AB ， CD 相交于点 O ，所 成的角有 ___________________. (1)∠1 与∠ 2 ，∠ 2 与∠ 3 ，∠ 3 与∠ 4 ，∠ 4 与∠ 1 的位置关系是 _____ ，数量关系是 _____. (2)∠1 与∠ 3 ，∠ 2 与∠ 4 的位置关系是 _____. ∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 相邻 互补 相对 【 思考 】 1. 上面图中∠ 1 与∠ 3,∠2 与∠ 4 各组中的两个角的顶点有什么特点？ 提示： 具有相同的顶点 . 2. 上面图中∠ 1 与∠ 3,∠2 与∠ 4 各组中的两个角的边有什么关系？ 提示： 其中一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线 . 【 总结 】 若两个角具有相同的 _____ ，且一个角的两边分别与 另一个角的两边 _______________ , 这样的两个角叫做对顶角 . 顶点 互为反向延长线 二、对顶角的性质 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，因为∠ 1+∠2=______,∠3+∠2=______ ，所 以∠ 1__∠3. 同理：∠ 2__∠4. 【 总结 】 对顶角 _____ . 180° 180° = = 相等 ( 打“√”或“ ×”) (1) 顶点相对的角是对顶角 .( ) (2) 两条直线相交，能形成两对对顶角 .( ) (3) 两条直线相交所形成的角中，有公共顶点，没有公共边的两 个角是对顶角 .( ) (4) 不相等的角一定不是对顶角 .( ) × √ √ √ 知识点 1 对顶角的识别 【 例 1】 下列各组角中，∠ 1 与∠ 2 是对顶角的为 ( ) 【 思路点拨 】 根据对顶角满足的两个条件判断，即①具有相同顶点；②一角的两边与另一个角的两边互为反向延长线 . 【 自主解答 】 选 B. 选项 D 中，∠ 1 与∠ 2 顶点不同；选项 A ， B ， C 中，∠ 1 与∠ 2 具有相同顶点，只有选项 B 中∠ 1 与∠ 2 的两边互为反向延长线，所以 B 项中∠ 1 与∠ 2 是对顶角 . 【 总结提升 】 关于对顶角的三点说明 1. 对顶角是两条直线相交形成的角，并且两条直线相交形成两对对顶角 . 2. 判断对顶角的两个标准： (1) 有公共顶点 .(2) 两个角的两边互为反向延长线 . 3. 在复杂的图形中找一个角的对顶角时，先确定这个角的两条边，再确定这个角两边的反向延长线，最后确定这两条反向延长线组成的角 . 知识点 2 对顶角性质的应用 【 例 2】 直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ，∠ AOD=100°∠1=30° ，求∠ 2 的度数 . 【 思路点拨 】 由对顶角性质求出∠ DOF ，再由∠ AOD+∠DOF+ ∠2=180° ，求出∠ 2. 【 自主解答 】 因为直线 CD ， EF 相交于点 O ，所以∠ 1 与∠ DOF 是对顶角 . 根据对顶角相等，得∠ DOF=∠1=30°. 又因为∠ AOD+∠DOF+∠2=180° ，∠ AOD=100° ， 所以∠ 2=180°-∠AOD-∠DOF=180°-100°-30°=50°. 【 总结提升 】 求解两条直线相交形成的角的大小时常用的三个关系 1. 对顶角相等 . 2. 平角等于 180°. 3. 周角等于 360°. 题组一： 对顶角的识别 1. 如图，在所标识的角中，互为对顶角 的两个角是 ( ) A.∠2 和∠ 3 B.∠1 和∠ 3 C.∠1 和∠ 4 D.∠1 和∠ 2 【 解析 】 选 A.∠2 和∠ 3 有公共顶点，且∠ 2 的两边与∠ 3 的两边互为反向延长线 . 2. 下列语句中，正确的是 ( ) A. 两条直线相交，任意两个角都是对顶角 B. 相等的两个角是对顶角 C. 有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角 D. 交于一点的三条直线形成 3 对对顶角 【 解析 】 选 C. “ 有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角 ” 符合对顶角的定义，因此选项 C 正确 . 3. 如图， BE ， CF 相交于 O ， OA ， OD 是射线，其中构成对顶角的角是 _________. 【 解析 】 根据对顶角的定义，构成对顶角的角是：∠ EOF 和∠ BOC ，∠ EOC 和∠ BOF. 答案： ∠ EOF 和∠ BOC ，∠ EOC 和∠ BOF 4. 如图 , 直线 AB ， CD ， EF ， GH 相交于点 O ，则∠ AOD 的对顶角为 _______,∠COH 的对顶角是 _______. 【 解析 】 ∠AOD 的两边为 OA ， OD ，且 OA ， OD 的反向延长线分别为 OB ， OC ，故∠ AOD 的对顶角为∠ BOC ，同理∠ COH 的对顶角为∠ GOD. 答案： ∠ BOC ∠GOD 5. 学完对顶角之后，小华同学认为对顶角也可以这样定义：有公共顶点，且相等的两个角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确，请举一个说明他定义方法错误的例子 . 【 解析 】 不正确，如图，∠ AOB= ∠COD ，且这两个角有公共的顶点 O ，但∠ AOB 与∠ COD 的两边不互为 反向延长线，故不是对顶角 . 题组二： 对顶角性质的应用 1. 下面四个图形中，∠ 1=∠2 一定成立的是 ( ) 【 解析 】 选 B. 选项 B 中∠ 1 与∠ 2 是对顶角，所以∠ 1=∠2. 2. 如图所示， AB 与 CD 相交于 O ，∠ AOD+∠BOC=280° ，则∠ AOD 为 ( ) A.40° B.140° C.120° D.60° 【 解析 】 选 B. 因为∠ AOD 与∠ BOC 是对顶角，所以∠ AOD= ∠BOC ，又因为∠ AOD+∠BOC=280° ，所以∠ AOD=∠BOC=140°. 3. 如图是用对顶角量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于 ________ 度 . 【 解析 】 根据对顶角相等，得零件的锥角等于 30°. 答案： 30 4. 如图所示，直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ AOM=90° ，若∠ COB= 135° ，则∠ MOD=________ 度 . 【 解析 】 因为直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ COB 与∠ AOD 是对顶角，所以∠ AOD=∠COB =135°. 又因为∠ AOM=90° ，所以∠ MOD=∠AOD -∠AOM =135°-90°=45°. 答案： 45 5. 如图， AB ， CD 相交于点 O ， OB 平分 ∠ DOE ，∠ AOC=37° ，求∠ BOE 的度数 . 【 解析 】 因为∠ AOC 和∠ BOD 是对顶角， ∠ AOC=37° ， 所以∠ BOD=37°. 又因为 OB 平分∠ DOE ， 所以∠ BOE=∠BOD=37°. 【 变式训练 】 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ， OA 平分∠ EOC ，∠ EOC =76° ，则∠ BOD=_______°. 【 解析 】 因为 OA 平分∠ EOC ，所以∠ AOC= ∠EOC= ×76°= 38°. 因为∠ BOD 与∠ AOC 是对顶角，所以∠ BOD=∠AOC=38°. 答案： 38 【 想一想错在哪？ 】 如图，直线 CD,EF 相交于点 O ， OA 平分∠ EOC ， OB 平分∠ DOF ，∠ COF ＝ 150° ，试说明∠ AOB 是平角 . 提示： 运用对顶角的性质时忽略了两个角是对顶角的前提条件，导致说理过程出现错误 .