人教版初中数学八年级下册课件18.1.1 平行四边形的性质第2课时 平行四边形的对角线的特征 29页

18.1.1 平行四边形的性质 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 平行四边形的对角线的特征 学习目标 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点） 2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.（难点） 导入新课 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边的土地，由 于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子， 他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的 地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么? 情景引入 讲授新课 平行四边形的对角线的性质一 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质， 那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B CD O 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于 点O. OA与OC,OB与OD有什么关系?猜一猜 OA=OC,OB=OD 怎样证明这 个猜想呢？ 已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌ △COB（ASA）, ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 3 24 1 证一证 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. u平行四边形的性质 应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 归纳总结 例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD 相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， 求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两 个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 归纳 【变式题】如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是 100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且 AC:DB= 2:1，求AC和BD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，OB=OD， ∴AB+BC=50. ∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm， ∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122， 即AC+BD=122-50=72. 又∵AC:DB=2:1， ∴AC=48cm，BD=24cm． 例2 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点， 点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF 的关系并证明你的结论． 解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边 形， ∴OA＝OC，OB＝OD, ∴OE＝OF. 在△OFD和△OEB中， OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△OFD≌ △OEB， ∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF， ∴BE∥DF. 例3 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线 EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. A B CD F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌ △BOE（AAS）, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? A B CD O EF A B CD O E F A B CD O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 议一议 同例3易证明OE=OF还成立. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形 的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 归纳 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于 点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周 长为 （　　） A.26 B.34 C.40 D.52 练一练 B 2.如图，在▱ ABCD中，对角线AC和BD相交于点 O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、 BD的长度的和是 （　 　） A.9 B.18 C.27 D.36 B A B C D O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， 根据勾股定理得 ∴BC=AD=8,CD=AB=10. 2 2 2 210 8 6.AC AB BC     AC BC ， ABC  是直角三角形. 又∵OA=OC, 1 3, 8 6 48.2 ABCDOA AC S BC AC        例4　如图，在　ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥ BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及　ABCD的面 积． 平行四边形的面积二 例5 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E， DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48， DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积. 解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80． 已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法” 及平行四边形的性质列方程求解. 归纳 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为 四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 还可结合全 等来证哟. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相 等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相 对的两个三角形全等. 归纳 A B CD O F E 例6 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形 ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ MN 解：设直线EF交AD,BC于点N,M. ∵AD∥BC, ∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO. 又∵AO=CO, ∴△NAO≌ △MCO， ∴S四边形 ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB= . ∴S四边形ANMB=S四边形CMND, 即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 1 2 ABCDS 典例精析 A B D O E F A B CD O EF C A B CD O E F 思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形 ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成 面积相等的两部分. 归纳 同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四 边形面积相等. 1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴 影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四 边形的面积． 解：（9+12）×2 =21×2 =42（cm2） 答：平行四边形的面积是42cm2． 练一练 2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井， 为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路， 一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们， 你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？ B M C ● DA O 解：如图所示． 当堂练习 1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 B B C DA O 2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错 误的是（　　） A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD C．AO=CO D．AC⊥BD B C DA O D 3.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值 范围是 ( ) A. 24