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  • 2021-10-26 发布

八年级数学下册第2章四边形2-1多边形课件(湘教版)

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第 2 章 四边形 2.1 多边形 1. 通过具体情境了解多边形的概念,掌握四边形和多边形的内角和,会利用多边形的内角和进行计算 . 2. 通过多边形内角和公式的推导过程,培养学生的发散思维能力,逐步提高推理的能力 . 3. 了解多边形外角和的概念、掌握多边形外角和公式 . 4. 了解正多边形的概念 ; 了解四边形的不稳定性及生活中的应用 . 广场中心的边缘是一个五边形,小明沿五边形的边缘跑一周,一共会转过多少度呢?本节课我们将共同来探究多边形的内角和和外角和问题 . 看一看 四边形 五边形 六边形 八边形 …… 三角形 顶点 内角 边 对角线 ( 连接不相邻两个顶点的线段 ) 这里所说的多边形都指 凸多边形 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 . 图 2 图 1 我们现在研究的是如图 1 所示的多边形,是凸多边形;如图 2 所示的多边形,是凹多边形,但不在现在研究的范围内 . 今后如果不说明,我们讲的多边形都是凸多边形 . 下面让我们共同来探求五边形的五个内角的和 . A B C D E 我们知道,三角形的内角和等于 ______ 度 , 四边形的内角和等于 度,那五边形的内角和呢? 180 360 你能动手做一做吗 ? 你能想出几种不同的解法? A B C D E 探究 1 180°×3 = 540° 多边形 边数 图形 分成三角形的个数 内角和 计算规律 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n 边形 … … … … … … 3 4 5 6 7 n 1 n-2 2 3 4 5 180° 360° 540° 720° 900° (n - 2) ·180° ( n - 2) ·180° ( 7 - 2) ·180° ( 6 - 2) ·180° ( 5 - 2) ·180° ( 4 - 2) ·180° ( 3 - 2) ·180° E A B C D O 180°× 5 – 360°= 540° 探究 2 A B C D E F 180°× 4 – 180° = 540° 探究 3 A B C D E 180°+ 360° = 540° 探究 4 2 . 如图 : (1) 作多边形过顶点 A 的所有对角线,并分别用字母表达出来。 (2) 求这个多边形的内角和。 A B C D E F 1. 过某个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成 5 个三角形,这个多边形是几边形?它的内角和是多少? 答案: 七边形 900° 解 : (1) 过顶点 A 的对角线共有三 条,分别是 AC 、 AD 和 AE. (2) 这个多边形的内角和是: (6-2) · 180 = 720( 度 ). 【 跟踪训练 】 解: 由多边形的内角和公式可得 : ( n-2 ) · 180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 所以这是十边形。 十 3 . 如果一个多边形的内角和是 1440 度,那么这是 ___ 边形。 在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫作正多边形 . 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形 观察图中的多边形 , 它们的边、角有什么特点? ( 1 )一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗? ( 2 )一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗? ( 3 )正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?正 n 边形呢? 菱形 (分别是 60° , 90° , 108° , 120° , 135° , ) 矩形 不一定,如菱形 . 不一定,如矩形 . 2. 若正 n 边形的一个内角是 144 度,则 n=_______. 解: 由多边形的内角和公式可得: (n -2) · 180 = 144n 180n – 360 = 144n 180n -144n=360 36n = 360 n = 10 10 1. 如果十二边形的每一个内角都相等,那么每个内角是 ______ 度。 150 【 跟踪训练 】 3. 在四边形 ABCD 中,∠ A=120 度,∠ B ︰ ∠C ︰ ∠D=3 ︰ 4 ︰ 5, 求∠ B ,∠ C ,∠ D 的度数 . 解: 设∠ B ,∠ C ,∠ D 的度数分别是 3x, 4x, 5x 度,由四边形的内角和等于 360 度可得: 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 所以 3x = 60 4x = 80 5x = 100 答:∠ B ,∠ C ,∠ D 的度数分别为 60 度, 80 度 ,100 度 . ( 2 )他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少? ( 3 )在上图中,你能求出  1+  2+  3+  4+  5=? 吗?你是 怎样得到的? 4. 问题解决 ( 1 )小明每从一条街道转到下一条街道时,身体转过的角是哪个角? A B C D E A' C' D' E ' B' O 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 结论: (1) 分别是  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 (2) 角度之和为 360 ° (3) 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 的和等于 360° 如果广场的形状是六边形、八边形,那么还有类似的结论吗? 多边形内角的 一边与另一边的反向延长线 所组成的角叫作这个多边形的外角 . 在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫作这个多边形的外角和 . 任意多边形的外角和都等于 360 ° ( 1 )还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式? ( 2 )利用多边形外角和的结论,能否推导出多边形内角和的结论? 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍,它是几边形? 解: 设这个多边形是 n 边形,由题意得 ( n-2) · 180=360×3 解得 n=8 答 : 这个多边形是八边形 . 【 例题 】 【 解析 】 答案: 【 跟踪训练 】 【 解析 】 【 解析 】 2. (自贡 · 中考)一个多边形截取一个角后,形成的另一个多边形的内角和是 1 620° ,则原来多边形的边数是 ( ) ( A ) 10 ( B ) 11 ( C ) 12 ( D )以上都有可能 【 解析 】 选 D. 设截去一个角后的多边形的边数为 n ,则有 (n-2)×180°=1 620° 解得 n=11 , 由于多边形被截取一个角后有三种情况,一是边数减少一条,二是边数不变,三是边数增加一条,所以多边形的边数可能是 10 , 11 , 12. 3. 如图,能够利用下面图形说明 n 边形的内角和为 (n-2)·180° 的有 ( ) ( A ) 1 个 ( B ) 2 个 ( C ) 3 个 ( D ) 4 个 【 解析 】 选 D. 探索多边形内角和的思路是把多边形划分成三角形,利用三角形的内角和为 180° 求得,由图形作法可知: 图①为 n · 180°-360° =( n-2 ) ×180° , 图②为 (n-2)×180°, 图③为( n-1 ) ×180°-180°=(n-2)×180°, 图④为( n-1 ) ×180°-180°=(n-2)×180°. 4. (湛江 · 中考)如图,小林从 P 点向西直走 12 米后,向左转,转动的角度为 α ,再走 12 米,如此重复,小林共走了 108 米回到点 P ,则 α = ( ) ( A ) 30° ( B ) 40° ( C ) 80° ( D )不存在 【 解析 】 选 B. 观察图形分析已知条件,不难看出小林实 际上围绕正多边形走了一周,并且该正多边形的边长是 12 米,因为小林一共走了 108 米,即该正多边形的周长 是 108 米,所以其边数为 9 ,因其外角和是定值 360° , 故 α = = 40° ,所以本题选 B. 【 解析 】 答案: 【 解析 】 答案: 7. (宿迁 · 中考)如图,平面上两个正方形与一个正五边形都有一条公共边,则∠ α = _________. 【 解析 】 ∠α = 360°-180°-108° = 72° 答案 : 72°. 8. (晋江 · 中考)将一块正五边形纸片(图①)做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,见图②),需在每一个顶点处剪去一个四边形,例如图①中的四边形 ABCD ,则∠ BAD 的大小是 ________. 【 解析 】 要做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒,则 AB,AD 都与里面的正五边形的边垂直,所以∠ BAD 与正五边形的内角互补,∠ BAD = 180°-108° = 72° 答案 : 72° 9. 如图,∠ A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F 的度数之和为 ________. 【 解析 】 如图,连结 AD, 由∠ 3 =∠ 4 ,得∠ 1+∠2 =∠ E+∠F, 所以∠ BAF+∠B+∠C+∠EDC+∠E+∠F =∠5+∠B+∠C+∠6+∠1+∠2 = 四边形 ABCD 的内角和= 360° 答案 : 360° 10. 多边形的每个内角都等于它的相邻外角的 6 倍,试求该多边形的边数 . 【 解析 】 设多边形的边数为 n, 则 (n-2) · 180°=6×360° , 解得 n=14. 本节课我们研究了多边形的定义及其内角和、外角和公式 . 1. 多边形的内角和公式: n 边形的内角和等于 (n - 2)· 180°, 它揭示了多边形内角和与边数之间的关系 . 2. 多边形的外角及其外角和公式 : 多边形的外角和等于 360°. 求解有关多边形的角的计算题 , 有时直接应用外角和公式会比较简便 . 人生像攀登一座山,而找寻出路,却是一种学习的过程,我们应当在这过程中,学习稳定、冷静,学习如何从慌乱中找到生机 .