八年级数学下册第2章四边形2-1多边形课件（湘教版） 43页

第 2 章 四边形 2.1 多边形 1. 通过具体情境了解多边形的概念，掌握四边形和多边形的内角和，会利用多边形的内角和进行计算 . 2. 通过多边形内角和公式的推导过程，培养学生的发散思维能力，逐步提高推理的能力 . 3. 了解多边形外角和的概念、掌握多边形外角和公式 . 4. 了解正多边形的概念 ; 了解四边形的不稳定性及生活中的应用 . 广场中心的边缘是一个五边形，小明沿五边形的边缘跑一周，一共会转过多少度呢？本节课我们将共同来探究多边形的内角和和外角和问题 . 看一看 四边形 五边形 六边形 八边形 …… 三角形 顶点 内角 边 对角线 ( 连接不相邻两个顶点的线段 ) 这里所说的多边形都指 凸多边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 . 图 2 图 1 我们现在研究的是如图 1 所示的多边形，是凸多边形；如图 2 所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围内 . 今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形 . 下面让我们共同来探求五边形的五个内角的和 . A B C D E 我们知道，三角形的内角和等于 ______ 度 , 四边形的内角和等于 度，那五边形的内角和呢？ 180 360 你能动手做一做吗 ? 你能想出几种不同的解法？ A B C D E 探究 1 180°×3 = 540° 多边形 边数 图形 分成三角形的个数 内角和 计算规律 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n 边形 … … … … … … 3 4 5 6 7 n 1 n-2 2 3 4 5 180° 360° 540° 720° 900° (n － 2) ·180° ( n － 2) ·180° ( 7 － 2) ·180° ( 6 － 2) ·180° ( 5 － 2) ·180° ( 4 － 2) ·180° ( 3 － 2) ·180° E A B C D O 180°× 5 – 360°= 540° 探究 2 A B C D E F 180°× 4 – 180° = 540° 探究 3 A B C D E 180°+ 360° = 540° 探究 4 2 . 如图 ： (1) 作多边形过顶点 A 的所有对角线，并分别用字母表达出来。 (2) 求这个多边形的内角和。 A B C D E F 1. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 5 个三角形，这个多边形是几边形？它的内角和是多少？ 答案： 七边形 900° 解 : (1) 过顶点 A 的对角线共有三 条，分别是 AC 、 AD 和 AE. (2) 这个多边形的内角和是： (6-2) · 180 = 720( 度 ). 【 跟踪训练 】 解： 由多边形的内角和公式可得 : （ n-2 ） · 180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 所以这是十边形。 十 3 . 如果一个多边形的内角和是 1440 度，那么这是 ___ 边形。 在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫作正多边形 . 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形 观察图中的多边形 , 它们的边、角有什么特点？ （ 1 ）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ （ 2 ）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ （ 3 ）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？正 n 边形呢？ 菱形 （分别是 60° ， 90° ， 108° ， 120° ， 135° ， ） 矩形 不一定，如菱形 . 不一定，如矩形 . 2. 若正 n 边形的一个内角是 144 度，则 n=_______. 解： 由多边形的内角和公式可得： (n -2) · 180 = 144n 180n – 360 = 144n 180n -144n=360 36n = 360 n = 10 10 1. 如果十二边形的每一个内角都相等，那么每个内角是 ______ 度。 150 【 跟踪训练 】 3. 在四边形 ABCD 中，∠ A=120 度，∠ B ︰ ∠C ︰ ∠D=3 ︰ 4 ︰ 5, 求∠ B ，∠ C ，∠ D 的度数 . 解： 设∠ B ，∠ C ，∠ D 的度数分别是 3x, 4x, 5x 度，由四边形的内角和等于 360 度可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 所以 3x = 60 4x = 80 5x = 100 答：∠ B ，∠ C ，∠ D 的度数分别为 60 度， 80 度 ,100 度 . （ 2 ）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （ 3 ）在上图中，你能求出  1+  2+  3+  4+  5=? 吗？你是 怎样得到的？ 4. 问题解决 （ 1 ）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ A B C D E A' C' D' E ' B' O 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 结论： (1) 分别是  1 ，  2 ，  3 ，  4 ，  5 (2) 角度之和为 360 ° (3) 1 ，  2 ，  3 ，  4 ，  5 的和等于 360° 如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？ 多边形内角的 一边与另一边的反向延长线 所组成的角叫作这个多边形的外角 . 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和 . 任意多边形的外角和都等于 360 ° （ 1 ）还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式？ （ 2 ）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？ 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？ 解： 设这个多边形是 n 边形，由题意得 （ n-2) · 180=360×3 解得 n=8 答 : 这个多边形是八边形 . 【 例题 】 【 解析 】 答案： 【 跟踪训练 】 【 解析 】 【 解析 】 2. （自贡 · 中考）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 1 620° ，则原来多边形的边数是 ( ) （ A ） 10 （ B ） 11 （ C ） 12 （ D ）以上都有可能 【 解析 】 选 D. 设截去一个角后的多边形的边数为 n ，则有 (n-2)×180°=1 620° 解得 n=11 ， 由于多边形被截取一个角后有三种情况，一是边数减少一条，二是边数不变，三是边数增加一条，所以多边形的边数可能是 10 ， 11 ， 12. 3. 如图，能够利用下面图形说明 n 边形的内角和为 (n-2)·180° 的有 ( ) （ A ） 1 个 （ B ） 2 个 （ C ） 3 个 （ D ） 4 个 【 解析 】 选 D. 探索多边形内角和的思路是把多边形划分成三角形，利用三角形的内角和为 180° 求得，由图形作法可知： 图①为 n · 180°-360° ＝（ n-2 ） ×180° ， 图②为 (n-2)×180°, 图③为（ n-1 ） ×180°-180°=(n-2)×180°, 图④为（ n-1 ） ×180°-180°=(n-2)×180°. 4. （湛江 · 中考）如图，小林从 P 点向西直走 12 米后，向左转，转动的角度为 α ，再走 12 米，如此重复，小林共走了 108 米回到点 P ，则 α ＝ ( ) （ A ） 30° （ B ） 40° （ C ） 80° （ D ）不存在 【 解析 】 选 B. 观察图形分析已知条件，不难看出小林实 际上围绕正多边形走了一周，并且该正多边形的边长是 12 米，因为小林一共走了 108 米，即该正多边形的周长 是 108 米，所以其边数为 9 ，因其外角和是定值 360° ， 故 α ＝ ＝ 40° ，所以本题选 B. 【 解析 】 答案： 【 解析 】 答案： 7. （宿迁 · 中考）如图，平面上两个正方形与一个正五边形都有一条公共边，则∠ α ＝ _________. 【 解析 】 ∠α ＝ 360°-180°-108° ＝ 72° 答案 : 72°. 8. （晋江 · 中考）将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形 ABCD ，则∠ BAD 的大小是 ________. 【 解析 】 要做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒，则 AB,AD 都与里面的正五边形的边垂直，所以∠ BAD 与正五边形的内角互补，∠ BAD ＝ 180°-108° ＝ 72° 答案 : 72° 9. 如图，∠ A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F 的度数之和为 ________. 【 解析 】 如图，连结 AD, 由∠ 3 ＝∠ 4 ，得∠ 1+∠2 ＝∠ E+∠F, 所以∠ BAF+∠B+∠C+∠EDC+∠E+∠F =∠5+∠B+∠C+∠6+∠1+∠2 = 四边形 ABCD 的内角和＝ 360° 答案 : 360° 10. 多边形的每个内角都等于它的相邻外角的 6 倍，试求该多边形的边数 . 【 解析 】 设多边形的边数为 n, 则 (n-2) · 180°=6×360° ， 解得 n=14. 本节课我们研究了多边形的定义及其内角和、外角和公式 . 1. 多边形的内角和公式： n 边形的内角和等于 (n － 2)· 180°, 它揭示了多边形内角和与边数之间的关系 . 2. 多边形的外角及其外角和公式 : 多边形的外角和等于 360°. 求解有关多边形的角的计算题 , 有时直接应用外角和公式会比较简便 . 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机 .