2020八年级数学上册 专题突破讲练 平行线性质的综合应用 折叠问题试题 （新版）青岛版 11页

平行线性质的综合应用：折叠问题 一、平行线的性质 方法归纳：平行关系数量关系（由“线”推“角”）‎ 由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补）‎ 如（1）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°‎ 解：∵a∥b，‎ ‎∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等），‎ ‎∴∠2＝∠3＝60°。‎ 故选C。‎ ‎（2）如图，直线c与a、b均相交，当a∥b时，则（　　）‎ A. ∠1＞∠2 B. ∠1＜∠‎2 ‎ C. ∠1＝∠2 D. ∠1＋∠2＝90°‎ 解：∵a∥b，‎ ‎∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），‎ 故选：C。‎ 二、折叠问题（翻折变换）‎ ‎1. 折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。‎ ‎2. 折叠是一种对称变换，它属于轴对称。‎ 11‎ ‎（1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线；‎ ‎（2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；‎ ‎（3）对应边和对应角相等。‎ ‎3. 对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。‎ 例题1 如图所示。已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF。求∠BEG和∠DEG。‎ 解析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEC、∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数。‎ 答案：解：由题意得：∠BEC＝80°，∠BED＝100°，‎ ‎∠BEF＝∠BEC＝40°，‎ ‎∴∠BEG＝90°－∠BEF＝50°，‎ ‎∠DEG＝∠BED－50°＝50°。‎ ‎∴∠BEG和∠DEG都为50°。‎ 点拨：解答此类题目要熟悉平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补。‎ 例题2 如图所示，将宽为‎4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠ACB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？‎ 解析：根据翻折不变性，得到∠α＝∠CAB，从而求出∠ABC＝∠BAC，再得出△ACB为等腰三角形，求出AD和CB的长，进而求出△ABC的面积。‎ 11‎ 答案：解：延长GA到F，根据翻折不变性，∠α＝∠CAB，‎ ‎∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝30°，∴∠α＝∠CAB＝（180°－30°）÷2＝75°，‎ ‎∴∠ABC＝180°－30°－75°＝75°，∴AC＝BC。作AD⊥BC，垂足为D，∵纸条的宽＝‎4cm，‎ ‎∴AD＝‎4cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝2×4＝‎8cm，∴AC＝BC＝‎8cm，‎ ‎∴△ABC的面积为（4×8）÷2＝‎16cm2。故重叠部分的面积为‎16cm2。‎ 点拨：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角形的性质及含30°的角的性质，综合性较强。 ‎ 平行线的性质的熟练掌握和灵活运用至关重要，对于后继学习尤其是四边形的学习有铺垫性作用。综合平行线性质和折叠不变性的题目灵活性较强，关键要找准平行线再确定角的关系。‎ 满分训练 如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）‎ ‎（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；‎ ‎（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）‎ ‎（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。‎ 解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA＝∠PBD。由∠APB＝∠PAE＋∠PEA，可知∠APB＝∠PAC＋∠PBD；‎ ‎（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；‎ ‎（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论。‎ 11‎ 答案：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E。∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD。‎ ‎∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD；‎ 解法二：如图2‎ 过点P作FP∥AC，∴∠PAC＝∠APF。∵AC∥BD，∴FP∥BD。∴∠FPB＝∠PBD。‎ ‎∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD；‎ 解法三：如图3，‎ ‎∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°，∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°。‎ 又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD。‎ ‎（2）不成立。‎ ‎（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB。‎ ‎（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB。‎ 或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）。‎ ‎（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD。‎ 选择（a）证明：‎ 如图4，连接PA，连接PB交AC于M。∵AC∥BD，∴∠PMC＝∠PBD。‎ 又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），‎ ‎∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB。‎ 选择（b）证明：如图5‎ ‎∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°。∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC。‎ ‎∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB，∠PAC＝∠PBD。‎ 选择（c）证明：‎ 如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD。‎ 11‎ ‎∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA，∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD。‎ 点拨：此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况。认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　）‎ A. 70°‎ B. 80°‎ C. 65°‎ D. 60°‎ ‎2. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD＝70°，那么∠ACD的度数为（　　）‎ A. 40°‎ B. 50°‎ C. 60°‎ D. 140°‎ ‎*3. 如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（　　）‎ A. 140°‎ B. 60°‎ C. 50°‎ D. 40°‎ ‎*4. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎**5. 如图，直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠3等于（　　）‎ 11‎ A. 60°‎ B. 70°‎ C. 80°‎ D. 90°‎ ‎**6. 如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝（　　）‎ A. 80°‎ B. 70°‎ C. 40°‎ D. 20°‎ 二、填空题.‎ ‎7. 如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上。若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABC＝________度。‎ ‎*8. 如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝ _________°。‎ ‎*9. 如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝_______ 。‎ ‎**10. 如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上。如果∠1＝18°，那么∠2的度数是_______ 。‎ 11‎ 三、解答题 ‎11. 如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数。‎ ‎12. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝40°，求∠2的度数。‎ ‎*13. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？‎ ‎**14. 将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°。‎ ‎（1）求∠1的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形。‎ ‎**15. 如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，求图c中的∠CFE的度数1。‎ 11‎ 11‎ ‎1. A 解析：∵直线l1∥l2，∠1＝140°，∴∠1＝∠4＝140°，∴∠5＝180°－140°＝40°，∵∠2＝70°，∴∠6＝180°－70°－40°＝70°，∵∠3＝∠6，∴∠3的度数是70°。故选：A。 ‎ ‎2. A 解析：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝70°，∴∠CAD＝∠BAD＝70°，‎ 又∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝70°，‎ 又∵∠ACD+∠ADC＋∠CAD＝180°，‎ ‎∴∠ACD＝180°－70°－70°＝40°，故选A。‎ ‎3. D 解析：∵∠CDE＝140°，∴∠ADC＝180°－140°＝40°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC＝40°。故选D。‎ ‎4. B 解析：A. ∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°，故本选项错误；‎ B. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，故本选项正确；‎ C. ∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDA，而当AC∥BD时，∠1＝∠2；故本选项错误；‎ D. 当梯形ABCD是等腰梯形时，∠1＝∠2，故本选项错误。故选B。‎ ‎5. C 解析：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠4＝120°，∵∠4＝∠2＋∠3，而∠2＝40°，‎ ‎∴120°＝40°＋∠3，∴∠3＝80°。故选C。‎ ‎6. B 解析：过G点作GH∥AD，如图，‎ 11‎ ‎∴∠2＝∠4，∵矩形ABCD沿直线EF折叠，∴∠3＋∠4＝∠B＝90°，∵AD∥BC，‎ ‎∴HG∥BC，∴∠1＝∠3＝20°，∴∠4＝90°－20°＝70°，∴∠2＝70°。故选B。‎ ‎7. 120 解析：如图，∵l1∥l2∥l3，∠1＝70°，∠2＝50°，∴∠3＝∠1＝70°，∠4＝∠2＝50°，‎ ‎∴∠ABC＝∠3＋∠4＝70°＋50°＝120°。故答案为：120。‎ ‎8. 50 解析：∵∠BAC＝80°，∴∠EAC＝100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，‎ ‎∴∠EAD＝∠DAC＝50°，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°。故答案为：50。‎ ‎9. 115° 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠DEG＝∠1＋∠FEG＝115°。故答案为：115°。‎ ‎10. 12° 解析：如图，∵∠1＋∠3＝90°－60°＝30°，而∠1＝18°，∴∠3＝30°－18°＝12°，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝12°。故答案为12°。‎ ‎11. 53° 解析：∵AB∥CD，∠A＝37°，∴∠ECD＝∠A＝37°。‎ ‎∵DE⊥AE，∴∠D＝90°－∠ECD＝90°－37°＝53°。‎ ‎12. 100° 解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEG。∵EG平分∠AEF，∴∠1＝∠GEF，∠AEF＝2∠1。‎ 又∵∠AEF＋∠2＝180°，∴∠2＝180°－2∠1＝180°－80°＝100°。‎ ‎13. 150° 解析：过点B作直线BE∥CD。∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF。∴∠A＝∠ABE＝105°。‎ ‎∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°。又∵BE∥CD，∴∠CBE＋∠C＝180°。∴∠C＝150°。 ‎ 11‎ ‎14. 52° （1）解：∵∠GEF＝∠FEC＝64°，∴∠BEG＝180°－64°×2＝52°，∵AD∥BC，‎ ‎∴∠1＝∠BEG＝52°。‎ ‎（2）证明：∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，‎ ‎∴△EFG是等腰三角形。‎ ‎15. 120° 解析：折叠前后图形的形状和大小不变，根据图示可知∠CFE＝180°－3×20°＝120°。故图c中的∠CFE的度数是120°。‎ 11‎