- 728.00 KB
- 2021-10-27 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
八年级数学·下 新课标[冀教]
第二十二章 四边形
学 习 新 知问题思考
什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?
平行四边形的判定方法应该从三个方面分析:
(1)边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形.
(2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
那么菱形的判定方法是什么呢?
活动1 利用菱形的定义判定
菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的一种判定
方法.即:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
活动2 菱形的判定(1)
画两条等长的线段AB,AD,分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧相交于点C,
连接BC,CD,得到四边形ABCD,猜一猜,这是什么四边形?
通过探究,容易得到: 的四边形是菱形.
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
活动3 菱形的判定(2)
已知:如图所示,在▱ ABCD中,对角线AC与BD相交于点
O,AC⊥BD.求证:▱ ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形.
【思考】 从上述证明中,你得出什么结论?
菱形的判定定理:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(教材第145页例2)已知:如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的
平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F.
求证四边形AEDF是菱形.
分析:先证明四边形AEDF是平行四边形,
再利用菱形的定义进行判定.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.
∴AE=DE.
∴四边形AEDF是菱形.
5
5
(补充)已知:如图所示,在▱ ABCD中,对角线AC与BD相交于点
O,AB= ,OA=2,OD=1.
求证▱ ABCD是菱形.
证明:在△AOB中,AB= ,OA=2,OD=1,
∴AD2=AO2+OD2.
∴△AOD是直角三角形,∠AOD=90°.
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
[知识拓展] (1)菱形的判定可以从两个图形(四边形或平行四
边形)考虑,利用三种思路(边、角、对角线)进行证明.(2)菱形的
性质定理和判定定理是互逆定理.
【课堂小结】
检测反馈
1.(2016·遵义中考)如图所示,在▱ ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加
一个条件,使▱ ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC
解析:A.根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ ABCD是菱形;B.根据对角
线互相垂直的平行四边形是菱形可知B正确;C.对角线相等的平行四
边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;D.当∠BAC=∠DAC时,在
▱ ABCD
中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ ABCD
是菱形.故选C.
C
2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以
点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点
C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,
四边形ADBC一定是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
解析:由题意知AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形.故选B.
B
3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( )
A.等腰梯形 B.正方形
C.矩形 D.菱形
解析:等边三角形各边长度相等,而四条边相等的四边形是菱
形.故选D.
D
4.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且
AH∶ EH=12∶ 13,又AE=5,则四边形EFGH的面积为 ( )
A.240 B.60 C.120 D.169
2 2EH AH
1
21
2
解析:由题意易知
△AEH≌ △BEF≌ △CGF≌ △DGH,∴EH=EF=FG=HG,∴四
边形EFGH是菱形,其对角线的长等于矩形的长与宽.在
Rt△AEH中,设AH=12k,EH=13k,则AE=
=5k=5,∴k=1,∴AH=12,∴AD=24,AB=10,∴S菱形EFGH=
AD×AB= ×24×10=120.故选C.
C
5.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,
则四边形CODE的周长是 .
1
2
1
2
解析:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.∵四边形ABCD是
矩形,∴OC= AC=2,OD= BD,AC=BD,∴OC=OD=2,∴四边形CODE是菱
形,∴DE=CE=OC=OD=2,∴四边形CODE的周长=2×4=8.故填8.
8
6.如图所示,CE是△ABC的外角∠ACD的
平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交
CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.
解析:根据平行线的性质得到∠2=∠3,根据
角平分线的定义得到∠1=∠2,由等量代换
得到∠1=∠3.∴AF=AC,从而利用一组邻边
相等的平行四边形是菱形证得结论.
证明:∵AF∥CD,FG∥AC,
∴四边形ACGF是平行四边形,
∴∠2=∠3.
∵CE平分∠ACD,∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3,∴AC=AF,
∴四边形ACGF是菱形.
7.如图所示,已知BD平分∠ABF,且交AE于点D,
(1)求作∠BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当AC⊥BD时.求证四边形
ABCD是菱形.
解析:(1)根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP;(2)先证明
△ABO≌ △CBO,得出AO=CO,AB=CB,再证明△ABO≌ △ADO,得
出BO=DO.由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组
邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形.
解:(1)如图(1)所示.
图(1)
图(2)
,
,
,
ABO CBO
OB OB
AOB COB
证明:(2)如图(2)所示.
在△ABO和△CBO中,
∴△ABO≌ △CBO(ASA),
∴AO=CO,AB=CB.
,
,
,
OAB OAD
OA OA
AOB AOD
在△ABO和△ADO中,
∴△ABO≌ △ADO(ASA),
∴BO=DO.
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CB,
∴平行四边形ABCD是菱形.
相关文档
- 八年级下数学课件《中心对称与轴对2021-10-2733页
- 八年级下数学课件10-1分式(19张)_苏2021-10-2719页
- 八年级下数学课件《一元二次方程的2021-10-2722页
- 八年级下数学课件22-4《矩形》ppt2021-10-2720页
- 八年级下数学课件利用相似三角形测2021-10-2712页
- 八年级下数学课件演示文稿3_北师大2021-10-2713页
- 八年级下数学课件9-8相似三角形的2021-10-2713页
- 八年级下数学课件《二次根式的加减2021-10-269页
- 八年级下数学课件八年级下册数学课2021-10-2624页
- 八年级下数学课件《图形的旋转》 2021-10-2621页