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- 2021-10-27 发布
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第二章轴对称几道典型题
1.(已知两点,求第点,构成等腰三角形)在直线 MN 上能否找到点 A,使以 BC 为一边的△ABC 是等
腰三角形,如果能的话,这样的点 A 有几个?试着把它找出来,如果不能,说明理由.
2.(角平分线的对称性)(1)我们已经知道:在△ABC 中,如果 AB=AC,则∠B=∠C.下面我们继续研
究:如图①,在△ABC 中,如果 AB>AC,则∠B 与∠C 的大小关系如何?为此,我们把 AC 沿∠BAC
的平分线翻折,因为 AB>AC,所以点 C 落在 AB 边的点 D 处,如图②所示,然后把纸展平,连接 DE.接
下来,你能推出∠B 与∠C 的大小关系了吗?试写出说理过程.
(2)如图③,在△ABC 中,AE 是角平分线,且∠C=2∠B.求证:AB=AC+CE.
3.(等腰三角形的性质及应用)只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图:
(1)在图 1 中用下面的方法画等腰三角形 ABC 的对称轴:
<1>量出底边 BC 的长度,将线段 BC 二等分,即画出 BC 的中点 D;
<2>画直线 AD,即画出等腰三角形 ABC 的对称轴.
(2)在图 2 中画∠AOB 的对称轴,并写出画图的方法.
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4.(线段垂直平分线的性质与判定)如图,在△ABC 中,边 AB,AC 的垂直平分线相交于点 P.求证:
PB=PC.
变式:三角形两条角平分线交点又如何?试试看!
已知△ABC 周长为 20,∠BAC、∠ABC 的平分线相交于点 P,点 P 到边 AB 距离为 2,求△ABC 面积.
5.(角平分线性质、全等三角形)如图,△ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于点 P,
PD⊥AB 于点 D.
(1)过点 P 作 PE⊥AC 于点 E,求证:BD=CE;
(2)若 AB=6cm,AC=10cm,求 AD 的长.
6.(角平分线、线段垂直平分线作图、全等三角形判定)(1)如图,试用直尺与圆规在平面内确定一点 O,
使得点 O 到△ABC 的两边 AB、AC 的距离相等,并且点 O 到 B、C 两点的距离也相等.(不写作法,但需
保留作图痕迹)
(2)在(1)中,作 OM⊥AB 于 M,ON⊥AC 于 N,连结 BO、CO.求证:△OMB≌△ONC.
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7.(角平分线作图、证明)已知:如图,△ABC.
(1)用直尺与圆规作△ABC 的角平分线 AD.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若∠CBE=∠ADC,AF⊥BE 垂足为 F.图中的 EF、BF 相等吗?证明你的结论.
8.(构造对称图形)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,连接 AE.请添加一条线段,使得图
形是一个轴对称图形.(要求:画出示意图,并作出对称轴)
9.(轴对称作图)如图,已知直线 l 及其两侧两点 A、B.
(1)在直线 l 上求一点 O,使到 A、B 两点距离之和最短;
(2)在直线 l 上求一点 P,使 PA=PB;
(3)在直线 l 上求一点 Q,使 l 平分∠AQB.
(1)题的作图步骤是:1. 2. 3.
例举你对称性作图、计算一类的几个题。
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10.(操作题与类比探究)操作实验:
如图,把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称.
所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C.
归纳结论:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等.
根据上述内容,回答下列问题:
思考验证:如图(4),在△ABC 中,AB=AC.试说明∠B=∠C 的理由;
探究应用:如图(5),CB⊥AB,垂足为 B,DA⊥AB,垂足为 A.E 为 AB 的中点,AB=BC,CE⊥BD.
(1)BE 与 AD 是否相等,为什么?
(2)小明认为 AC 是线段 DE 的垂直平分线 ,你认为对吗?说说你的理由;
(3)∠DBC 与∠DCB 相等吗试?说明理由.
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