八年级下册数学同步练习2-7 正方形 湘教版 7页

‎2.7 正方形 要点感知1 有一组邻边相等且有一个角是直角的__________四边形叫作正方形.‎ 预习练习1-1 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )‎ ‎ A.∠D=90° B.AB＝CD C.AD=BC D.BC=CD 要点感知2 正方形的四条边都__________，四个角都是__________.正方形的对角线__________，且互相_________.‎ 预习练习2-1 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16 cm，则DO=_________cm，BO=_________cm，∠OCD=__________.‎ 要点感知3 正方形是中心对称图形，__________是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，__________都是它的对称轴.‎ 预习练习3-1 如图，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.‎ 知识点1 正方形的性质[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有( )‎ ‎ A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 ‎2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )[来源:学。科。网]‎ ‎ A.45° B.55° C.60° D.75°‎ 第2题图 第4题图 ‎3.已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为__________.‎ ‎4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__________.‎ ‎5.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证：AE=CE.‎ 知识点2 正方形的判定 ‎6.下列说法不正确的是( )‎ ‎ A.一组邻边相等的矩形是正方形 ‎ B.对角线相等的菱形是正方形 ‎ C.对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎ D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 ‎7.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()‎ ‎ A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD ‎ B.AD∥BC，∠A=∠C ‎ C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD ‎ D.AO=CO，BO=DO，AB=BC ‎8.如图正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.‎ ‎9.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于( )‎ ‎ A.2 B.3 C.2 D.2‎ ‎ ‎ 第9题图 第10题图 ‎10.如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )‎ ‎ A.n B.n-1 C.()n-1 D.n ‎11.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎ A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④‎ ‎12.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.‎ ‎ ‎ 第12题图 第13题图 ‎13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是__________.‎ ‎14.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.‎ ‎[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎15.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.‎ ‎ （1）求证：AE＝CF；‎ ‎ （2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.‎ ‎16.正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△‎ DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.‎ ‎ (1)求证：EF=FM；‎ ‎ (2)当AE=1时，求EF的长.‎ ‎17.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.‎ ‎ (1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；‎ ‎ (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.‎ ‎18.如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM，垂足分别为点E,F.‎ ‎ (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由.‎ ‎ (2)在(1)中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，为什么？‎ 参考答案 要点感知1 平行 预习练习1-1 D 要点感知2 相等 直角 相等 垂直平分 预习练习2-1 8 8 45°‎ 要点感知3 对角线的交点 以及过每一组对边中点的直线 预习练习3-1 8‎ ‎1.B 2.C 3.4 4.22.5°‎ ‎5.证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABD=∠CBD.‎ 又BE=BE，‎ ‎∴△ABE≌△CBE(SAS).‎ ‎∴AE=CE.‎ ‎6.D 7.C ‎8.证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，‎ ‎∴∠BAE+∠AEB=90°.‎ ‎∵AE⊥BF，垂足为G，[来源:学科网]‎ ‎∴∠CBF+∠AEB=90°.‎ ‎∴∠BAE=∠CBF.‎ 在△ABE与△BCF中，‎ ‎∴△ABE≌△BCF(ASA).‎ ‎∴AE=BF.‎ ‎9.C 10.B 11.B 12.5 13.‎ ‎14.证明：连接MC.‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AD=CD，∠ADM=∠CDM.‎ 又DM=DM，‎ ‎∴△ADM≌△CDM(SAS).‎ ‎∴AM=CM.‎ ‎∵ME∥CD，MF∥BC，‎ ‎∴四边形CEMF是平行四边形.‎ ‎∵∠ECF=90°，‎ ‎∴□CEMF是矩形.‎ ‎∴EF=MC.‎ 又AM=CM，‎ ‎∴AM=EF.‎ ‎15.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABC＝90°.‎ ‎∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°.‎ ‎∴∠ABE＝∠CBF.‎ ‎∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF，‎ ‎∴AE＝CF.‎ ‎ （2）∵BE＝BF，∠EBF＝90°，‎ ‎∴∠BEF＝45°.‎ ‎∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，‎ ‎∴∠GBE＝35°.‎ ‎∴∠EGC＝80°.‎ ‎16.(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，‎ ‎∴DE=DM，∠EDM=90°.‎ ‎∴∠EDF+∠FDM=90°.‎ ‎∵∠EDF=45°，‎ ‎∴∠FDM=∠EDF=45°.‎ 又∵DF=DF，‎ ‎∴△DEF≌△DMF.‎ ‎∴EF=MF.‎ ‎ (2)设EF=x，‎ ‎∵AE=CM=1，‎ ‎∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.‎ ‎∵EB=2，‎ ‎∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2.‎ 即22+(4-x)2=x2，解得x=.‎ ‎∴EF的长为4.‎ ‎17.(1)DE⊥FG，‎ 理由如下：由题意得∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90°，‎ ‎∴∠BDE+∠BED=90°.‎ ‎∴∠GFE+∠BED=90°.‎ ‎∴∠FHE=90°，即DE⊥FG.‎ ‎ (2)∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，‎ ‎∴CB∥GE，CB=GE.‎ ‎∴四边形CBEG是平行四边形.‎ ‎∵∠ABC=∠GEF=90°，‎ ‎∴四边形CBEG是矩形.‎ ‎∵BC=BE，‎ ‎∴四边形CBEG是正方形.‎ ‎18.(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PEMF为矩形.‎ 理由：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠BAM=∠CDM=90°，AB=CD.‎ 又AD=2AB=2CD，AM=DM，‎ ‎∴AM=AB=DM=DC.‎ ‎∴∠AMB=∠DMC=45°.‎ ‎∴∠BMC=90°.‎ 又PE⊥CM，PF⊥BM，‎ ‎∴∠PEM=∠PFM=90°.‎ ‎∴四边形PEMF为矩形.‎ ‎ (2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF为正方形.‎ 理由：由(1)知∠AMB=∠DMC=45°，‎ ‎∴∠ABM=∠DCM=45°.‎ ‎∴∠PBF=∠PCE=45°.‎ 又∠PFB=∠PEC=90°，PB=CP，‎ ‎∴△BPF≌△CPE，‎ ‎∴PE=PF.‎ ‎∴矩形PEMF为正方形.‎