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- 2021-10-27 发布
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13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程,能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
情境引入
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,
两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
A
CB
腰腰
底边
顶
角
底角底角
讲授新课
等腰三角形的性质1一
剪一剪:把一张长方形的纸按图中的红线对折,并剪去
阴影部分(一个直角三角形),再把得到的直角三角形
展开,得到的三角形ABC有什么特点?
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折:△ABC 是轴对称图形吗?它的对称轴
是什么?
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找:把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中
重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
A
C B D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
B CD
猜想与验证
已知:△ABC 中,AB=AC .
求证:∠B=∠C.
证法1:作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中:
AB=AC(已知),
BD=DC(作图),
AD=AD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
应用格式:
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
证法2:作顶角∠BAC的平分线AD,
交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ,
∴∠1=∠2.
在△ABD与△ACD中,
AB=AC(已知),
∠1=∠2(已证),
AD=AD(公共边),
∴ △ABD ≌ △ACD(SAS),
∴ ∠B=∠C.
A
B CD
( (
1 2
证法3:
证明:作底边BC的高AD,交BC于点D.
∵AD⊥BC,
∴ ∠ADB =∠ADC=90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中,
AB=AC(已知),
AD=AD(公共边),
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD(HL),
∴ ∠B=∠C.
A
B CD
A
B C
D
x
⌒
2x⌒
2x ⌒
⌒
2x
例1 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且
BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解析:(1)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关
系,∠BDC与∠C、∠ABC呢?
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
(2)设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °
∴x+2x+2x=180 °,
A
B C
D
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ,
解得x=36 ° .
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x⌒
2x ⌒
⌒
2x
方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外
角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种
等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解
答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x.
如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,
求∠B和∠C的度数.
解:∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB,∠C= ∠DAC
设 ∠C=x,则 ∠DAC=x,
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x,
在△ABC中, 根据三角形内角和定理,得
2x+x+26°+x=180°,
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°, ∠B=2x=77°.
针对训练:
例2 等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角
形的底角的大小是( )
A.65°或50° B.80°或40°
C.65°或80° D.50°或80°
解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是
50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据
三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
A
方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知
一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,
要分两种情况讨论.
等腰三角形的性质2二
建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上,
从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板
底边中点,就说房梁是水平的,你知道为什么吗?
想一想: 刚才的证明除了能得到∠B=∠C 你还能发现什么?
重合的线段 重合的角
A
B D C
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B = ∠C
∠BAD = ∠CAD
∠ADB =∠ADC =90°
性质2 等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的
高互相重合(通常说成等腰三角形的“三线合一”).
A
B CD
( (
1 2
填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.
在△ABC中, AB=AC时,
(1)∵AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____,____= ____.
(2) ∵AD是中线,
∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线,
∴____ ⊥____ ,_____ =_____.
1
2
2 BD CD
AD BC
BD
1
BCAD CD
画出任意一个等腰三角
形的底角平分线、这个
底角所对的腰上的中线
和高,看看它们是否重
合?
A
B C
D
E
F
A
B C
D
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
(X)
(X)
(X)
(X)
(√)
(√)
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC.
(1)如图①,若AD=AE,求证:BD=CE;
(2)如图②,若BD=CE,F为DE的中点,求证:
AF⊥BC.
图②图①
证明:(1)如图①,过A作
AG⊥BC于G.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BG=CG,DG=EG,
∴BG-DG=CG-EG,
∴BD=CE;
(2)∵BD=CE,F为DE的中点,
∴BD+DF=CE+EF,
∴BF=CF.
∵AB=AC,∴AF⊥BC.
图②
图①
G
方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,
有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上
的高、底边上的中线是常见的辅助线.
课堂小结
等腰三角
形的性质
等 边 对 等 角
三 线 合 一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上
的高和中线才有这一性质.而腰
上高和中线与底角的平分线不具
有这一性质.
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