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  • 2021-10-27 发布

八年级上数学课件- 13-1-1 等腰三角形——等腰三角形的性质 课件_人教新课标

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13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程,能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 导入新课 情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边, 两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 讲授新课 等腰三角形的性质1一 剪一剪:把一张长方形的纸按图中的红线对折,并剪去 阴影部分(一个直角三角形),再把得到的直角三角形 展开,得到的三角形ABC有什么特点? 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折:△ABC 是轴对称图形吗?它的对称轴 是什么? A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找:把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中 重合的线段和角. 重合的线段 重合的角   A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A B CD 猜想与验证 已知:△ABC 中,AB=AC . 求证:∠B=∠C. 证法1:作底边BC边上的中线AD. 在△ABD与△ACD中: AB=AC(已知), BD=DC(作图), AD=AD(公共边), ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等). 应用格式: ∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 证法2:作顶角∠BAC的平分线AD, 交BC于点D. ∵AD平分∠BAC , ∴∠1=∠2. 在△ABD与△ACD中, AB=AC(已知), ∠1=∠2(已证), AD=AD(公共边), ∴ △ABD ≌ △ACD(SAS), ∴ ∠B=∠C. A B CD ( ( 1 2 证法3: 证明:作底边BC的高AD,交BC于点D. ∵AD⊥BC, ∴ ∠ADB =∠ADC=90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中, AB=AC(已知), AD=AD(公共边), ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD(HL), ∴ ∠B=∠C. A B CD A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例1 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解析:(1)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关 系,∠BDC与∠C、∠ABC呢? ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A. (2)设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °, A B C D 解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° , 解得x=36 ° . ∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外 角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种 等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解 答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x. 如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°, 求∠B和∠C的度数. 解:∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB,∠C= ∠DAC 设 ∠C=x,则 ∠DAC=x, ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x, 在△ABC中, 根据三角形内角和定理,得 2x+x+26°+x=180°, 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°, ∠B=2x=77°. 针对训练: 例2 等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角 形的底角的大小是(  ) A.65°或50° B.80°或40° C.65°或80° D.50°或80° 解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是 50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据 三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A. A 方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知 一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角, 要分两种情况讨论. 等腰三角形的性质2二 建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上, 从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板 底边中点,就说房梁是水平的,你知道为什么吗? 想一想: 刚才的证明除了能得到∠B=∠C 你还能发现什么? 重合的线段 重合的角   A B D C AB=AC BD=CD AD=AD ∠B = ∠C ∠BAD = ∠CAD ∠ADB =∠ADC =90° 性质2 等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的 高互相重合(通常说成等腰三角形的“三线合一”). A B CD ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空. 在△ABC中, AB=AC时, (1)∵AD⊥BC, ∴∠_____ = ∠_____,____= ____. (2) ∵AD是中线, ∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线, ∴____ ⊥____ ,_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BCAD CD 画出任意一个等腰三角 形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高,看看它们是否重 合? A B C D E F A B C D 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. (X) (X) (X) (X) (√) (√) 例3 已知点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC. (1)如图①,若AD=AE,求证:BD=CE; (2)如图②,若BD=CE,F为DE的中点,求证: AF⊥BC. 图②图① 证明:(1)如图①,过A作 AG⊥BC于G. ∵AB=AC,AD=AE, ∴BG=CG,DG=EG, ∴BG-DG=CG-EG, ∴BD=CE; (2)∵BD=CE,F为DE的中点, ∴BD+DF=CE+EF, ∴BF=CF. ∵AB=AC,∴AF⊥BC. 图② 图① G 方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中, 有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上 的高、底边上的中线是常见的辅助线. 课堂小结 等腰三角 形的性质 等 边 对 等 角 三 线 合 一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不具 有这一性质.