八年级下数学课件八年级下册数学课件《三角形中的垂直平分线》 北师大版 (8)_北师大版 28页

线段的垂直平分线(2) 一 回顾与思考 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一. N A C B P M如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一 点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一. A B P 已知:线段AB,（如图）. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 回顾思考： 用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点A和B为圆心,以大AB/2 长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 想一想：请你说明CD为什么是AB的 垂直平分线,并与同伴进行交流. 特别提示: 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的 中点,所以以后我们经常也会用这种方法 作线段的中点. 二 学习新知 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条 边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线,你发现了什么? 结论:三角形三条边的垂直平分线 相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线. 再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么? 与同伴交流. 结论:三角形三条边的垂直平分线相交 于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 如何证三条直线交于一点？ 命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点. 基本想法是这样的:我们知道,两条直 线相交只有一个交点。要想证明三条直线 相交于一点只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 刚学到的逆定理. 如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交 于点P,连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB . 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一 点. A B C P 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直 平分线的定理以及逆定理的几何语言的表 示方法，你能把这个定理也用几何语言表 示出来吗？ 试一试：你能独立完成这个写作过程吗？ 老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据. 如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条 边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个 顶点的距离相等). A B C P a bc 三 挑战自我 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗? 如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等 吗? 老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规 作出图形. （2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能 用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 例题 已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形. 已知:线段a,h(如图). a h 求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 老师期望:你能独立写出作法. 请你写出作法. 作法: （1）作线段BC=a(如图) （2）作线段BC的垂直平分线m， 交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h （4）连接AB,AC △ABC为所求的等腰三角形 h a B C A D m 已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过 点P． 已知：直线l和l上一点P． 求作：PC⊥ l ． 作法：1、以点P为圆心，以任意长为半 径作弧，与直线l 相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． lP A B C 做一做 四 学以致用 1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的 等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征? 老师提示:先分析,作出示意图形,再按要 求去作图. 2.如图，已知△ABC，求作： （1）AC边上的高；（2）BC边上的高. A B C 老师提示:钝角三角形中三边的高的情况. 五 回顾与小结 定理 三角形三条边的垂直平 分线相交于一点,并且这一 点到三个顶点的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂 直平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且 PA=PB=PC(三角形三条边的 垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距 离相等). A B C P a bc 尺规作图的解题格式(六步骤): 已知: 作法： 求作: 证明： 分析: 讨论： 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相 应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵 循的原则.