冀教版八年级上册数学知识点总结 6页

第十二章分式 1.分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母 对于任意一个分式，分母不能为零，分式有意义 对于任意一个分式，分母为零，分式无意义 4.分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。‎ ‎5.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 ‎6.完全平方公式 a²+2ab+b² = （a+b）² a²-2ab+b²=﹙a-b﹚² 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方 7.常见的恒等变形 如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3= -(y-x)3.‎ ‎8.约分：把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分 ‎9.最简分式：如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式 ‎10.通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 ‎11.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.‎ ‎12分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。‎ 通分的关键:确定几个分式的最简公分母。通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求最简公分母时，首先要因式分解，将所有的表达式都化成积的形式，然后，再定最简公分母.‎ 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根：可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，那么这个根叫分式方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，那么这个根是原分式方程的根；(4)写出方程的解．‎ ‎15、用分式方程解应用题常见的等量关系 ‎ ‎ 一.工程问题 ‎ ‎ 1．工作效率×工作时间＝工作总量     工作总量÷工作效率＝工作时间 ‎ 工作总量÷ 工作时间＝工作效率 ‎ 设工作总量为“1”的公式：   1÷单独完成的工作时间=工作效率；   1÷工作效率=单独完成的工作时间。‎ ‎2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 ‎ 二．营销问题 ‎ ‎1．商品总利润＝商品总售价一商品总成本价 = 商品单件利润×销售量 ‎ ‎2.商品单件利润＝商品单件售价一商品单件成本价  ‎ ‎3．商品利润率＝商品总利润 /商品总成本价 ×100% =商品单件利润 /商品单件成本价 ×100%‎ ‎4．商品销售额＝商品单价×商品销售量   ‎ ‎5、折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)   ‎ ‎ 三．行程问题 ‎ ‎1．路程＝速度×时间，速度＝路程/ 时间 ‎ ‎2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空） ： 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ‎ 逆水速度＝静水速度－水流速度 ‎ 增长率问题 原来量×（1增长率）=现在量 ‎ 第十三章全等三角形 ‎1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ‎2、全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应角相等,对应边相等. (2)全等三角形中的对应线段相等.即对应的角平分线，对应的中线，对应的高线相等。 ‎ 6‎ ‎(3)全等三角形的周长相等,面积也相等. 3.全等三角形的判定: (1)三边对应相等的两个三角形全等;SSS (2)两边及夹角对应相等的两个三角形全等;SAS (3)两角及夹边对应相等的两个三角形全等;ASA (4)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;AAS 口诀：证全等三条件，三个条件要有边。边边边都是边，两边一角是夹角，两角一边是角边角或者角角边。 ◆斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.HL(本判定方法仅适用于直角三角形)‎ ‎4、一个三角形经过平移、旋转、翻折（轴对称）后，得到和它全等的三角形 第十四章实数 ‎1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。‎ 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；互为相反数相加为0；零的平方根是零；负数没有平方根。‎ 正数a的平方根记做“”。‎ ‎2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。‎ 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ ‎ ‎ ‎ ；注意的双重非负性：即 ‎ ‎3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。‎ 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。‎ 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ ‎4、实数的分类 ‎ 正有理数 ‎ 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 ‎ 正无理数 ‎ 无理数 无限不循环小数 ‎ 负无理数 ‎5、无理数 ‎（1）开方开不尽的数，如等；‎ ‎（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，‎ ‎（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；‎ ‎6、绝对值，相反数，倒数 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。实数的绝对值，相反数，倒数的求法和有理数的求法一样 6‎ 7、 ‎ 8、等差数列求和公式：‎ 9. 符号规律 +-+-+-... (-1)n+1 ; -+-+-+... (-1)n 10. 第十五章 二次根式 ‎1、形如（）的式子叫做二次根式。‎ 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，‎ ‎2.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。‎ ‎3. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。‎ ‎4.二次根式（）的双重非负性 ‎（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。‎ ‎5.非负之和为0类型 若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。‎ ‎6.（）‎ 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。‎ ‎7.‎ ‎8.=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．‎ ‎9.最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。‎ 10. 11. 分母有理化是数学上的专有名词，指的是通过适当的变形化去分母中根号的运算。‎ 12. ‎ ‎ 6‎ 第十六章轴对称和中心对称 ‎　　一、轴对称与轴对称图形：‎ ‎　　1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。‎ ‎　　2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。‎ ‎　　注意：对称轴是直线而不是线段 ‎　　3.轴对称的性质：‎ ‎　　(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;‎ ‎　　(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;‎ ‎　　(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;‎ ‎　　(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。‎ ‎　　4.线段垂直平分线：‎ ‎　　(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。‎ ‎　　(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;‎ ‎　　②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ ‎　　注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。‎ ‎　　5.角的平分线：‎ ‎　　(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.‎ ‎　　(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.‎ ‎　　②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.‎ ‎　　注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.‎ ‎　　二、中心对称与中心对称图形：‎ ‎　　1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。‎ ‎　　2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。‎ ‎　　3.中心对称的性质：‎ ‎　　(1)关于中心对称的两个图形是全等形;‎ ‎　　(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;‎ ‎　　(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。‎ ‎　　第十七章特殊三角形 等腰三角形 ‎1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。‎ ‎2. 等腰三角形的性质：‎ ‎（1）等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）‎ ‎（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。‎ ‎3. 等腰三角形的判定：‎ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）‎ ‎4. 等边三角形的性质：‎ 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。‎ ‎5. 等边三角形的判定：‎ 6‎ ‎（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。‎ 等边三角形 ‎（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.‎ ‎（2）等边三角形的性质：‎ ‎①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；‎ ‎②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.‎ ‎（3）等边三角形的判定 ‎①三条边都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；‎ ‎④三个角都相等的三角形是等边三角形.‎ 6. 等边三角形面积公式 ‎ 7. 直角三角形 ‎1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。‎ 通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。‎ 2. ‎“直角三角形两个锐角互余”的性质。‎ 3. ‎“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形。‎ 4. ‎“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。‎ 5. 在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。‎ ‎6.勾股定理及逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.‎ 符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知） ‎ ‎7、勾股定理的应用：‎ ‎（1）已知两边（或两边关系）求第三边；‎ ‎（2）已知一边求另两边关系；‎ ‎（3）证明线段的平方关系；‎ ‎（4）作长为的线段.‎ ‎8、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.‎ ‎9.勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；‎ ‎6、8、10； 5、12、13； 8、15、17， 7,24,25等.‎ 将一组勾股数扩大或者缩小相同的倍数所得仍是勾股数 10. 等腰直角三角形勾股弦三边之比1:1：‎ 6‎ 10. 含30度角的直角三角形的三边之比 11. 直角三角形求斜边的高线公式 勾乘股除以弦 12. 求线段之和最短 6‎