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- 2021-11-01 发布
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22.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1
[来源:学+科+网]
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法;(重点)
2.平行四边形性质定理与判定定理的综合应用.(难点)[来源:学.科.网Z.X.X.K]
一、情境导入
我们已经知道,如果一个四边形是平行四边形,那么它就具有如下的一些性质:
1.两组对边分别平行且相等;
2.两组对角分别相等;
3.两条对角线互相平分.
那么,怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢?当然,我们可以根据平行四边形的原始定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定.那么是否存在其他的判定方法呢?[来源:学.科.网Z.X.X.K]
二、合作探究
探究点一:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知,如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE,四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.
解析:首先根据条件证明△AFD≌△CEB,可得到AD=CB,∠DAF=∠BCE,可证出AD∥CB,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论.
解:四边形ABCD是平行四边形,证明:∵DF∥BE,∴∠AFD=∠CEB,又∵AF=CE、DF=BE,∴△AFD≌△CEB(SAS),∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,∴AD∥CB,∴四边形ABCD是平行四边形.
方法总结:此题主要考查了平行四边形的判定,以及三角形全等的判定与性质,解题的关键是根据条件证出三角形全等.
探究点二:平行四边形的判定定理与性质的综合应用[来源:学科网ZXXK]
【类型一】 利用性质与判定证明
如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接BF、DE,试判断四边形BFDE是什么样的四边形?写出你的结论并予以证明.
解析:(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF;(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE=FC,BE=DF,再利用已知得出△ADE≌△BCF,进而得出DE=BF,即可得出四边形BFDE是平行四边形.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA.∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,∴∠AEB=∠DFC=90°.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(AAS);
(2)解:四边形BFDE是平行四边形,理由如下:∵△ABE≌△CDF,∴AE=FC,BE=DF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB.∴∠DAC=∠BCA.在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,∴DE=BF,∴四边形BFDE是平行四边形.
方法总结:平行四边形对边相等,对角相等,对角线互相平分及它的判定,是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.
【类型二】 利用性质与判定计算
如图,已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°,且CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm.试求此六边形的周长.
解析:由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,联想到它们的邻补角(即外角)均为60°,如果能够组成三角形的话,则必为等边三角形.事实上,设BC、ED的延长线交于点N,则△DCN为等边三角形.由∠E=120°,∠N=60°,可知EF∥BN.同理可知ED∥AB,于是从平行四边形入手,找出解题思路.
解:延长ED、BC交于点N,延长 EF、BA交于点M.∵∠EDC=∠BCD=120°,∴∠NDC=∠NCD=60°.∴∠N=60°.同理,∠M=60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角形.∴∠E+∠N=180°.同理∠E+∠M=180°.∴EM∥BN,EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形.∴BN=EM,MB=EN.∵CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm,∴CN=DN=2cm,AM=FM=5cm.∴BN=EM=8+2=10(cm),MB=EN=8+5=13(cm).∴EF+FA+AB+BC+CD+DE=EF+FM+AB+BC+DN+DE=EM+AB+BC+EN=10+8+8+13=39(cm),∴此六边形的周长为39cm.
方法总结:解此题的关键是作辅助线,将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形,从而利用平行四边形的知识来解决.
三、板书设计
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
[来源:Z§xx§k.Com]
本节课,学习了平行四边形的两种判定方法,对整个课堂的学习过程进行反思,能够促进理解,提高认识水平,从而促进数学观点的形成和发展,更好地进行知识建构,实现良性循环.
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