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  • 2021-11-01 发布

2020人教版八年级上数学第十五章分式单元全套课件

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[ 人教版 ] 八年级年级数学上册优质课件 [ 教育部审定教材 ] RJ· 数学 第五一 章 分 式 目 录 使用说明:点击对应课时,就会跳转到相应章节内容,方便使用。 15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质 15.2.1 分式的乘除 15.2.2 分式的加减 15.2.3 整数指数幂 15.3 分式方程 人教 版 数学 八 年级 上册 15.1 分式 15.1.1 从分数到分式 8÷9 可以写成 分数 ,那么 y ÷ x 可以写成这样的形式吗?假如你认为 可以,那么 这个式子是我们以前学习的整式吗?那它是什么式子呢?通过今天的 学习,我们 会进一步认识它 . 导入新知 2. 能 熟练地求出 分式有意义 、 无意义 及 分式值为零 的条件 . 1. 理解 分式 的概念 . 素养目标 1 . 长方形的面积为 10cm² ,长 为 7cm. 宽应 为 ____cm ;长方形 的面积为 S ,长 为 a ,宽应为 ______ . S a ? 分式的概念 知识点 1 探究新知 2 . 把 体积为 200 cm ³ 的水倒入底面积 为 33 cm ² 的圆柱形容器 中,水面 高度 为 _____ cm ;把 体积为 V 的水倒入底面积为 S 的 圆柱形容器 中,水面 高度为 ____. V S 探究新知 3. 一 艘轮船在静水中的最大航速是 20 千米 / 时,它 沿江以最大船速顺流航行 100 千米所用 时间,与 以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等 . 江水的流速是多少 ? 如果设江水的流速为 v 千米 / 时 . = 最大船速顺流航行 100 千米所用时间 以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间 探究新知 请大家观察式子  和    ,有 什么特点? 它 们 与分数有什么相同点和不同点? 都具有分数的形式 相同点 不同点 ( 观察分母 ) 分母中 有字母 请大家观察式子   和    ,有 什么特点? 说一说 探究新知 一般地,如果 A 、 B 都表示 整式,且 B 中 含有 字母,那么 称 为分 式 . 其 中 A 叫做分式的 分子, B 为分式的分 母 . 类比 分数 、 分式 的概念及表达形式 : 整数 整数 分数 t 整式 ( A ) 整式 ( B ) 类比 ( v–v 0 ) ÷ t = v–v 0 3 ÷ 5 =   被除数 ÷ 除数 = 商数 如 : 被除式 ÷ 除式 = 商式 如 : A 分式 ( ) B 注意: 分式是不同于整式的另一类 式子,且 分母中含有字母是分式的一大特点 . 注意:由于字母可以表示不同的 数,所以 分式比分数更具有 一般性 . 探究新知 分式概念 你能说一说分数与分式的相同 点、不同点 吗? 相同点 分子 分数线 分母 不同点 分数: 分子、 分母 都 为 数字 分式: 分子、分母都为 整式,且 分母中必须含有 字母;分子 中可以不含字母 探究新知 例 1 指 出下列代数式 中,哪些 是 整式,哪些 是分式? 解: 整式 有 分式有 分式的识别 探究新知 素养考点 1 方法总结: 判断一个式子是分式的关键: 分母中含有字母 . 1. 判断 下列各式哪些是 整式,哪些 是分式? 9 x +4 , , , , , 解: 整式 有 9 x +4 , , ; 分式 有 , , . 巩固练习 1 . 分式 的 分母有什么条件限制? 当 B =0 时,分式 无意义 . 当 B ≠ 0 时,分式 有意义 . 2 . 当 = 0 时分子和分母应满足什么条件? 当 A =0 而 B ≠ 0 时,分式 的值为零 . 分式有意义、无意义及分式值为零的条件 知识点 2 探究新知 (2) 当 x 为何值 时,分式 有意义 ? (1) 当 x 为何值 时,分式 无意义 ? 例 2 已知 分式 , ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 当 x ≠–2 时,分式 有 意义 .      ∴ 当 x = –2 时分式 : 解: ( 1 ) 当 分母等于零 时,分式 无意义 . 无意义 . ∴ x = –2 即 x +2=0 素养考点 2 根据分式有意义、无意义的条件求字母的值 探究新知 方法点拨 ① 分式有意义的条件: 分母不为 零 ; ② 分式无意义的条件: 分母为 零 ; ③ 分式的值为零的条件: 分母不为 零,分子 为零 . 探究新知 ( 1 ) 当 x 时,分式 有 意义; ( 2 ) 当 x 时,分式 有 意义; ( 3 ) 当 b 时,分式 有 意义; ( 4 ) 当 x , y 满足关系 时,分式 有意义 . 分母 3 x ≠ 0 , 即 x ≠0 分母 x –1 ≠ 0 , 即 x ≠1 分母 x – y ≠0 ,即 x ≠ y 分母 5 – 3 b ≠0 ,即 b ≠ 2. 完成下列 题目 . 巩固练习 例 3 当 时,分式 的值为零 . x =1 解: 要 使分式的值为 零,只需 分子为零且分母不为 零, ∴ 解得 x =1 . 素养考点 3 根据分式的值为零的条件求字母的值 探究新知 解析 : 由 x 2 –1=0 得 x 2 =1 , ∴ x =± 1 , 又 ∵ x –1 ≠0 即 x ≠ 1 , ∴ x = –1 . 3 . 若分式: 的 值为 0 ,则 (    ) A . x =1 B . x = –1 C . x =±1 D . x ≠1 B 巩固练习 连接中考 1. 若 分式 在 实数范围内有 意义 , 则 实数 x 的取值范围 是 ( ) A. x > – 2 B. x < – 2 C. x = – 2 D. x ≠ – 2 解析: ∵分式 在 实数范围内有 意义, ∴ x +2≠ 0,解 得: x ≠ – 2. 2. 若 分 式 的 值为 0 , 则 x 的值 为 (    ) A.3 B. – 3 C.3或 – 3 D.0 解析: 由分式的值为零的条件得 x – 3=0,且 x +3≠ 0, 解 得 x =3 . D A 巩固练习 1. 列式表示下列各量 . (1) 某 村有 n 个人,耕地 40 公顷,人均 耕地面积为 公顷 . (2) △ ABC 的面积为 S , BC 边长为 a ,高 AD 长 为 . (3) 一 辆汽车行驶 a 千米用 b 小时,它 的平均车速为 千米 / 小时;一 列火车行驶 a 千米比这辆汽车少用 1 小时,它 的平均车速为 千米 / 小时 . 基础巩固题 课堂检测 2. 下列各式 中,哪些 是分式?哪些是整式? 解: 分式 : 整式 : 课堂检测 基础巩固题 3. 完成下列各 题 . (1) 要 使分式 有意义,则 x 的取值范围为  ________ . (2) 当 x = 1时,分式 的值是   . (3) 若 分式 的 值为 0,则 x 的值 为   . x ≠ – 2 – 3 课堂检测 基础巩固题 当 x 取何值 时,分式 有意义? x 取何值 时,分式 的值为 0 ? 解: 时,分式 有 意义; 时,分式 的值为 0. 能力提升题 课堂检测 ( 1 ) y 的值为 0 ; ( 2 ) 分式 无意义 ; ( 3 ) y 的值为 正数; ( 4 ) y 的值为负数 . 已知 , x 取何值 时,满足 : 拓 广探究题 解 : (1) 当 x =1 时, y 的值为 0 ; (2) 当 x = 时,分式 无 意义; (3) 当 或 解得: < x < 1. (4) 当 或 解得: x >1 或 x < x –1 >0 2–3 x >0 x –1 <0 2–3 x <0 x –1 >0 2–3 x <0 x –1 <0 2–3 x >0 课堂检测 ① 如果 A 、 B 表示两个整式,且 B 中含有字母,那么式子 叫做分式 . ② 整式与分式的根本区别在于分母中含有字母 . 分 式 定义 分式有意 义的条件 分式无意 义的条件 B ≠0 B =0 B ≠ 0 , A =0 课堂小结 分式的值为 0 的条件 15.1 分式 15.1.2 分式 的 基本性质 人教 版 数学 八 年级 上册 分数的约分与通分 1. 约分 约 去分子与分母的 最大公约数 ,化为 最简分数 . 2. 通分 先 找分子与分母的 最简 公分母 ,再 使分子与分母同乘 最简 公分母 ,计算 即可 . 如果 把分数换为 分式,又 会如何 呢? 导入新知 温故知新 1. 能 说出 分式的基本性质 . 2. 能 利用分式的基本性质将 分式变形 . 3. 会 用分式的基本性质进行分式的 约分 和 通分 . 素养目标 下列 分数是否 相等?   这些 分数相等的依据是 什么?   分数的基本性质 .   相等 . 分式的基本性质 知识点 1 探究新知 问题1: 分数 的基本性质:     一个分数的 分子、分母 乘 ( 或 除 以 ) 同 一个不为 0 的数, 分数 的值 不变 . 探究新知 你 能叙述分数的基本性质吗? 问 题 2 :   一般 地,对于 任意一个分数 ,有 其中 a , b , c 是数. 你 能用字母的形式表示分数的基本性质 吗? 探究新知 问 题 3 : 分式 的基本性质:    分式的 分子与分母 乘 ( 或 除 以 ) 同 一个不等于 0 的整式 ,分式 的值 不变 . 类比 分数的基本 性质,你 能想出分式有 什么性 质 吗? 探究新知 问 题 4 : 追问 1 如何用式子表示分式的基本 性质? 其中 A , B , C 是整式 . 探究新知 ( 1 ) 分子 、分母应同时做 乘、除法中的同一种运算; ( 2 ) 所乘 ( 或 除 以 ) 的 必须是 同一个整式; ( 3 ) 所乘 ( 或 除 以 ) 的 整式应该 不等于零 . 追问 2   应用分式的基本性质时需要注意 什么? 探究新知 例 1 下列 等式成立 吗?右边 是怎样从左边得到 的? 解 : 1) 成立 . 因 为 所 以 素养考点 1 分式的基本性质的应用 探究新知 2) 成立 . 因 为 所 以 解 : (1) 正确 . 分子分母除以 x ; (2) 不 正确. 分子乘 x ,而 分母没乘; (3) 正确 . 分子分母除 以 ( x - y ) . (1) ( 2 ) ( 3 ) 1. 下列 变形是否 正确?如果正确,说出 是 如何 变形 的?如果 不 正确,说明 理由 . 巩固练习 2. 不 改变分式的 值,使 下列分式的分子和 分母 都不含“ -” 号: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解: 分式 的变号法则: 分式的分子、分母及分式本身的 符号, 改变 其中任意两 个,分式 的值不变 . 巩固练习 填空 : 知识点 2 约分 探究新知   像 这样,根据 分式的基本 性质,把 一个分式的分子与分母的公因式约 去,叫做 分式的 约分 .经过约分后的分式如上例 ,其 分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的 式子,叫做 最简分式 .  观察 上例 中 ( 1 ) 中 的两个分式在变形 前后的 分子、分母有什么 变化?类比 分数的相应 变形,你联想 到 什么? 分式 的分子、分母约去 公因式,值不变 . 探究新知 问 题 5 : 解 : 例 2 约分 : 素养考点 2 约 分的应 用 探究新知 确定公因式的方法: ①如果分式的分子、分母都是 单项式,直接 约去分子、分母的公因式; ②如果分子或分母是 多项式,就要 先对多项式进行 因式分解 ,以便 找出分母、分子的 公因式,最后 约分 . ③ 约分结果为 最简分式 或 整式 . 探究新知 归纳总结 3 . 下列 分式 中,是 最简分式的是 :     ( 填序号 ). ( 2 ) 巩固练习 ( 4 ) 解: 4. 约分 : 巩固练习 通分 知识点 3 探究新知 填空 : 分母乘以 2 abc ,根据 分式的基本 性质,分子 也乘以 2 ac . 分母乘以 3 b ,根据分式的基本性质,分子也乘以 3 b ,整理得 6 ab -3 b 2 像这样,根据 分式的基本 性质,把 几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母 的 分式,叫做 分式的 通分 . 1. 通 分的依据是 什么? 2. 通 分的关键是 什么? 3. 如 何确定 n 个分式的 公分母? 分式 的基本性质: 分式的分子与分母 乘 ( 或 除 以 ) 同 一个不等于 0 的 整式,分式 的值不变 . 确定 各分式的 最简公分母 . 一般 取各分母的所有因式的 最高次幂的积 作公分母 . 探究新知 想一想 解 : ( 1 ) 最 简公分母是 2 a 2 b 2 c . ( 2 ) 最 简公分母 是 ( x + 5)( x - 5) . 例 3 通 分: 素养考点 3 通 分的应 用 探究新知 1. 通 分 的步 骤 ① 确定 最简 公分母 ,② 化 异分母分式 为 同分母分式 . 2. 确定最简公分母的方法 (1) 分母 为单项式:①取各分母系数的 最小公倍数 ,② 相同字母取 次数最高 的 ,③ 单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式 . (2) 分母 为多项式:①把各分母 分解 因式 ,② 把每一个因式看做一个 整体,按 系数 、 相同因式 、 不同因式 这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母 . 探究新知 归纳总结 5 . 通分 : 巩固练习 解 : ( 3 ) 最 简公分母是 (3) , , 巩固练习 连接中考 已知 =3 , 则代数式 的值是 (    ) A . B . C . D . 解析 : ∵ =3,∴ =3,∴ x ﹣ y =﹣3 xy , 则原式 = = = = . D 巩固练习 1. 化 简 的 结果 是 ( ) A . B . C . D . 基础巩固题 D 课堂检测 2. 下列说法 中,错误 的 是 ( ) A. 与 通分 后为 B . 与 通分后 为 与 的最简公分母为 m 2 - n 2 的 最简公分母为 ab ( x - y )( y - x ) D 课堂检测 基础巩固题 1 . 已知 则 的 值 是 ( ) A. B . – C.2 D . – 2 能力提升题 D 课堂检测 2 . 化简: = . x +3 3. 化 简: x - y +1 分式的基本性质 约分 一般 地,对于 任意一个分数 ,有 其中 a , b , c 是数. 通分 课堂小结 15.2 分式 的 运算 15.2.1 分式 的乘除 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 第二课时 第 一 课 时 分式乘除法法 则 通过 前面分式的 学习,我们 知道分式和分数有很多的 相似性,如 基本性质、约分和通分 . 那么在 运算上它们有相似性吗 ? 导入新知 1. 知道 并熟记 分式乘除法法则 . 2. 能 准确地进行 分式的乘除法 的计算 . 素养目标 1. 一 个长方体容器的容积为 V ,底面 的长为 a ,宽 为 b ,当 容器内的水占容积 的 时,水 高多少 ? 解: 长方体 容器的高为 , 水高为 知识点 1 分式的乘除法法则 探究新知 2. 大 拖拉机 m 天耕地 a 公顷,小 拖拉机 n 天耕地 b 公顷,大 拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍 ? 解: 大 拖拉机的工作效 率 是 公顷 / 天, 小 拖拉机 的工作效率 是 公顷 / 天, 大 拖拉机的工作效率是小拖拉机的 工作效率的 ( ) 倍 . 探究新知 和 ,其中涉及到分式的有哪些运算?你能用学过的运算法则求出结果吗? 观察 上述两个问题中所列出的式子    探究新知 【 思考 】 在 计算的过程 中,运 用了分数的什么法则?你能叙述这个法则吗? 如果 将分数换成 分式,那么 你能类比分数的乘除法 法则,说出 分式的乘除法法则吗? 怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢?    3. 计算 : 探究新知 乘法法则: 分式乘 分式,用 分子的积作为积的 分子,分母 的积作为积的分母 . 除法法则: 分式除以 分式,把 除式的分子、分母颠倒位置 后,与 被除式相乘 . 探究新知 分式的乘除法法则 例 1 计算: 2 2 素养考点 1 利用分式的乘除法法则进行单项式的计算 探究新知 2 解法一 : 解法二 : 2 分 式运算的结果通常要化成最简分式或整式 . 探究新知 ① 若分子分母都是 单项式,把 分子分母分别 相乘 ,约 去 公因式,最后 化为 最简分式或整式 ; ②分式 与分式相除 时,按照 法 则 先转 化为 乘法 ,再 运算 . 探究新知 归纳总结 解析: C 巩固练习 1 . 等于 ( ) A. B . C . D . 2 例 2 计算: 当分子分母是多项式 时,先 分解因式便于约分的进行 . 素养考点 2 利用分式的乘除法法则进行多项式的计算 探究新知 一定 要注意符号变化 呦! 探究新知 ① 若 分子分母有 多项式,先 把 多项式分解 因式 ,看 能约分的 先 约分 ,然后 相乘 ; ② 分式 与分式相除 时,一定要 先转 化为 乘法 ,再按照乘法法则运算 . 探究新知 归纳总结 1 1 1 1 1 解: 原式 2. 计算 ( 1 ) 巩固练习 1 1 1 1 ( 2 ) 巩固练习 解: 原式 例 3 “ 丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a m 的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的 部分,“ 丰收 2 号”小麦的试验田是边长 为 ( a –1) m 的 正方形,两 块试验田的小麦都收获了 500kg. ( 1 ) 哪 种小麦的单位面积产量高? ( 2 ) 高 的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 素养考点 3 分式的乘除法法则的实际应用 探究新知 ∵0 < ( a– 1) 2 < a 2 –1 , ∴ “ 丰收 2 号 ” 小麦的单位面积产量高 . ∴ “ 丰收 2 号” 小麦的单位面积产量是 “丰收 1 号” 小麦的单位面积产量的 倍 . ∴ 解 : (1) “ 丰收 1 号”小麦的试验田面积 是 ( a 2 –1)m² ,单位 面积产量 是 kg/m 2 ;“丰收 2 号”小麦的试验田面积 是 ( a –1) 2 m 2 ,单位 面积产量 是 kg/m 2 . (2) 探究新知 第一步,把 线段 AB 三 等分,以 中间的一段为边作 等边三角形,然后 去掉这 一段,就 得到由 4 条长度相等的线段组成的 折线,总长度 为 第二步,把 上述折线中每一条线段重复第一步的 做法,便 得到由长度相等的线段组成的 折线,总长度 为 3. 取一条长度为 1 个单位的线段 AB ,如 图 巩固练习 按照上述方法一步一步地继续进行 下去,在 图中画出了第一步至第五步所得到的折线的形状. 你 觉得第五步得到的折线漂亮吗? 巩固练习 对于 任意一个正整数 n ,第 n 步得到的折线的总长度是多少? 你 能推算出第五步得到的折线的总长度吗? 巩固练习 连接中考 1. 老师 设计了接力 游戏 , 用 合作的方式完成分式化 简 , 规则 是:每人只能看到前一人给的 式子 , 并 进行一步 计算 , 再 将结果传递给下一 人 , 最后 完成化简.过程如图所示: 接力中 , 自己 负责的一步出现错误的 是 ( ) A . 只有 乙 B . 甲 和丁 C . 乙 和丙 D . 乙 和丁 2. 计算 (– a ) 2 • 的 结果 为 (    ) A . b B .– b C . ab D. D A 巩固练习 1 . 化 简 的 结果 是 ( ) A. B. a C. a –1 D . 基础巩固题 B 课堂检测 2. 计算 : =__________________. 3. 计算: 课堂检测 基础巩固题 解 : 原式 解 : 原式 ( 1 ) ( 2 ) 先 化 简 然后从 –1 , 1 , 2 中选取一个数作为 x 的值代入求值 . 解 : ( 1 ) 原式 = 因 为分母 x –1 ≠ 0 , x +1 ≠ 0 , 所 以 x ≠1 且 x ≠ – 1 , 所 以取 x =2 ,所 以 能力提升题 课堂检测 一 条船往返于水路相距 100km 的 A , B 两地 之间,已知水流的 速度是每小时 2km ,船 在静水中的速度是 每小时 x km( x >2) ,那么 船在往返一次过程 中,顺流 航行的时间与 逆流航行 的时间比是 ______. 拓广探索题 课堂检测 分式的乘除法法 则 课堂小结 ① 若分子分母都是 单项式,把 分子分母分别 相乘 ,约 去 公因式,最后 化为 最简分式或整式 ; ②若 分子分母有 多项式,先 把 多项式分解 因式 ,看 能约分的 先 约分 ,然后 相乘 ; ③分式 与分式相除 时,按照 法 则 先转 化为 乘法 ,再 运算 . 注意事项: 第二课 时 分式乘方的运算法则 我们 学习过分数的乘除混合运算,那么分式的乘除混合运算该如何进行呢?分式的乘方又与分数的乘方有何异同呢 ? 导入新知 1. 熟练 掌握 分式的乘除混合运算顺序 和方法 . 2. 掌握 分式乘方的运算法则 ,并能灵活运用法则进行分式乘方的运算 . 素养目标 分式乘除混合运算的计算方法: ( 1) 分式乘除混合运算,先依据分式的乘除法法则,把分式乘除法统一成 乘法 . ( 2) 当分式的分子分母为多项式时,应先进行 因式分解 ,然后约去分子分母的公因式,计算结果应为 最简分式 或 整式 . 分式乘除的混合运算 知识点 1 探究新知 例 1 计算 : 解 : 素养考点 1 分式乘除的混合运算 探究新知 1. 计算: 解: 原式 巩固练习   猜想: n 为正整数时         你 能结合有理数乘方的概念和分式乘法的 法则 写出结果吗? 知识点 2 分式的乘方 探究新知 你能写出推导过程吗?试试看 . 你能用文字语言叙述得到的结论吗?    这就是说 , 分式乘方要把 分子、分母分别乘方 . 即 一般 地,当 n 是正整数时 ,   探究新知 分式的乘方法则 解 : 例 2   计算 :     素养考点 2 分式乘方的运算 归纳总结: 分式的乘方,把分子分母分别乘方,再算积的乘方、幂的乘方 . 也可以先确定符号 ,再把 分子、分母分别乘方 . 探究新知 2. 计算 : 巩固练习 解 : 原式 解 : 原式 解 : 例 3  计算 :    素养考点 3 分式乘方的混合运算 归纳总结 : 分式的混合运算,先算乘方,再算乘除,最后算加减,若有括号先算括号内的 . 探究新知 3 . 计算 : 巩固练习 解 : 原式 解 : 原式 连接中考 1. 计算 (1+ )÷ 的 结果是(  ) A . x +1 B . C . D . 2. 化 简: . 解 : 原式 = = . B 巩固练习 1. 下列计算中,正确的是 ( ) A . B. C . D. 基础巩固题 课堂检测 2. 计算下列各题 . 课堂检测 基础巩固题 先 化简再求值 : ,其中 a = . 当 a = 时 , 能力提升题 课堂检测 计算 . 拓广探索题 课堂检测 分式混合运算 混合 运算 应用 关键是明确运算种类及运算顺序 明确 运算 顺序 1. 同级运算自左向右进行; 2. 运算律可简化运算 明确运算方法及运算技巧 技巧 注意 分式的乘方 分式 乘方的 法则 1. 掌握分式乘方的运算法则 ; 2. 熟练地进行分式乘方的运算 . 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 15.2 分式的运算 15.2.2 分式的加减 第一课时 第二课时 第 一 课 时 分式加减法的法则 你 还记得同分母分数加减法法则 吗?异 分母分数加减法法则又是怎样的 呢?想一想 分式的加减法又应如何去运算 呢? 导入新知 1. 掌握 同分母的分式加减法的 法则 ,能 熟练地进行同分母的分式加减法的运算 . 2. 会 把 异分母的分式 通分 ,转化 成同分母的分式相加减 . 3. 在 学习过程中体会 类比思想 的 运用,学会知识 的迁移 . 素养目标 1. 甲 工程队完成一项工程需 n 天,乙 工程队要比甲工程队多用 3 天才能完成这项 工程,两 队共同工作一天完成这项工程的几分之 几? 解: 甲 工程队一天完成这项工程的 ____ , 乙工程队一天完成这项工程的 _______ , 两队共同工作一天完成这项工程的 ____________. 知识点 1 同分母分式的加减法法则 探究新知 2. 2009 年, 2010 年, 2011 年 某地的森林 面积 ( 单位:公顷 ) 分别 是 S 1 , S 2 , S 3 , 2011 年 与 2010 年相比,森林 面积增长率提高了 多少? 解: 2011 年 的森林面积增长率是 ___________ , 2010 年 的森林面积增长率是 __________ , 2011 年 与 2010 年相比,森林 面积增长率 提高 ____________. 探究新知 1. 同分母分数加减法的法则如何 叙述? 探究新知 2. 你认为 请计算: 分母 不变,把 分子相加减 . 【 同分母的分数加减法的法则 】 同分母的分数相加 减, 【 同分母的分式加减法的法则 】 同分母分式相加 减, 分母 不变,把 分子相加减 . 探究新知 同分母的分式加减法的法则 例 1 计算: 解: 原 式 素养考点 1 同 分母分式的加减的计 算 归纳 总结: 同 分母分式的加 减,分母不变,分子 相加 减,当 分子是多项式 时,先 加 括号,然后 进行 计算,结果 要化为最简分式或整式 . 探究新知 –1 1. 直接说出运算结果 . . . . . 巩固练习 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 2. 计算: 巩固练习 解: 原 式 解: 原 式 ( 1 ) ( 2 ) 异分母的分数如何加 减? 通分, 将 异分母的分数化为同分母的 分数 . 知识点 2 异分母分式的加减法的法则 探究新知 想一想 异 分母分式的加减应该如何 进行? 【 异分母的分数加减法的法则 】 先 通分 ,变为 同分母的 分数, 再 加减 . 【 异分母的分式加减法的法则 】 先 通分 ,变为 同分母的 分式, 再 加减 . 符号 表示: 探究新知 比如: 想一想 例 2 ( 1 ) 素养考点 2 异 分母分式的加减的计 算 归纳 总结 : 异分母分式的加减分为两 步:第一 步 通分 ,化为 同分母分式; 第二步运用 同分母分式的加减法则 计算 . 探究新知 解: 原 式 ( 2 ) a 2 –4 能 分解: a 2 –4 =( a +2)( a –2) , 其中 ( a –2) 恰好 为第二个分式的 分母 ,所以 ( a +2)( a –2 ) 即为最简公分母 . 分子相减 时, “ 减式 ” 要添 括号! 探究新知 解: 原 式 3. 计算: = x + y 巩固练习 解: 原 式 = 解: 原 式 ( 1 ) ( 2 ) 巩固练习 4 . 计算: ( 1 ) ( 2 ) 解 : 原式 解 : 原式 连接中考 1. 计算 , 结果 正确的 是 (    ) A.1 B. x C . D . 2. 化 简 + 结果 是 . A 巩固练习 A. B . C . –1 D . 2 基础巩固题 C C 课堂检测 2. 计算 的结果 为 ( ) 1. 计算 的 结果 为 (    ) A.1 B.3 C. D . 阅读 下面题目的计算过程 . ① =     ② = ③ = ④ ( 1 ) 上述 计算 过程,从 哪一步开始 错误 ?_______ ; ( 2 ) 错误原因 _____ _ ___________ ; ( 3 ) 本题 的正确结果 为: . ② 漏掉了分母 能力提升题 课堂检测 先 化 简: 当 b = –1 时,再从 –2< a <2 的范围内选取一个合适的整数 a 代入求值 . 解 : 原 式 = 在 –2< a <2 中, a 可取的整数 为 –1 , 0 , 1 ,而 当 b =–1 时, ①若 a =–1 ,分式 无意义; ②若 a =0 ,分式 无 意义; ③若 a =1 ,分式 无 意义 . 所以 a 在规定的范围内取 整数,原式 均无 意义 ( 或 所求值不 存在 ). 拓广探索题 课堂检测 分式的加减法 法则 课堂小结 注意事项: ① 若 分子是多项式,则 加上括号 ,然后再加减; ②计算结果一定要化成最简分式或整式 . 第二课 时 分式混合运算 你 还记得分数的四则混合运算顺序 吗?那么想一想,分式 的混合运算是否类似 呢 ? 今天我们再来 探讨 一下! 导入新知 2. 体会 类比方法在研究 分式混合运算 过程 中的重要价值 . 1. 理解 分式混合运算 的顺 序; 会正确进行分式的混合运算. 素养目标 数 的混合运算的顺序是 什么?你 能将 它们推广,得出 分式的混合运算顺序 吗? 分式 的混合运算顺序: “ 从高到低、从左到右、括号从小到大” .    知识点 1 分式的混合运算 探究新知 例 1 计算 :  这 道题的运算顺序是怎样 的?     素养考点 1 较简单的分式的混合运算 探究新知 探究新知 解:   对于不带括号的分式混合运算: ( 1 ) 运算 顺序: 先 乘方,再乘除,然后 加减; ( 2 ) 计算 结果要化为 最简分式. 1. 化简 的 结果 是 ( ) A. a – b B. a + b C. D. B 巩固练习 2. 计算 : = ( ) A. B. C. D . A 例 2 计算 :   素养考点 2 较复杂的分式的混合运算 探究新知 解 : 原式 探究新知 解 : 原式    对于带括号的分式混合运算: ( 1 ) 将 各分式的分子、分母 分解因式 后,再 进行计算; ( 2 ) 先 算 乘方 , 再 算 乘除 , 最后 算加 减 ,若 有 括号, 先 算括号内的 ; ( 3 ) 计算 结果要化为 最简分式或整式 . 探究新知 归纳总结 3 . 用两种方法计算: = 解 : ( 按 运算 顺序 ) 原式 = ( 利用 乘法 分配律 ) 原 式 巩固练习 例 3 根 据规划 设计,某 市工程队准备在开发区修建一条 长 1120 m 的 盲道,由于 采用新的施工 方式,实际 每天修建 盲道的 长度比原计划增加 10 m ,从而 缩短了 工期,假设 原计划 每天 修建盲道 x m ,那么, ( 2 ) 实际 修建这条盲道的工期比原计划缩短了 几天? ( 1 ) 原计划 修建这条盲道需 多少天?实际 修建这条盲道用了 多少天? 解析 : (1) 原计划 修建 需 天, 实际修建需 天 . (2) 实际 修建比原计划缩短了 ( 天 ). 素养考点 3 利用分式的混合运算 解决问题 探究新知 4. 在一段坡 路,小 明骑自行车上坡的速度为每小时 v 1 km ,下坡 时的速度为每小时 v 2 km ,则 他在这段路上、下坡的 平均速度 是 每小时 ( ) A. km B . km C. km D . 无法确 定 C 巩固练习 连接中考 1. 化简 ( a – 1 ) ÷ ( – 1 ) • a 的结果 是 (    ) A .– a 2 B . 1 C . a 2 D .– 1 A 巩固练习 2. 化 简 : . 计算 . 基础巩固题 课堂检测 课堂检测 基础巩固题 先 化 简,再 求值 : 其中 m =2. 解: 当 m =2 代入 其中,得 原 式 =0 .    课堂检测 能力提升题 运 算顺序 : (1) 先乘方,再乘除,然后 加减 . 如果有 括号,先 算括号里面的 . (2) 分式 的加减、乘除都是分式的同级 运算,同级 运算是按从左往右的顺序运算 . 进行分式混合运算时注意 : (1) 正确 运用运算法则 ; (2) 灵活 运用运算律; (3) 运算 结果要化 简,且 注意符号的 处理,使 结果为最简分式或整式 . 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数 指数幂 第一课时 第二课时 第 一 课 时 负整数指数幂 (1) ( m , n 是 正整数 ) (2) ( m , n 是 正整数 ) (3) ( n 是 正整数 ) (4) ( a ≠ 0 , m , n 是 正整数, m > n ) (5) ( n 是 正整数 ) 正整数指数幂有以下运算 性质: 此外,还 学过 0 指数 幂,即 a 0 =1( a ≠ 0) 导入新知 如 果指数是负整数该如何计算 呢? 1. 知道 负整数指数幂 的意义及表示法 . 2. 能 运用分式的有关知识推导 整数指数幂 的意义 . 素养目标 问题 1 将 正整数指数 幂的运算性质中指数的取值范围 由“正整数” 扩大到 “整数” , 这些 性质还适用 吗 ? 知识点 1 整数指数幂 探究新知 问题 2 a m 中指数 m 可以是负整数 吗?如果可以,那么 负整数指数 幂 a m 表示 什么 ? 问题 3 根据 分式的 约分,当 a ≠ 0 时,如何计算 ? 问题 4 如果 把正整数指数 幂的运算 性质 ( a ≠ 0 , m , n 是 正整数, m > n ) 中 的条件 m >n 去掉,即 假设这个性质对于像 的情形 也能 使用,如何计算? a 3 ÷ a 5 = = a 3 ÷ a 5 = a 3-5 = a -2 探究新知 ( 1 ) ( 2 ) 数学 中 规定: 当 n 是正整数 时, 这就是说, 是 a n 的倒数.    由 ( 1 )( 2 ) 想到,若 规定 a -2 = ( a ≠ 0) ,就 能使 a m ÷ a n = a m-n 这条性质也 适用于像 a 3 ÷ a 5 的 情形,因此: 探究新知 1 1 1 填空: ( 1 ) = ____ , = ____ ; ( 2 ) = ____ , = ____ ; ( 3 ) = ____ , = ____ ( b ≠ 0) . 探究新知 做一做 问题 5 引入 负整数指数和 0 指数 后, ( m , n 是 正整数 ) ,这 条性质能否推广到 m , n 是任意 整数 的情形 ? 例如: a 5 · a -6 = a (5-6) = a -1 ( a ≠ 0) 探究新知 问题 6 类似地,你 可以用负整数指数幂或 0 指数幂 对于其他正整数指数幂的运算性质进行 试验,看看这些 性质在整数范围内是否还 适用? 例如: a 0 · a -5 = a 0-5 = a -5 , a -3 · a -7 = a -3+(-7) = a -10 , a -2 ÷ a -5 = a -2-(-5) = a 3 , a 0 ÷ a -4 = a 0-(-4) = a 4 探究新知 (1) ( m , n 是 整数 ) ; (2) ( m , n 是 整数 ) ; (3) ( n 是 整数 ) ; (4) ( m , n 是 整数 ) ; (5) ( n 是 整数 ) . 探究新知 归纳总结 试 说说当 m 分别是正整数、 0 、负整数 时, a m 各表示什么 意义? 当 m 是正整数 时 , a m 表示 m 个 a 相乘 . 当 m 是 0 时, a 0 表示一个数的 n 次方除以这个数的 n 次 方,所以 特别 规定,任何 除 0 以外的实数的 0 次方都是 1. 当 m 是负整数 时, a m 表示 | m | 个 相乘 . 探究新知 例 1   计算:     解 :    素养考点 1 整数指数幂的计算 探究新知 解 :    探究新知 1. 计算 : 解: ( 1 ) 原式 = x 2 y -3 · x -3 y 3 = x 2-3 · y -3+3 = x -1 = ( 2 ) 原式 = a -2 b -4 c 6 ÷ a -6 b 3 = a 4 b -7 c 6 巩固练习 能否 将整数指数幂的 5 条性质进行适当 合并?   根据整数指数幂的运算 性质,当 m , n 为整数 时,         , ,因此, ,即 同底数幂的除法 可以转化 为同底数幂 的乘法 . 特别 地, 所以 , 即商的乘方 可以 转化 为积 的乘方 知识点 2 整数指数幂的性质 探究新知 这样, 整数 指数幂的运算性质 可以归结 为 : ( 1 ) ( m , n 是 整数 ) ; ( 2 ) ( m , n 是 整数 ) ; ( 3 ) ( n 是 整数 ) . 探究新知 故等式正确 . 例 2 下列等式是否 正确?为什么? ( 1 ) a m ÷ a n = a m · a - n ; ( 2 ) 解: ( 1 ) ∵ a m ÷ a n = a m - n = a m +(- n ) = a m · a - n , ∴ a m ÷ a n = a m · a - n . 故 等式正确 . 素养考点 2 整数指数幂的性质的应用 探究新知 ( 2 ) 2. 填空: (-3) 2 ·(-3) - 2 = ( ) ; 10 3 ×10 -2 = ( ) ; a -2 ÷ a 3 = ( ) ; a 3 ÷ a -4 = ( ) . 3. 计算: ( 1 ) 0.1÷0.1 3 ( 2 ) (-5) 2 008 ÷(-5) 2 010 ( 3 ) 10 0 ×10 -1 ÷10 -2 ( 4 ) x -2 · x -3 ÷ x 2 1 10 a 7 巩固练习 连接中考 1. 下列 计算正确的 是 (    ) A . ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 B . a 2 +2 a 2 =3 a 4 C. x 2 y ÷ = x 2 ( y ≠ 0 ) D. ( 2 x 2 ) 3 = 8 x 6 2. 下列计算正确的是 (    ) A. a 2 • a = a 2 B. a 6 ÷ a 2 = a 3 C. a 2 b ﹣2 ba 2 =﹣ a 2 b D.( ) 3 = D C 巩固练习 1. 下列计算正确的 是 ( ) A.3 0 =0 B .-|-3|=- 3 C.3 -1 =-3 D . =±3 2 . 下列 计算 不正确的 是 ( ) A. B. C. D. 基础巩固题 B B 课堂检测 能力提升题 1. 若 0< x <1 ,则 x -1 , x , x 2 的大小关系 是 ( ) A. x -1 < x < x 2 B. x < x 2 < x -1 C. x 2 < x < x -1 D. x 2 < x -1 < x C 课堂检测 2. 计算 . 课堂检测 能力提升题 若 ,试求 的 值 . 拓广探索题 课堂检测 整数指数幂 零指数 幂:当 a ≠0 时, a 0 =1 负整数指数 幂:当 n 是正整数 时, a - n = ( a ≠ 0) 整数指数幂的性质 (1) a m · a n = a m+n ( m , n 为 整数, a ≠ 0) (2)( ab ) m = a m b m ( m 为 整数, a ≠ 0 , b ≠ 0) (3)( a m ) n = a mn ( m , n 为 整数, a ≠ 0) 课堂小结 第 二 课 时 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 通过 上节课的 学习,大家 明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算 性质,这 节课我们来学习运用其性质进行有关计 算及负 整数指数幂在科学记数法中的运用 . 导入新知 2. 了解 负整数指数幂在科学记数法中的运用 . 1. 熟练 应用 整数指数幂的意义及性质 进行综合计算 . 素养目标 对于 一个小于1的正 小数,如果 小数点后至 第 一 个非0数字前有8个 0,用 科学记数法表示这个数 时,10 的指数是 多少?如果 有 m 个0 呢? 用科学记数法表示绝对值小于 1 的小数 知识点 1 探究新知 0 . 1= 0 . 01 = 0 . 001 = = ; 0 . 000 1 = = ; 0 . 000 01 = = . 归纳 : 探究新知 填空: 0 . 000 098 2=9 . 82 × 0 . 000 01= 9 . 82 × 0 . 003 5=3 . 5 × 0 . 001 = 3 . 5 × 如何 用科学记数法表示 0 . 0035 和 0 . 0000982 呢? 观察 这两个 等式,你 能发现 10 的指数与什么有关 呢 ? 对 于一个小于 1 的正 小数,从 小数点前的第一个 0 算起至小数点后第一个非 0 数字前有几个 0 ,用 科学记数法表示这个数 时, 10 的指数就是负几 . 探究新知 ( 1 ) 0.005 0.005 0.005 = 5 × 10 -3 小 数点 原本的位置 小 数点 最 后 的位 置 小 数点 向右 移了 3 位 例 1 用科学记数法表示下列各 数: 素养考点 1 用科学 记数法表示小于 1 的数 探究新知 ( 2 )0.0204 0.02 04 0.0204=2.04×10 -2 小 数点 原本的位置 小 数点 最 后 的位置 小 数点 向右 移了 2 位 探究新知 ( 3 )0.00036 0.0003 6 0.000 36=3.6×10 -4 小 数点 原本的位置 小 数点 最 后 的位置 小 数点 向右 移了 4 位 探究新知 解: ( 1 ) 0.3= 3×10 -1 ;    ( 2 ) - 0.000 78= -7.8×10 -4 ;    ( 3 ) 0.000 020 09= 2.009×10 -5 . 1. 用 科学记数法表示下列各 数: ( 1 ) 0.3 ; ( 2 ) - 0.000 78 ; ( 3 ) 0.00002009 . 巩固练习 素养考点 2 科学记数法有关计算 例 2 计 算下列各 题: ( 1 ) ( - 4×10 - 6 ) ÷ ( 2 × 10 3 ) ( 2 ) (1.6×10 -4 ) × (5×10 -2 ) 方法 总结: 科学 记数法的有关 计算,分别 把前边的数进行 运算, 10 的幂进行 运算,再 把所得结果相乘 . 解: ( 1 ) ( - 4×10 - 6 ) ÷ ( 2 × 10 3 ) =(-4÷2)(10 -6 ÷10 3 ) =- 2×10 -9 探究新知 ( 2 ) (1.6×10 -4 ) × (5×10 -2 ) =( 1.6×5) × (10 -4 ×10 -2 ) = 8×10 -6 2 . 计算 : ( 1 ) ( 2 ×10 - 6 ) × ( 3 .2× 10 3 ) ( 2 ) ( 2 ×10 - 6 ) 2 ÷ ( 10 - 4 ) 3 解: ( 1 ) ( 2 ×10 - 6 ) × ( 3 .2× 10 3 ) = (2×3.2) × (10 -6 ×10 3 ) =6.4×10 -3 巩固练习 ( 2 ) ( 2×10 -6 ) 2 ÷ ( 10 -4 ) 3 =( 4×10 -12 ) ÷ 10 -12 = 4×10 -12-(-12 ) =4×10 0 =4×1 =4 例 3 纳米 (nm) 是 非常小的长度 单位, 1 nm=10 –9 m ,把 1 nm 的物体放到乒乓球 上,就 如同把乒乓球放到地球 上, 1 mm 3 的空间可以放多少个 1 nm 3 的 物体? ( 物体 之间间隙忽略 不计 ) 解: 1 mm=10 - 3 m , 1 nm=10 - 9 m. (10 - 3 ) 3 ÷ (10 - 9 ) 3 = 10 - 9 ÷ 10 - 27 = 10 18 , 1 mm 3 的空间可以放 10 18 个 1 nm 3 的物体 . 素养考点 3 利用科学记数法解答实际问题 探究新知 3. 某种大肠杆菌的半径是 3.5×10 -6 m ,一 只苍蝇携带 这种细菌 1.4×10 3 个 . 如果把这种细菌近似地看成 球状,那么这 只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少 立方米? ( 结果 精确到 0.001 ,球 的体积公式 V = π R 3 ) 解: 每个 大肠杆菌的体积 是 · π ·(3.5×10 -6 ) 3 ≈1.796×10 -16 ( m 3 ) , 总 体积 = 1.796×10 -16 ×1.4×10 3 ≈2.514×10 -13 ( m 3 ). 答: 这 只苍蝇共携带大肠杆菌的总体积是 2.514×10 -13 m 3 . 巩固练习 目前 世界上能制造的芯片最小工艺水平是5 纳米 , 而 我国能制造芯片的最小工艺水平是16 纳米 , 已知 1纳米=10 ﹣9 米 , 用 科学记数法将16纳米表示为  ______ __ _____ 米 . 连接中考 1.6×10 ﹣8 巩固练习 基础巩固题 课堂检测 1. 斑 叶兰被列为国家二级保护植物 , 它 的 一 粒 种子重约 0.000 000 5 克将 0. 000 000 5 用科学记数法表示为 (  ) A.5×10 7 B.5 × 10 -7 C.0.5 × 10 -6 D.5 × 10 -6 B 2. 用 科学记数法表示下列各 数: ( 1 ) 0.001 = ; ( 2 ) - 0.000001 = ; ( 3 ) 0.001357 = ; ( 4 ) - 0.000504 = . 基础巩固题 课堂检测 3. 下列是用科学记数法表示的 数,试 写出它的原数 . ( 1 ) 4.5×10 -8 = ; ( 2 ) - 3.14×10 -6 = ; ( 3 ) 3.05×10 -3 = . 0.000000045 -0.00000314 -0.00305 课堂检测 基础巩固题 计算 ( 结果 用科学记数法 表示 ). ( 1 ) (6×10 -3 )×(1.8×10 -4 ) ; ( 2 ) (1.8×10 3 )÷(3×10 -4 ). 解: 原式 = 1.08×10 -6 解: 原式 = 0.6×10 7 =6×10 6 课堂检测 能力提升题 一 根约为 1 米长、直径为 80 毫米的光纤预制 棒,可 拉成至少 400 公里长的光纤 . 试问: 1 平方厘米是这种光纤的横截面积的多少 倍? ( 用 科学记数法表示且保留一位 小数 ) 解: 这种 光纤的横截面积为 1÷(1.256×10 -4 ) ≈ 8.0×10 3 答 : 1 平方厘米是这种光纤的横截面的 8.0×10 3 倍 . 拓广探索题 课堂检测 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 绝对值 小于 1 的数用科学记数法表示为 a ×10 - n 的 形式, 1 ≤│ a │ < 10 , n 为原数第 1 个不为 0 的数字前面所有 0 的 个数 ( 包括 小数点前面那个 0). 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 15.3 分式方程 第一课时 第二课时 第一课时 分式方程 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 km/h, 它沿江以最大航速顺流航行 100 km 所用时间 , 与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等 , 江水的流速为多少 ? 解 : 设江水的流速为 v km/h , 根据 题意,得 导入新知 这样 的方程与以前学过的方程一样 吗 ? 1. 了解 分式方程 的概念. 2. 会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程,体会 化归思想 和 程序化思想 . 素养目标 3 . 了解解分式方程 根 需要进行 检验 的原因. 为要解决导入中 的问题,我们得到了 方程 . 仔细 观察这个方程,未知数的位置有 什么特点? 分式方程的概念 探究新知 知识点 1   方程             与 上面的方程有什么共同特征? 追问 1 : 分母中都含有未知数 . 分式方程 的概念:     分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . 分式方程的特征 : 分母 中含有未知数 . 注意 : 我们 以前学习的方程都是整式方程,它们的 未知数不在 分母中 . 探究新知 你 能再写出几个分式方程吗?   追问 2 : 1. 下列 式子中,属于分式方程的是 ,属于 整式方程的是   (填序号). ( 2 ) ( 1 ) 巩固练习 ( 3 ) 总结 :   这些解法的共同特点是 先去分母 ,将分式方程转化为 整式方程 ,再解整式方程 . 你 能试着解分式方程 吗? 解分式方程 探究新知 知识点 2 问题 1 : 这些 解法有什么共同特点? 问题 2 : ( 1 )如何把分式方程转化为整式方程呢? ( 2 )怎样去分母? ( 3 )在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个 分母都 约去呢? ( 4 )这样做的依据是什么? 探究新知 想一想 ( 1 )分母中含有未知数的方程,通过 去分母 就化为 整式 方程了. ( 2 )利用等式的 性质 , 可以 在方程两边都乘同一个 式子 —— 各分母的 最简公分母 . 探究新知 归纳总结 例   解分式方程 即 解得 则得到, 方程 两边 同乘各分母的最简公分母 探究新知 你 得到的解 是分式方程 的解吗?    检验: 把 v =6 代入分式方程得: 左边 = 右边 = 左边 = 右边 ,所 以 v =6 是原方程的解 . 探究新知 追问: 解 分式方程:      是原分式方程 变形 后的 整式方程的解 ,但 不是 原 分式方程的解. 探究新知 问题 3 : 你 得到的解 是分式方程 的解吗?该如何验证呢?   追问 1 : 上面 两个分式方程的求解过程中,同样 是 去 分母将分式方程化为整式方程 ,为什么整式方程 的 解 是分式方程 的解,而整式 方程 x + 5=10 的 解   却不是分式方程  的解? 探究新知 追问 2 : 原因 :    在去分母的过程中,对原分式方程进行了变形, 而这种 变形是否引起分式方程解的变化,主要取决于所 乘的 最简公分母是否为 0 . 检验 的方法主要有两种 : ( 1 )将整式方程的解 代入原分式方程 ,看 左右两边 是否 相等 ; ( 2 )将整式方程的解代入 最简公分母 ,看 是否为 0 . 探究新知 显然,第 2 种方法比较简便! 回顾 解分式方程 与 的过程,你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗?解分式方程应该注意什么 ? 探究新知 问题 4 : 基本思路 : 将 分式方程化为整式 方程 . 一般 步骤 : ( 1 )去分母 ;( 2 )解整式方程 ;( 3 )检验. 注意 : 由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程 的解,所以需要检验. 2. 指出 下列方程中各分母的最简分母,并写出去分母后得到的整式方程 . ① ② 解: ①最简公分母 2 x ( x +3) , 去分母得 x +3=4 x ; ②最简公分母 x 2 –1 , 去分母得 2 ( x +1 ) =4 ; 巩固练习 例 1   解下列方程: 解分式方程 解: 方程的两边同乘 以 x ( x –2) , 得 2 x =3 x –6 解 得: x =6 检验 :当 x =6 时 , x ( x –2 ) ≠ 0. 所以 ,原方程的解是 x =6. 探究新知 素养考点 1 3 . 解下列方程: 解: 方程的两边同乘以 2 x ( x +3) , 得 ( x +3)=4 x 解 得: x = 1 检验 :当 x =1 时, 2 x ( x +3 )≠ 0. 所以 ,原方程的解是 x =1. 巩固练习 例 2 解方程  解 : 方程 两边同乘 得 = 3. 化 简,得 =3. 解 得 =1. 检验:当 = 1 时 , =0 , 因此 x = 1 不是原 分式方程的解 , 所以原 分式方程无解 . 解含有整式项的分式方程 探究新知 素养考点 2 解分式方程的一般步骤 : 1. 在方程的两边都乘 最简公分母 ,约去分母,化成 整式方程 . 2. 解这个整式方程 . 3. 把整式方程的解代入 最简公分母 ,如果最简公分母的值 不为 0 , 则整式方程的解是原分式方程的解; 否则 ,这个解不是原分式方程的解,必须舍去 . 4. 写出原方程的解 . 解分式方程的思路: 分式方程 整式方程 去分母 一化二解三检验 探究新知 解分式方程的一般步骤 : 探究新知 归纳总结 分式方程 整式方程 x=a x=a 是分式方程的解 x=a 不是分式方程的解 最简公分母不为 0 最简公分母为 0 去分母 解整式方程 检验 4. 解分式方程 时,去分母 后得到 的整式方程是( ) A. 2( x –8 )+ 5 x =16( x –7 ) B. 2( x –8 )+5 x =8 C. 2( x –8)–5 x =16( x –7 ) D. 2( x –8)–5 x =8 解析: 原方程可以变形 为 , 两边都乘以 2 ( x –7 ) 得 2( x –8 ) +5 x =8×2( x –7 ), 即 2( x –8 ) +5 x =16( x –7) . A 巩固练习 易错易混点拨 : (1) 去分母时,原方程的整式部分漏乘. (2) 约去分母后,分子是多项式时, 没有添括号. ( 因分数线有括号的作用) (3) 把整式方程的解代入最简公分母后的值为 0 ,不舍掉 . 探究新知 方法点拨 连接中考 1. 分式方程 =1的解是(  ) A. x =1 B. x = – 1 C. x =3 D. x = – 3 A 2. 关于 x 的分式方程 解为 x =4,则常数 a 的值为(  ) A. a =1 B. a =2 C. a =4 D. a =10 D 巩固练习 1. 若 关于 x 的分式方程 的 解为 x =2, 则 m 的值为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 B 基础巩固题 课堂检测 2. 方程 的解为(  ) A . x =–1 B . x =0 C . x = D . x =1 D 课堂检测 基础巩固题 已知 关于 x 的方程 有增根,求该方程的增根和 k 的值 . 解: 去分母,得 3 x +3– ( x –1 ) = x 2 + kx , 整 理,得 x 2 + ( k –2 ) x –4=0 . 因为有增根,所以增根为 x =0 或 x =1. 当 x =0 时,代入方程 得 –4=0 ,所 以 x =0 不是方程的增根; 当 x =1 时,代入方程,得 k =5 ,所 以 k =5 时 , 方程 有增根 x =1. 能力提升题 课堂检测 解方程 : 拓广探索题 课堂检测 解 :方程可化为: 课堂检测 得 解 得 x =–3 , 经检验: x = – 3 是原方程的根 . 课堂小结 解分式方程 整式方程 x=a x=a 是分式方程的解 x=a 不是分式方程的解 最简公分母不为 0 最简公分母为 0 去分母 解整式方程 检验 分式方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做 分式方程 . 第二课 时 列分式方程解应用题 1. 解分式方程的一般 步骤 . ( 1) 在方程的两边都乘以 最简公分母 ,约去分母,化成 整式方程 . ( 2) 解这个整式方程 . ( 3) 把整式方程的根代入 最简公分母 ,看结果是不是为零,使 最简公分母为零的根是原方程的增根 ,必须舍去 . ( 4) 写出原方程的根 . 利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗? 导入新知 素养目标 1. 能找出实际问题中的 等量关系 ,熟练地列出相应的方程 . 2. 会解含有字母系数的 分式方程 . 3 . 知道列方程解应用题为什么必须 验根 ,掌握解题的基本步骤和要求 . 甲 、乙两人做某种机器零件,已知甲每小时比乙多做 6 个,甲做 90 个零件所用的时间和乙做 60 个零件所用的时间相等,求甲、乙每小时各做多少个零件? 请审题分析题意 设元 列分式方程解应用题的步骤 探究新知 知识点 1 解: 设甲每小时做 x 个零件,则乙每小时做( x –6 )个零件,依题意得: 经 检验 , x =18 是原分式方程的解 , 且符合题意 . 答: 甲每小时做 18 个,乙每小时做 12 个 . 由 x = 18, 得 x –6=12 解得 探究新知 列分式方程解应用题的一般 步骤: 1 . 审 : 分析题意 , 找出数量关系和相等关系 . 2 . 设 : 选择恰当的未知数 , 注意单位统一 . 3 . 列 : 根据数量和相等关系 , 正确列出方程 . 4 . 解 : 解这个分式方程 . 5 . 验 : 检验 . 既要检验所 求 的 解是不是 分式 方程 的解,又要检验是否 符 合 实际意义 . 6 . 答 : 注意单位和语言完整 . 探究新知 归纳总结 例 1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成 . 哪个队的施工速度快 ? 分析 : 甲队 1 个月完成总工程的 , 设乙队 如果单独 施工 1 个月完成总工程的 , 那么甲 队半个月 完成总工程的 _____, 乙队半个月 完成 总工程的 _____, 两队半个月完成总工 程的 _______ . 利用分式方程解答工程问题 探究新知 素养考点 1 解 : 设乙队如果单独施工 1 个月完成总工程的 . 依题意得 方程两边同乘 6 x , 得 2 x + x +3=6 x , 解得 x =1 . 检验 : x =1 时, 6 x ≠0, x =1 是原分式方程的 解 . 探究新知 答: 由上可知 , 若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务 , 而 甲队 1 个月完成总工程的 , 可知乙队施工速度快 . 1 . 为了 提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投放市场,现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况,获得如下信息: 信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天; 信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍 . 根据 以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品? 巩固练习 解: 设甲工厂每天加工 x 件产品,则乙工厂每天加工 1.5 x 件产品,依题 意得 , 解 得: x =40 . 经 检验 x =40 是原方程的解,所以 1.5 x =60. 答: 甲工厂每天加工 40 件产品,乙工厂每天加工 60 件产品 . 巩固练习 s km 所用的 时间 为 h ;提速 后列车的平均速度为 km/h ,提速后列车 运行 km ,所 用时间 为 h. 根据行驶时间的等量关系可以 列出方程 : 例 2 某列车平均提速 v km/h ,用相同的时间,列车提速前行驶 s km ,提速后比提速前多行驶 50 km ,提速前列车的平均速度为多少? x x + v s +50 = s 解 : 设 提速前列车的平均速度为 x km/h ,则 提速前列车行驶 ( s +50 ) x + v s +50 利用分式方程解答行程问题 探究新知 素养考点 2 ( x + v ) 去分母得: s ( x + v )= x ( s +50) 去括号, 得 sx + sv = sx +50 x . 移项、合并同类项, 得 50 x = xv . 解 得 检验 :由于 v , s 都是正数, 时, x ( x + v )≠ 0 , 是 原分式方程的解 . 答: 提速前列车的平均速度 为 km/h . 探究新知 2. 八 年级学生去距学校 s km 的博物馆参观 ,一部分 学生骑自行车先走,过了 t h 后 ,其余学生 乘汽车 出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是 学生 骑车速度的 2 倍,求学生骑车的速度. 解: 设学生骑车的速度是 x km/h ,由题意得, 方程两边同乘 2 x ,得 2 s – s =2 tx . 解得 x = .   巩固练习 检验:由于 s , t 都是正数, x = 时, 2 x ≠0 , 所以, x = 是 原分式方程的解,且符合题意 . 答: 学生骑车的速度 是 km/h .   例 3 关于 x 的 方程 无 解 , 求 k 的值 . 利用分式方程的根求字母的值或取值范围 探究新知 解: 方程的两边同时乘 ( x +3)( x –3 ) 得 x +3+ kx –3 k = k +3 整理 得 : ( k +1) x =4 k , 因为 方程无解 , 则 x =3 或 x = –3 当 x =3 时 ,( k +1) ·3=4 k , k =3 , 当 x = –3 时 ,( k +1 )(–3 )=4 k , 所以 当 k =3 或 时 , 原分式方程无解 . 素养考点 3 3. 如果关于 x 的方程 无 解 , 则 m 的值等于 ( ) A . –3 B. –2 C . –1 D. 3 B 解析 : 方 程的两边都 乘 x –3 , 得 2= x –3– m , 移项并合并同类项得 , x =5+ m ,由于方程无解 , 此时 x =3, 即 5+ m =3 , ∴ m = –2. 巩固练习 连接中考 甲 、乙两船从相距300km的 A 、 B 两地同时出发相向而行,甲船从 A 地顺流航行180km时与从 B 地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为 x km/h,则求两船在静水中的速度可列方程为(  ) A . B . C . D . A 巩固练习 1 . 下列方程中属于分式方程的有 ( ) ; 属于一元分式方程的有 ( ) . ① ② ③ ④ x 2 + 2 x –1=0 ① ① 基础巩固题 课堂检测 ③ 2. 解方程 : 得 : ( x –1 ) +2 ( x +1 ) =4 ∴ 原方程无 解 . ∴ x =1 检验:当 x =1 时 , ( x +1 )( x –1 ) =0 , 所以 x =1 不是原方程的 根 . 解: 方程两边都乘以最简公分母 课堂检测 基础巩固题 某 公司购买了一批 A 、 B 型芯片,其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少9元,已知该公司用3120元购买 A 型芯片的条数与用4200元购买 B 型芯片的条数相等. (1)求该公司购买的 A 、 B 型芯片的单价各是多少元? (2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6280元,求购买了多少条 A 型芯片? 能力提升题 课堂检测 解 : (1)设 B 型芯片的单价为 x 元/条,则 A 型芯片的单价为( x – 9 )元/条, 根 据 题意得: , 解 得: x =35 ,经检验, x =35是原方程的解, ∴ x – 9=26 . 答 : A 型芯片的单价为26元/条, B 型芯片的单价为35元/条. ( 2)设购买 a 条 A 型芯片,则购买( 200 – a )条 B 型芯片, 根 据题意得: 26 a +35(200 – a )=6280, 解 得: a =80 . 答 : 购买了80条 A 型芯片. 课堂检测 某 镇道路改造工程 , 由甲、乙两工程队合作 20 天可完成 . 甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用 30 天完成此项工程 . (1) 求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天 ? (2) 若甲 工程队单独 做 a 天后 , 再由甲、乙两工程队合作 ____ 天 ( 用含 a 的代数式表示 ) 可完成此项工程 ; (3) 如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元 , 乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元 , 甲工程队至少要单独施工多少天后 , 再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程 , 才能使施工费不超过 64 万元 ? 拓广探索题 课堂检测 解 :(1) 设乙单独做 x 天完成此项工程 , 则甲单独做 ( x +30) 天完成此项工程 . 由 题意得 : 20( )= 1 整 理得 x 2 –10 x –600=0 , 解 得 x 1 =30, x 2 = –20 . 经 检验 : x 1 =30, x 2 =–20 都是分式方程的解 , 但 x 2 =–20 不符合题意舍去 . x +30=60 . 答 : 甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要 60 天, 30 天 . 课堂检测 (2) 设甲单独做 a 天后 , 甲、乙再合作 ( 20– ) 天 , 可以完成此项 工程 . (3) 由题意得 1× a +(1+2.5)( 20– )≤64 解 得 a ≥36 答 : 甲工程队至少要单独做 36 天后 , 再由甲、乙两队合作完成 剩下 的工程 , 才能使施工费不超过 64 万元 . 课堂检测 步骤 1. 审 ; 2 . 设 ; 3 . 列 ; 4. 解 ; 5 . 验 ; 6. 答 . 应用 工程问题:工作量 = 工作效率×工作时间 行程问题:路程 = 速度×时间 列分式方程解应用题 课堂小结