- 7.10 MB
- 2021-11-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
[
人教版
]
八年级年级数学上册优质课件
[
教育部审定教材
]
RJ·
数学
第五一
章
分 式
目 录
使用说明:点击对应课时,就会跳转到相应章节内容,方便使用。
15.1.1
从分数到分式
15.1.2
分式的基本性质
15.2.1
分式的乘除
15.2.2
分式的加减
15.2.3
整数指数幂
15.3
分式方程
人教
版 数学
八
年级 上册
15.1
分式
15.1.1
从分数到分式
8÷9
可以写成
分数
,那么
y
÷
x
可以写成这样的形式吗?假如你认为
可以,那么
这个式子是我们以前学习的整式吗?那它是什么式子呢?通过今天的
学习,我们
会进一步认识它
.
导入新知
2.
能
熟练地求出
分式有意义
、
无意义
及
分式值为零
的条件
.
1.
理解
分式
的概念
.
素养目标
1
.
长方形的面积为
10cm²
,长
为
7cm.
宽应
为
____cm
;长方形
的面积为
S
,长
为
a
,宽应为
______
.
S
a
?
分式的概念
知识点
1
探究新知
2
.
把
体积为
200
cm
³
的水倒入底面积
为
33
cm
²
的圆柱形容器
中,水面
高度
为
_____
cm
;把
体积为
V
的水倒入底面积为
S
的
圆柱形容器
中,水面
高度为
____.
V
S
探究新知
3.
一
艘轮船在静水中的最大航速是
20
千米
/
时,它
沿江以最大船速顺流航行
100
千米所用
时间,与
以最大航速逆流航行
60
千米所用的时间相等
.
江水的流速是多少
?
如果设江水的流速为
v
千米
/
时
.
=
最大船速顺流航行
100
千米所用时间
以最大航速逆流航行
60
千米所用的时间
探究新知
请大家观察式子
和
,有
什么特点?
它
们
与分数有什么相同点和不同点?
都具有分数的形式
相同点
不同点
(
观察分母
)
分母中
有字母
请大家观察式子 和
,有
什么特点?
说一说
探究新知
一般地,如果
A
、
B
都表示
整式,且
B
中
含有
字母,那么
称 为分
式
.
其
中
A
叫做分式的
分子,
B
为分式的分
母
.
类比
分数
、
分式
的概念及表达形式
:
整数
整数
分数
t
整式
(
A
)
整式
(
B
)
类比
(
v–v
0
)
÷
t
=
v–v
0
3 ÷ 5 =
被除数
÷
除数
=
商数
如
:
被除式
÷
除式
=
商式
如
:
A
分式
( )
B
注意:
分式是不同于整式的另一类
式子,且
分母中含有字母是分式的一大特点
.
注意:由于字母可以表示不同的
数,所以
分式比分数更具有
一般性
.
探究新知
分式概念
你能说一说分数与分式的相同
点、不同点
吗?
相同点
分子
分数线
分母
不同点
分数:
分子、
分母
都
为 数字
分式:
分子、分母都为
整式,且
分母中必须含有
字母;分子
中可以不含字母
探究新知
例
1
指
出下列代数式
中,哪些
是
整式,哪些
是分式?
解:
整式
有
分式有
分式的识别
探究新知
素养考点
1
方法总结:
判断一个式子是分式的关键:
分母中含有字母
.
1.
判断
下列各式哪些是
整式,哪些
是分式?
9
x
+4
,
,
,
,
,
解:
整式
有
9
x
+4
,
,
;
分式
有
,
,
.
巩固练习
1
.
分式 的
分母有什么条件限制?
当
B
=0
时,分式
无意义
.
当
B
≠
0
时,分式
有意义
.
2
.
当
=
0
时分子和分母应满足什么条件?
当
A
=0
而
B
≠
0
时,分式
的值为零
.
分式有意义、无意义及分式值为零的条件
知识点
2
探究新知
(2)
当
x
为何值
时,分式
有意义
?
(1)
当
x
为何值
时,分式
无意义
?
例
2
已知
分式
,
(
2
)
由
(
1
)
得
当
x
≠–2
时,分式
有
意义
.
∴
当
x
=
–2
时分式
:
解:
(
1
)
当
分母等于零
时,分式
无意义
.
无意义
.
∴
x
=
–2
即
x
+2=0
素养考点
2
根据分式有意义、无意义的条件求字母的值
探究新知
方法点拨
①
分式有意义的条件:
分母不为
零
;
②
分式无意义的条件:
分母为
零
;
③
分式的值为零的条件:
分母不为
零,分子
为零
.
探究新知
(
1
)
当
x
时,分式
有
意义;
(
2
)
当
x
时,分式
有
意义;
(
3
)
当
b
时,分式
有
意义;
(
4
)
当
x
,
y
满足关系
时,分式
有意义
.
分母 3
x
≠
0
,
即
x
≠0
分母
x
–1
≠
0
,
即
x
≠1
分母
x
–
y
≠0
,即
x
≠
y
分母
5
–
3
b
≠0
,即
b
≠
2.
完成下列
题目
.
巩固练习
例
3
当
时,分式
的值为零
.
x
=1
解:
要
使分式的值为
零,只需
分子为零且分母不为
零,
∴
解得
x
=1
.
素养考点
3
根据分式的值为零的条件求字母的值
探究新知
解析
:
由
x
2
–1=0
得
x
2
=1
,
∴
x
=±
1
,
又
∵
x
–1
≠0
即
x
≠
1
,
∴
x
= –1
.
3
.
若分式:
的
值为
0
,则
(
)
A
.
x
=1
B
.
x
= –1
C
.
x
=±1
D
.
x
≠1
B
巩固练习
连接中考
1.
若
分式
在
实数范围内有
意义
,
则
实数
x
的取值范围
是
(
)
A.
x
>
–
2
B.
x
<
–
2
C.
x
=
–
2
D.
x
≠
–
2
解析:
∵分式
在
实数范围内有
意义,
∴
x
+2≠
0,解
得:
x
≠
–
2.
2.
若
分
式
的
值为
0
,
则
x
的值
为
(
)
A.3
B.
–
3
C.3或
–
3
D.0
解析:
由分式的值为零的条件得
x
–
3=0,且
x
+3≠
0,
解
得
x
=3
.
D
A
巩固练习
1.
列式表示下列各量
.
(1)
某
村有
n
个人,耕地
40
公顷,人均
耕地面积为 公顷
.
(2)
△
ABC
的面积为
S
,
BC
边长为
a
,高
AD
长
为
.
(3)
一
辆汽车行驶
a
千米用
b
小时,它
的平均车速为 千米
/
小时;一
列火车行驶
a
千米比这辆汽车少用
1
小时,它
的平均车速为 千米
/
小时
.
基础巩固题
课堂检测
2.
下列各式
中,哪些
是分式?哪些是整式?
解:
分式
:
整式
:
课堂检测
基础巩固题
3.
完成下列各
题
.
(1)
要
使分式
有意义,则
x
的取值范围为
________
.
(2)
当
x
=
1时,分式
的值是
.
(3)
若
分式
的
值为
0,则
x
的值
为
.
x
≠
–
2
–
3
课堂检测
基础巩固题
当
x
取何值
时,分式
有意义?
x
取何值
时,分式
的值为
0
?
解:
时,分式
有
意义;
时,分式
的值为
0.
能力提升题
课堂检测
(
1
)
y
的值为
0
;
(
2
)
分式
无意义
;
(
3
)
y
的值为
正数;
(
4
)
y
的值为负数
.
已知 ,
x
取何值
时,满足
:
拓
广探究题
解
:
(1)
当
x
=1
时,
y
的值为
0
;
(2)
当
x
=
时,分式
无
意义;
(3)
当 或
解得:
<
x
<
1.
(4)
当 或
解得:
x
>1
或
x
<
x
–1
>0
2–3
x
>0
x
–1
<0
2–3
x
<0
x
–1
>0
2–3
x
<0
x
–1
<0
2–3
x
>0
课堂检测
①
如果
A
、
B
表示两个整式,且
B
中含有字母,那么式子 叫做分式
.
②
整式与分式的根本区别在于分母中含有字母
.
分
式
定义
分式有意
义的条件
分式无意
义的条件
B
≠0
B
=0
B
≠
0
,
A
=0
课堂小结
分式的值为
0
的条件
15.1
分式
15.1.2
分式
的
基本性质
人教
版 数学
八
年级 上册
分数的约分与通分
1.
约分
约
去分子与分母的
最大公约数
,化为
最简分数
.
2.
通分
先
找分子与分母的
最简
公分母
,再
使分子与分母同乘
最简
公分母
,计算
即可
.
如果
把分数换为
分式,又
会如何
呢?
导入新知
温故知新
1.
能
说出
分式的基本性质
.
2.
能
利用分式的基本性质将
分式变形
.
3.
会
用分式的基本性质进行分式的
约分
和
通分
.
素养目标
下列
分数是否
相等?
这些
分数相等的依据是
什么?
分数的基本性质
.
相等
.
分式的基本性质
知识点
1
探究新知
问题1:
分数
的基本性质:
一个分数的
分子、分母
乘
(
或
除
以
)
同
一个不为
0
的数,
分数
的值
不变
.
探究新知
你
能叙述分数的基本性质吗?
问
题
2
:
一般
地,对于
任意一个分数
,有
其中
a
,
b
,
c
是数.
你
能用字母的形式表示分数的基本性质
吗?
探究新知
问
题
3
:
分式
的基本性质:
分式的
分子与分母
乘
(
或
除
以
)
同
一个不等于
0
的整式
,分式
的值
不变
.
类比
分数的基本
性质,你
能想出分式有
什么性
质
吗?
探究新知
问
题
4
:
追问
1
如何用式子表示分式的基本
性质?
其中
A
,
B
,
C
是整式
.
探究新知
(
1
)
分子
、分母应同时做
乘、除法中的同一种运算;
(
2
)
所乘
(
或
除
以
)
的
必须是
同一个整式;
(
3
)
所乘
(
或
除
以
)
的
整式应该
不等于零
.
追问
2
应用分式的基本性质时需要注意
什么?
探究新知
例
1
下列
等式成立
吗?右边
是怎样从左边得到
的?
解
:
1)
成立
.
因
为
所
以
素养考点
1
分式的基本性质的应用
探究新知
2)
成立
.
因
为
所
以
解
:
(1)
正确
.
分子分母除以
x
;
(2)
不
正确.
分子乘
x
,而
分母没乘;
(3)
正确
.
分子分母除
以
(
x
-
y
)
.
(1)
(
2
) (
3
)
1.
下列
变形是否
正确?如果正确,说出
是
如何
变形
的?如果
不
正确,说明
理由
.
巩固练习
2.
不
改变分式的
值,使
下列分式的分子和
分母
都不含“
-”
号:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
解:
分式
的变号法则:
分式的分子、分母及分式本身的
符号,
改变
其中任意两
个,分式
的值不变
.
巩固练习
填空
:
知识点
2
约分
探究新知
像
这样,根据
分式的基本
性质,把
一个分式的分子与分母的公因式约
去,叫做
分式的
约分
.经过约分后的分式如上例
,其
分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的
式子,叫做
最简分式
.
观察
上例
中
(
1
)
中
的两个分式在变形
前后的
分子、分母有什么
变化?类比
分数的相应
变形,你联想
到
什么?
分式
的分子、分母约去
公因式,值不变
.
探究新知
问
题
5
:
解
:
例
2
约分
:
素养考点
2
约
分的应
用
探究新知
确定公因式的方法:
①如果分式的分子、分母都是
单项式,直接
约去分子、分母的公因式;
②如果分子或分母是
多项式,就要
先对多项式进行
因式分解
,以便
找出分母、分子的
公因式,最后
约分
.
③
约分结果为
最简分式
或
整式
.
探究新知
归纳总结
3
.
下列
分式
中,是
最简分式的是
:
(
填序号
).
(
2
)
巩固练习
(
4
)
解:
4.
约分
:
巩固练习
通分
知识点
3
探究新知
填空
:
分母乘以
2
abc
,根据
分式的基本
性质,分子
也乘以
2
ac
.
分母乘以
3
b
,根据分式的基本性质,分子也乘以
3
b
,整理得
6
ab
-3
b
2
像这样,根据
分式的基本
性质,把
几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的
同分母
的
分式,叫做
分式的
通分
.
1.
通
分的依据是
什么?
2.
通
分的关键是
什么?
3.
如
何确定
n
个分式的
公分母?
分式
的基本性质:
分式的分子与分母
乘
(
或
除
以
)
同
一个不等于
0
的
整式,分式
的值不变
.
确定
各分式的
最简公分母
.
一般
取各分母的所有因式的
最高次幂的积
作公分母
.
探究新知
想一想
解
:
(
1
)
最
简公分母是
2
a
2
b
2
c
.
(
2
)
最
简公分母
是
(
x
+
5)(
x
-
5)
.
例
3
通
分:
素养考点
3
通
分的应
用
探究新知
1.
通
分
的步
骤
①
确定
最简
公分母
,②
化
异分母分式
为
同分母分式
.
2.
确定最简公分母的方法
(1)
分母
为单项式:①取各分母系数的
最小公倍数
,②
相同字母取
次数最高
的
,③
单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式
.
(2)
分母
为多项式:①把各分母
分解
因式
,②
把每一个因式看做一个
整体,按
系数
、
相同因式
、
不同因式
这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母
.
探究新知
归纳总结
5
.
通分
:
巩固练习
解
:
(
3
)
最
简公分母是
(3)
, ,
巩固练习
连接中考
已知
=3
,
则代数式
的值是
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
解析
:
∵
=3,∴
=3,∴
x
﹣
y
=﹣3
xy
,
则原式
=
=
=
=
.
D
巩固练习
1.
化
简 的
结果
是
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
基础巩固题
D
课堂检测
2.
下列说法
中,错误
的
是
(
)
A.
与 通分
后为
B
.
与
通分后
为
与
的最简公分母为
m
2
-
n
2
的
最简公分母为
ab
(
x
-
y
)(
y
-
x
)
D
课堂检测
基础巩固题
1
.
已知
则 的
值
是
(
)
A.
B
.
–
C.2
D
.
–
2
能力提升题
D
课堂检测
2
.
化简:
=
.
x
+3
3.
化
简:
x
-
y
+1
分式的基本性质
约分
一般
地,对于
任意一个分数
,有
其中
a
,
b
,
c
是数.
通分
课堂小结
15.2
分式
的
运算
15.2.1
分式
的乘除
人教
版 数学
八
年级 上册
第一课时
第二课时
第
一
课
时
分式乘除法法
则
通过
前面分式的
学习,我们
知道分式和分数有很多的
相似性,如
基本性质、约分和通分
.
那么在
运算上它们有相似性吗
?
导入新知
1.
知道
并熟记
分式乘除法法则
.
2.
能
准确地进行
分式的乘除法
的计算
.
素养目标
1.
一
个长方体容器的容积为
V
,底面
的长为
a
,宽
为
b
,当
容器内的水占容积
的 时,水
高多少
?
解:
长方体
容器的高为
,
水高为
知识点
1
分式的乘除法法则
探究新知
2.
大
拖拉机
m
天耕地
a
公顷,小
拖拉机
n
天耕地
b
公顷,大
拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
?
解:
大
拖拉机的工作效
率
是
公顷
/
天,
小
拖拉机
的工作效率
是 公顷
/
天,
大
拖拉机的工作效率是小拖拉机的
工作效率的
( )
倍
.
探究新知
和 ,其中涉及到分式的有哪些运算?你能用学过的运算法则求出结果吗?
观察
上述两个问题中所列出的式子
探究新知
【
思考
】
在
计算的过程
中,运
用了分数的什么法则?你能叙述这个法则吗?
如果
将分数换成
分式,那么
你能类比分数的乘除法
法则,说出
分式的乘除法法则吗?
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢?
3.
计算
:
探究新知
乘法法则:
分式乘
分式,用
分子的积作为积的
分子,分母
的积作为积的分母
.
除法法则:
分式除以
分式,把
除式的分子、分母颠倒位置
后,与
被除式相乘
.
探究新知
分式的乘除法法则
例
1
计算:
2
2
素养考点
1
利用分式的乘除法法则进行单项式的计算
探究新知
2
解法一
:
解法二
:
2
分
式运算的结果通常要化成最简分式或整式
.
探究新知
①
若分子分母都是
单项式,把
分子分母分别
相乘
,约
去
公因式,最后
化为
最简分式或整式
;
②分式
与分式相除
时,按照
法
则
先转
化为
乘法
,再
运算
.
探究新知
归纳总结
解析:
C
巩固练习
1
.
等于
(
)
A.
B
.
C
.
D
.
2
例
2
计算:
当分子分母是多项式
时,先
分解因式便于约分的进行
.
素养考点
2
利用分式的乘除法法则进行多项式的计算
探究新知
一定
要注意符号变化
呦!
探究新知
①
若
分子分母有
多项式,先
把
多项式分解
因式
,看
能约分的
先
约分
,然后
相乘
;
②
分式
与分式相除
时,一定要
先转
化为
乘法
,再按照乘法法则运算
.
探究新知
归纳总结
1
1
1
1
1
解:
原式
2.
计算
(
1
)
巩固练习
1
1
1
1
(
2
)
巩固练习
解:
原式
例
3
“
丰收
1
号”小麦的试验田是边长为
a
m
的正方形去掉一个边长为
1
m
的正方形蓄水池后余下的
部分,“
丰收
2
号”小麦的试验田是边长
为
(
a
–1)
m
的
正方形,两
块试验田的小麦都收获了
500kg.
(
1
)
哪
种小麦的单位面积产量高?
(
2
)
高
的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
素养考点
3
分式的乘除法法则的实际应用
探究新知
∵0
<
(
a–
1)
2
<
a
2
–1
,
∴
“
丰收
2
号
”
小麦的单位面积产量高
.
∴
“
丰收
2
号”
小麦的单位面积产量是
“丰收
1
号”
小麦的单位面积产量的
倍
.
∴
解
:
(1)
“
丰收
1
号”小麦的试验田面积
是
(
a
2
–1)m²
,单位
面积产量
是
kg/m
2
;“丰收
2
号”小麦的试验田面积
是
(
a
–1)
2
m
2
,单位
面积产量
是
kg/m
2
.
(2)
探究新知
第一步,把
线段
AB
三
等分,以
中间的一段为边作
等边三角形,然后
去掉这
一段,就
得到由
4
条长度相等的线段组成的
折线,总长度
为
第二步,把
上述折线中每一条线段重复第一步的
做法,便
得到由长度相等的线段组成的
折线,总长度
为
3.
取一条长度为
1
个单位的线段
AB
,如
图
巩固练习
按照上述方法一步一步地继续进行
下去,在
图中画出了第一步至第五步所得到的折线的形状.
你
觉得第五步得到的折线漂亮吗?
巩固练习
对于
任意一个正整数
n
,第
n
步得到的折线的总长度是多少?
你
能推算出第五步得到的折线的总长度吗?
巩固练习
连接中考
1.
老师
设计了接力
游戏
,
用
合作的方式完成分式化
简
,
规则
是:每人只能看到前一人给的
式子
,
并
进行一步
计算
,
再
将结果传递给下一
人
,
最后
完成化简.过程如图所示:
接力中
,
自己
负责的一步出现错误的
是
(
)
A
.
只有
乙
B
.
甲
和丁
C
.
乙
和丙
D
.
乙
和丁
2.
计算
(–
a
)
2
•
的
结果
为
(
)
A
.
b
B
.–
b
C
.
ab
D.
D
A
巩固练习
1
.
化
简
的
结果
是
(
)
A.
B.
a
C.
a
–1
D
.
基础巩固题
B
课堂检测
2.
计算
:
=__________________.
3.
计算:
课堂检测
基础巩固题
解
:
原式
解
:
原式
(
1
)
(
2
)
先
化
简 然后从
–1
,
1
,
2
中选取一个数作为
x
的值代入求值
.
解
:
(
1
)
原式
=
因
为分母
x
–1
≠
0
,
x
+1
≠
0
,
所
以
x
≠1
且
x
≠ – 1
,
所
以取
x
=2
,所
以
能力提升题
课堂检测
一
条船往返于水路相距
100km
的
A
,
B
两地
之间,已知水流的
速度是每小时
2km
,船
在静水中的速度是
每小时
x
km(
x
>2)
,那么
船在往返一次过程
中,顺流
航行的时间与
逆流航行
的时间比是
______.
拓广探索题
课堂检测
分式的乘除法法
则
课堂小结
①
若分子分母都是
单项式,把
分子分母分别
相乘
,约
去
公因式,最后
化为
最简分式或整式
;
②若
分子分母有
多项式,先
把
多项式分解
因式
,看
能约分的
先
约分
,然后
相乘
;
③分式
与分式相除
时,按照
法
则
先转
化为
乘法
,再
运算
.
注意事项:
第二课
时
分式乘方的运算法则
我们
学习过分数的乘除混合运算,那么分式的乘除混合运算该如何进行呢?分式的乘方又与分数的乘方有何异同呢
?
导入新知
1.
熟练
掌握
分式的乘除混合运算顺序
和方法
.
2.
掌握
分式乘方的运算法则
,并能灵活运用法则进行分式乘方的运算
.
素养目标
分式乘除混合运算的计算方法:
(
1)
分式乘除混合运算,先依据分式的乘除法法则,把分式乘除法统一成
乘法
.
(
2)
当分式的分子分母为多项式时,应先进行
因式分解
,然后约去分子分母的公因式,计算结果应为
最简分式
或
整式
.
分式乘除的混合运算
知识点
1
探究新知
例
1
计算
:
解
:
素养考点
1
分式乘除的混合运算
探究新知
1.
计算:
解:
原式
巩固练习
猜想:
n
为正整数时
你
能结合有理数乘方的概念和分式乘法的
法则
写出结果吗?
知识点
2
分式的乘方
探究新知
你能写出推导过程吗?试试看
.
你能用文字语言叙述得到的结论吗?
这就是说
,
分式乘方要把
分子、分母分别乘方
.
即
一般
地,当
n
是正整数时
,
探究新知
分式的乘方法则
解
:
例
2
计算
:
素养考点
2
分式乘方的运算
归纳总结:
分式的乘方,把分子分母分别乘方,再算积的乘方、幂的乘方
.
也可以先确定符号
,再把
分子、分母分别乘方
.
探究新知
2.
计算
:
巩固练习
解
:
原式
解
:
原式
解
:
例
3
计算
:
素养考点
3
分式乘方的混合运算
归纳总结
:
分式的混合运算,先算乘方,再算乘除,最后算加减,若有括号先算括号内的
.
探究新知
3
.
计算
:
巩固练习
解
:
原式
解
:
原式
连接中考
1.
计算
(1+
)÷
的
结果是( )
A
.
x
+1
B
.
C
.
D
.
2.
化
简:
.
解
:
原式
=
=
.
B
巩固练习
1.
下列计算中,正确的是
(
)
A
.
B.
C
.
D.
基础巩固题
课堂检测
2.
计算下列各题
.
课堂检测
基础巩固题
先
化简再求值
:
,其中
a
=
.
当
a
=
时
,
能力提升题
课堂检测
计算
.
拓广探索题
课堂检测
分式混合运算
混合
运算
应用
关键是明确运算种类及运算顺序
明确
运算
顺序
1.
同级运算自左向右进行;
2.
运算律可简化运算
明确运算方法及运算技巧
技巧
注意
分式的乘方
分式
乘方的
法则
1.
掌握分式乘方的运算法则
;
2.
熟练地进行分式乘方的运算
.
课堂小结
人教
版 数学
八
年级 上册
15.2
分式的运算
15.2.2
分式的加减
第一课时
第二课时
第
一
课
时
分式加减法的法则
你
还记得同分母分数加减法法则
吗?异
分母分数加减法法则又是怎样的
呢?想一想
分式的加减法又应如何去运算
呢?
导入新知
1.
掌握
同分母的分式加减法的
法则
,能
熟练地进行同分母的分式加减法的运算
.
2.
会
把
异分母的分式
通分
,转化
成同分母的分式相加减
.
3.
在
学习过程中体会
类比思想
的
运用,学会知识
的迁移
.
素养目标
1.
甲
工程队完成一项工程需
n
天,乙
工程队要比甲工程队多用
3
天才能完成这项
工程,两
队共同工作一天完成这项工程的几分之
几?
解:
甲
工程队一天完成这项工程的
____
,
乙工程队一天完成这项工程的
_______
,
两队共同工作一天完成这项工程的
____________.
知识点
1
同分母分式的加减法法则
探究新知
2.
2009
年,
2010
年,
2011
年
某地的森林
面积
(
单位:公顷
)
分别
是
S
1
,
S
2
,
S
3
,
2011
年
与
2010
年相比,森林
面积增长率提高了
多少?
解:
2011
年
的森林面积增长率是
___________
,
2010
年
的森林面积增长率是
__________
,
2011
年
与
2010
年相比,森林
面积增长率
提高
____________.
探究新知
1.
同分母分数加减法的法则如何
叙述?
探究新知
2.
你认为
请计算:
分母
不变,把
分子相加减
.
【
同分母的分数加减法的法则
】
同分母的分数相加
减,
【
同分母的分式加减法的法则
】
同分母分式相加
减,
分母
不变,把
分子相加减
.
探究新知
同分母的分式加减法的法则
例
1
计算:
解:
原
式
素养考点
1
同
分母分式的加减的计
算
归纳
总结:
同
分母分式的加
减,分母不变,分子
相加
减,当
分子是多项式
时,先
加
括号,然后
进行
计算,结果
要化为最简分式或整式
.
探究新知
–1
1.
直接说出运算结果
.
.
.
.
.
巩固练习
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(
4
)
2.
计算:
巩固练习
解:
原
式
解:
原
式
(
1
)
(
2
)
异分母的分数如何加
减?
通分,
将
异分母的分数化为同分母的
分数
.
知识点
2
异分母分式的加减法的法则
探究新知
想一想
异
分母分式的加减应该如何
进行?
【
异分母的分数加减法的法则
】
先
通分
,变为
同分母的
分数,
再
加减
.
【
异分母的分式加减法的法则
】
先
通分
,变为
同分母的
分式,
再
加减
.
符号
表示:
探究新知
比如:
想一想
例
2
(
1
)
素养考点
2
异
分母分式的加减的计
算
归纳
总结
:
异分母分式的加减分为两
步:第一
步
通分
,化为
同分母分式;
第二步运用
同分母分式的加减法则
计算
.
探究新知
解:
原
式
(
2
)
a
2
–4
能
分解:
a
2
–4 =(
a
+2)(
a
–2)
,
其中
(
a
–2)
恰好
为第二个分式的
分母
,所以
(
a
+2)(
a
–2
)
即为最简公分母
.
分子相减
时,
“
减式
”
要添
括号!
探究新知
解:
原
式
3.
计算:
=
x
+
y
巩固练习
解:
原
式
=
解:
原
式
(
1
)
(
2
)
巩固练习
4
.
计算:
(
1
)
(
2
)
解
:
原式
解
:
原式
连接中考
1.
计算
,
结果
正确的
是
(
)
A.1
B.
x
C
.
D
.
2.
化
简
+
结果
是
.
A
巩固练习
A.
B
.
C
.
–1
D
.
2
基础巩固题
C
C
课堂检测
2.
计算
的结果
为
(
)
1.
计算 的
结果
为
(
)
A.1
B.3
C.
D
.
阅读
下面题目的计算过程
.
①
=
②
=
③
= ④
(
1
)
上述
计算
过程,从
哪一步开始
错误
?_______
;
(
2
)
错误原因
_____
_
___________
;
(
3
)
本题
的正确结果
为:
.
②
漏掉了分母
能力提升题
课堂检测
先
化
简: 当
b
= –1
时,再从
–2<
a
<2
的范围内选取一个合适的整数
a
代入求值
.
解
:
原
式
=
在
–2<
a
<2
中,
a
可取的整数
为
–1
,
0
,
1
,而
当
b
=–1
时,
①若
a
=–1
,分式
无意义;
②若
a
=0
,分式 无
意义;
③若
a
=1
,分式 无
意义
.
所以
a
在规定的范围内取
整数,原式
均无
意义
(
或
所求值不
存在
).
拓广探索题
课堂检测
分式的加减法
法则
课堂小结
注意事项:
①
若
分子是多项式,则
加上括号
,然后再加减;
②计算结果一定要化成最简分式或整式
.
第二课
时
分式混合运算
你
还记得分数的四则混合运算顺序
吗?那么想一想,分式
的混合运算是否类似
呢
?
今天我们再来
探讨
一下!
导入新知
2.
体会
类比方法在研究
分式混合运算
过程
中的重要价值
.
1.
理解
分式混合运算
的顺
序;
会正确进行分式的混合运算.
素养目标
数
的混合运算的顺序是
什么?你
能将
它们推广,得出
分式的混合运算顺序
吗?
分式
的混合运算顺序:
“
从高到低、从左到右、括号从小到大”
.
知识点
1
分式的混合运算
探究新知
例
1
计算
:
这
道题的运算顺序是怎样
的?
素养考点
1
较简单的分式的混合运算
探究新知
探究新知
解:
对于不带括号的分式混合运算:
(
1
)
运算
顺序:
先
乘方,再乘除,然后
加减;
(
2
)
计算
结果要化为
最简分式.
1.
化简
的
结果
是
(
)
A.
a
–
b
B.
a
+
b
C.
D.
B
巩固练习
2.
计算
:
=
(
)
A.
B.
C.
D
.
A
例
2
计算
:
素养考点
2
较复杂的分式的混合运算
探究新知
解
:
原式
探究新知
解
:
原式
对于带括号的分式混合运算:
(
1
)
将
各分式的分子、分母
分解因式
后,再
进行计算;
(
2
)
先
算
乘方
,
再
算
乘除
,
最后
算加
减
,若
有
括号,
先
算括号内的
;
(
3
)
计算
结果要化为
最简分式或整式
.
探究新知
归纳总结
3
.
用两种方法计算:
=
解
:
(
按
运算
顺序
)
原式
=
(
利用
乘法
分配律
)
原
式
巩固练习
例
3
根
据规划
设计,某
市工程队准备在开发区修建一条
长
1120
m
的
盲道,由于
采用新的施工
方式,实际
每天修建
盲道的
长度比原计划增加
10
m
,从而
缩短了
工期,假设
原计划
每天
修建盲道
x
m
,那么,
(
2
)
实际
修建这条盲道的工期比原计划缩短了
几天?
(
1
)
原计划
修建这条盲道需
多少天?实际
修建这条盲道用了
多少天?
解析
:
(1)
原计划
修建
需 天,
实际修建需
天
.
(2)
实际
修建比原计划缩短了
(
天
).
素养考点
3
利用分式的混合运算
解决问题
探究新知
4.
在一段坡
路,小
明骑自行车上坡的速度为每小时
v
1
km
,下坡
时的速度为每小时
v
2
km
,则
他在这段路上、下坡的
平均速度
是
每小时
(
)
A.
km
B
.
km
C.
km
D
.
无法确
定
C
巩固练习
连接中考
1.
化简
(
a
–
1
)
÷
(
–
1
)
•
a
的结果
是
(
)
A
.–
a
2
B
.
1
C
.
a
2
D
.–
1
A
巩固练习
2.
化
简
:
.
计算
.
基础巩固题
课堂检测
课堂检测
基础巩固题
先
化
简,再
求值
:
其中
m
=2.
解:
当
m
=2
代入
其中,得
原
式
=0
.
课堂检测
能力提升题
运
算顺序
:
(1)
先乘方,再乘除,然后
加减
.
如果有
括号,先
算括号里面的
.
(2)
分式
的加减、乘除都是分式的同级
运算,同级
运算是按从左往右的顺序运算
.
进行分式混合运算时注意
:
(1)
正确
运用运算法则
;
(2)
灵活
运用运算律;
(3)
运算
结果要化
简,且
注意符号的
处理,使
结果为最简分式或整式
.
课堂小结
人教
版 数学
八
年级 上册
15.2
分式的运算
15.2.3
整数
指数幂
第一课时
第二课时
第
一
课
时
负整数指数幂
(1) (
m
,
n
是
正整数
)
(2) (
m
,
n
是
正整数
)
(3) (
n
是
正整数
)
(4) (
a
≠
0
,
m
,
n
是
正整数,
m
>
n
)
(5) (
n
是
正整数
)
正整数指数幂有以下运算
性质:
此外,还
学过
0
指数
幂,即
a
0
=1(
a
≠
0)
导入新知
如
果指数是负整数该如何计算
呢?
1.
知道
负整数指数幂
的意义及表示法
.
2.
能
运用分式的有关知识推导
整数指数幂
的意义
.
素养目标
问题
1
将
正整数指数
幂的运算性质中指数的取值范围
由“正整数”
扩大到
“整数”
,
这些
性质还适用
吗
?
知识点
1
整数指数幂
探究新知
问题
2
a
m
中指数
m
可以是负整数
吗?如果可以,那么
负整数指数
幂
a
m
表示
什么
?
问题
3
根据
分式的
约分,当
a
≠
0
时,如何计算 ?
问题
4
如果
把正整数指数
幂的运算
性质
(
a
≠
0
,
m
,
n
是
正整数,
m
>
n
)
中
的条件
m >n
去掉,即
假设这个性质对于像
的情形
也能
使用,如何计算?
a
3
÷
a
5
=
=
a
3
÷
a
5
=
a
3-5
=
a
-2
探究新知
(
1
)
(
2
)
数学
中
规定:
当
n
是正整数
时,
这就是说,
是
a
n
的倒数.
由
(
1
)(
2
)
想到,若
规定
a
-2
=
(
a
≠
0)
,就
能使
a
m
÷
a
n
=
a
m-n
这条性质也
适用于像
a
3
÷
a
5
的
情形,因此:
探究新知
1
1
1
填空:
(
1
)
= ____
,
= ____
;
(
2
)
= ____
,
=
____
;
(
3
)
=
____
,
=
____
(
b
≠
0)
.
探究新知
做一做
问题
5
引入
负整数指数和
0
指数
后,
(
m
,
n
是
正整数
)
,这
条性质能否推广到
m
,
n
是任意
整数
的情形
?
例如:
a
5
·
a
-6
=
a
(5-6)
=
a
-1
(
a
≠
0)
探究新知
问题
6
类似地,你
可以用负整数指数幂或
0
指数幂
对于其他正整数指数幂的运算性质进行
试验,看看这些
性质在整数范围内是否还
适用?
例如:
a
0
·
a
-5
=
a
0-5
=
a
-5
,
a
-3
·
a
-7
=
a
-3+(-7)
=
a
-10
,
a
-2
÷
a
-5
=
a
-2-(-5)
=
a
3
,
a
0
÷
a
-4
=
a
0-(-4)
=
a
4
探究新知
(1)
(
m
,
n
是
整数
)
;
(2)
(
m
,
n
是
整数
)
;
(3)
(
n
是
整数
)
;
(4)
(
m
,
n
是
整数
)
;
(5)
(
n
是
整数
)
.
探究新知
归纳总结
试
说说当
m
分别是正整数、
0
、负整数
时,
a
m
各表示什么
意义?
当
m
是正整数
时
,
a
m
表示
m
个
a
相乘
.
当
m
是
0
时,
a
0
表示一个数的
n
次方除以这个数的
n
次
方,所以
特别
规定,任何
除
0
以外的实数的
0
次方都是
1.
当
m
是负整数
时,
a
m
表示
|
m
|
个 相乘
.
探究新知
例
1
计算:
解
:
素养考点
1
整数指数幂的计算
探究新知
解
:
探究新知
1.
计算
:
解:
(
1
)
原式
=
x
2
y
-3
·
x
-3
y
3
=
x
2-3
·
y
-3+3
=
x
-1
=
(
2
)
原式
=
a
-2
b
-4
c
6
÷
a
-6
b
3
=
a
4
b
-7
c
6
巩固练习
能否
将整数指数幂的
5
条性质进行适当
合并?
根据整数指数幂的运算
性质,当
m
,
n
为整数
时,
, ,因此,
,即
同底数幂的除法
可以转化
为同底数幂
的乘法
.
特别
地,
所以
,
即商的乘方
可以
转化
为积
的乘方
知识点
2
整数指数幂的性质
探究新知
这样,
整数
指数幂的运算性质
可以归结
为
:
(
1
)
(
m
,
n
是
整数
)
;
(
2
)
(
m
,
n
是
整数
)
;
(
3
)
(
n
是
整数
)
.
探究新知
故等式正确
.
例
2
下列等式是否
正确?为什么?
(
1
)
a
m
÷
a
n
=
a
m
·
a
-
n
;
(
2
)
解:
(
1
)
∵
a
m
÷
a
n
=
a
m
-
n
=
a
m
+(-
n
)
=
a
m
·
a
-
n
,
∴
a
m
÷
a
n
=
a
m
·
a
-
n
.
故
等式正确
.
素养考点
2
整数指数幂的性质的应用
探究新知
(
2
)
2.
填空:
(-3)
2
·(-3)
-
2
=
(
)
;
10
3
×10
-2
=
(
)
;
a
-2
÷
a
3
=
(
)
;
a
3
÷
a
-4
=
(
)
.
3.
计算:
(
1
)
0.1÷0.1
3
(
2
)
(-5)
2
008
÷(-5)
2
010
(
3
)
10
0
×10
-1
÷10
-2
(
4
)
x
-2
·
x
-3
÷
x
2
1
10
a
7
巩固练习
连接中考
1.
下列
计算正确的
是
(
)
A
.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
B
.
a
2
+2
a
2
=3
a
4
C.
x
2
y
÷
=
x
2
(
y
≠
0
)
D.
(
2
x
2
)
3
=
8
x
6
2.
下列计算正确的是
(
)
A.
a
2
•
a
=
a
2
B.
a
6
÷
a
2
=
a
3
C.
a
2
b
﹣2
ba
2
=﹣
a
2
b
D.(
)
3
=
D
C
巩固练习
1.
下列计算正确的
是
(
)
A.3
0
=0
B
.-|-3|=-
3
C.3
-1
=-3
D
.
=±3
2
.
下列
计算
不正确的
是
(
)
A. B.
C. D.
基础巩固题
B
B
课堂检测
能力提升题
1.
若
0<
x
<1
,则
x
-1
,
x
,
x
2
的大小关系
是
(
)
A.
x
-1
<
x
<
x
2
B.
x
<
x
2
<
x
-1
C.
x
2
<
x
<
x
-1
D.
x
2
<
x
-1
<
x
C
课堂检测
2.
计算
.
课堂检测
能力提升题
若 ,试求 的
值
.
拓广探索题
课堂检测
整数指数幂
零指数
幂:当
a
≠0
时,
a
0
=1
负整数指数
幂:当
n
是正整数
时,
a
-
n
=
(
a
≠
0)
整数指数幂的性质
(1)
a
m
·
a
n
=
a
m+n
(
m
,
n
为
整数,
a
≠
0)
(2)(
ab
)
m
=
a
m
b
m
(
m
为
整数,
a
≠
0
,
b
≠
0)
(3)(
a
m
)
n
=
a
mn
(
m
,
n
为
整数,
a
≠
0)
课堂小结
第
二
课
时
用科学记数法表示绝对值小于
1
的数
通过
上节课的
学习,大家
明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算
性质,这
节课我们来学习运用其性质进行有关计
算及负
整数指数幂在科学记数法中的运用
.
导入新知
2.
了解
负整数指数幂在科学记数法中的运用
.
1.
熟练
应用
整数指数幂的意义及性质
进行综合计算
.
素养目标
对于
一个小于1的正
小数,如果
小数点后至
第
一
个非0数字前有8个
0,用
科学记数法表示这个数
时,10
的指数是
多少?如果
有
m
个0
呢?
用科学记数法表示绝对值小于
1
的小数
知识点
1
探究新知
0
.
1=
0
.
01
=
0
.
001
=
=
;
0
.
000 1
=
=
;
0
.
000 01
=
=
.
归纳
:
探究新知
填空:
0
.
000 098 2=9
.
82
×
0
.
000
01=
9
.
82
×
0
.
003 5=3
.
5
×
0
.
001
=
3
.
5
×
如何
用科学记数法表示
0
.
0035
和
0
.
0000982
呢?
观察
这两个
等式,你
能发现
10
的指数与什么有关
呢
?
对
于一个小于
1
的正
小数,从
小数点前的第一个
0
算起至小数点后第一个非
0
数字前有几个
0
,用
科学记数法表示这个数
时,
10
的指数就是负几
.
探究新知
(
1
)
0.005
0.005
0.005 = 5 × 10
-3
小
数点
原本的位置
小
数点
最
后
的位
置
小
数点
向右
移了
3
位
例
1
用科学记数法表示下列各
数:
素养考点
1
用科学
记数法表示小于
1
的数
探究新知
(
2
)0.0204
0.02 04
0.0204=2.04×10
-2
小
数点
原本的位置
小
数点
最
后
的位置
小
数点
向右
移了
2
位
探究新知
(
3
)0.00036
0.0003 6
0.000 36=3.6×10
-4
小
数点
原本的位置
小
数点
最
后
的位置
小
数点
向右
移了
4
位
探究新知
解:
(
1
)
0.3=
3×10
-1
;
(
2
)
-
0.000 78=
-7.8×10
-4
;
(
3
)
0.000
020 09=
2.009×10
-5
.
1.
用
科学记数法表示下列各
数:
(
1
)
0.3
;
(
2
)
-
0.000
78
;
(
3
)
0.00002009
.
巩固练习
素养考点
2
科学记数法有关计算
例
2
计
算下列各
题:
(
1
)
(
-
4×10
-
6
)
÷
(
2
×
10
3
)
(
2
)
(1.6×10
-4
)
×
(5×10
-2
)
方法
总结:
科学
记数法的有关
计算,分别
把前边的数进行
运算,
10
的幂进行
运算,再
把所得结果相乘
.
解:
(
1
)
(
-
4×10
-
6
)
÷
(
2
×
10
3
)
=(-4÷2)(10
-6
÷10
3
)
=-
2×10
-9
探究新知
(
2
)
(1.6×10
-4
)
×
(5×10
-2
)
=(
1.6×5)
×
(10
-4
×10
-2
)
=
8×10
-6
2
.
计算
:
(
1
)
(
2
×10
-
6
)
×
(
3
.2×
10
3
)
(
2
)
(
2
×10
-
6
)
2
÷
(
10
-
4
)
3
解:
(
1
)
(
2
×10
-
6
)
×
(
3
.2×
10
3
)
=
(2×3.2)
×
(10
-6
×10
3
)
=6.4×10
-3
巩固练习
(
2
)
(
2×10
-6
)
2
÷
(
10
-4
)
3
=(
4×10
-12
)
÷
10
-12
=
4×10
-12-(-12
)
=4×10
0
=4×1
=4
例
3
纳米
(nm)
是
非常小的长度
单位,
1
nm=10
–9
m
,把
1 nm
的物体放到乒乓球
上,就
如同把乒乓球放到地球
上,
1
mm
3
的空间可以放多少个
1 nm
3
的
物体?
(
物体
之间间隙忽略
不计
)
解:
1 mm=10
-
3
m
,
1
nm=10
-
9
m.
(10
-
3
)
3
÷
(10
-
9
)
3
= 10
-
9
÷ 10
-
27
=
10
18
,
1
mm
3
的空间可以放
10
18
个
1 nm
3
的物体
.
素养考点
3
利用科学记数法解答实际问题
探究新知
3.
某种大肠杆菌的半径是
3.5×10
-6
m
,一
只苍蝇携带
这种细菌
1.4×10
3
个
.
如果把这种细菌近似地看成
球状,那么这
只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少
立方米?
(
结果
精确到
0.001
,球
的体积公式
V
=
π
R
3
)
解:
每个
大肠杆菌的体积
是
·
π
·(3.5×10
-6
)
3
≈1.796×10
-16
( m
3
)
,
总
体积
=
1.796×10
-16
×1.4×10
3
≈2.514×10
-13
( m
3
).
答:
这
只苍蝇共携带大肠杆菌的总体积是
2.514×10
-13
m
3
.
巩固练习
目前
世界上能制造的芯片最小工艺水平是5
纳米
,
而
我国能制造芯片的最小工艺水平是16
纳米
,
已知
1纳米=10
﹣9
米
,
用
科学记数法将16纳米表示为
______
__
_____
米
.
连接中考
1.6×10
﹣8
巩固练习
基础巩固题
课堂检测
1.
斑
叶兰被列为国家二级保护植物
,
它
的
一
粒
种子重约
0.000 000 5
克将
0. 000 000 5
用科学记数法表示为
(
)
A.5×10
7
B.5
×
10
-7
C.0.5
×
10
-6
D.5
×
10
-6
B
2.
用
科学记数法表示下列各
数:
(
1
)
0.001
=
;
(
2
)
-
0.000001 =
;
(
3
)
0.001357
=
;
(
4
)
-
0.000504 =
.
基础巩固题
课堂检测
3.
下列是用科学记数法表示的
数,试
写出它的原数
.
(
1
)
4.5×10
-8
=
;
(
2
)
-
3.14×10
-6
=
;
(
3
)
3.05×10
-3
=
.
0.000000045
-0.00000314
-0.00305
课堂检测
基础巩固题
计算
(
结果
用科学记数法
表示
).
(
1
)
(6×10
-3
)×(1.8×10
-4
)
;
(
2
)
(1.8×10
3
)÷(3×10
-4
).
解:
原式
=
1.08×10
-6
解:
原式
=
0.6×10
7
=6×10
6
课堂检测
能力提升题
一
根约为
1
米长、直径为
80
毫米的光纤预制
棒,可
拉成至少
400
公里长的光纤
.
试问:
1
平方厘米是这种光纤的横截面积的多少
倍?
(
用
科学记数法表示且保留一位
小数
)
解:
这种
光纤的横截面积为
1÷(1.256×10
-4
)
≈
8.0×10
3
答
:
1
平方厘米是这种光纤的横截面的
8.0×10
3
倍
.
拓广探索题
课堂检测
用科学记数法表示绝对值小于
1
的数
绝对值
小于
1
的数用科学记数法表示为
a
×10
-
n
的
形式,
1
≤│
a
│ <
10
,
n
为原数第
1
个不为
0
的数字前面所有
0
的
个数
(
包括
小数点前面那个
0).
课堂小结
人教
版 数学
八
年级 上册
15.3
分式方程
第一课时
第二课时
第一课时
分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为
20 km/h,
它沿江以最大航速顺流航行
100 km
所用时间
,
与以最大航速逆流航行
60 km
所用时间相等
,
江水的流速为多少
?
解
:
设江水的流速为
v
km/h
,
根据
题意,得
导入新知
这样
的方程与以前学过的方程一样
吗
?
1.
了解
分式方程
的概念.
2.
会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程,体会
化归思想
和
程序化思想
.
素养目标
3
.
了解解分式方程
根
需要进行
检验
的原因.
为要解决导入中
的问题,我们得到了
方程 .
仔细
观察这个方程,未知数的位置有
什么特点?
分式方程的概念
探究新知
知识点
1
方程
与
上面的方程有什么共同特征?
追问
1
:
分母中都含有未知数
.
分式方程
的概念:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
.
分式方程的特征
:
分母
中含有未知数
.
注意
:
我们
以前学习的方程都是整式方程,它们的
未知数不在
分母中
.
探究新知
你
能再写出几个分式方程吗?
追问
2
:
1.
下列
式子中,属于分式方程的是
,属于
整式方程的是
(填序号).
(
2
)
(
1
)
巩固练习
(
3
)
总结
:
这些解法的共同特点是
先去分母
,将分式方程转化为
整式方程
,再解整式方程
.
你
能试着解分式方程 吗?
解分式方程
探究新知
知识点
2
问题
1
:
这些
解法有什么共同特点?
问题
2
:
(
1
)如何把分式方程转化为整式方程呢?
(
2
)怎样去分母?
(
3
)在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个
分母都
约去呢?
(
4
)这样做的依据是什么?
探究新知
想一想
(
1
)分母中含有未知数的方程,通过
去分母
就化为
整式
方程了.
(
2
)利用等式的
性质
,
可以
在方程两边都乘同一个
式子
——
各分母的
最简公分母
.
探究新知
归纳总结
例
解分式方程
即
解得
则得到,
方程
两边
同乘各分母的最简公分母
探究新知
你
得到的解 是分式方程
的解吗?
检验:
把
v
=6
代入分式方程得:
左边
=
右边
=
左边
=
右边
,所
以
v
=6
是原方程的解
.
探究新知
追问:
解
分式方程:
是原分式方程
变形
后的
整式方程的解
,但
不是
原
分式方程的解.
探究新知
问题
3
:
你
得到的解 是分式方程
的解吗?该如何验证呢?
追问
1
:
上面
两个分式方程的求解过程中,同样
是
去
分母将分式方程化为整式方程
,为什么整式方程
的
解 是分式方程
的解,而整式
方程
x
+
5=10
的
解
却不是分式方程
的解?
探究新知
追问
2
:
原因
:
在去分母的过程中,对原分式方程进行了变形,
而这种
变形是否引起分式方程解的变化,主要取决于所
乘的
最简公分母是否为
0
.
检验
的方法主要有两种
:
(
1
)将整式方程的解
代入原分式方程
,看
左右两边
是否
相等
;
(
2
)将整式方程的解代入
最简公分母
,看
是否为
0
.
探究新知
显然,第
2
种方法比较简便!
回顾
解分式方程
与
的过程,你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗?解分式方程应该注意什么
?
探究新知
问题
4
:
基本思路
:
将
分式方程化为整式
方程
.
一般
步骤
:
(
1
)去分母
;(
2
)解整式方程
;(
3
)检验.
注意
:
由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程
的解,所以需要检验.
2.
指出
下列方程中各分母的最简分母,并写出去分母后得到的整式方程
.
①
②
解:
①最简公分母
2
x
(
x
+3)
,
去分母得
x
+3=4
x
;
②最简公分母
x
2
–1
,
去分母得
2
(
x
+1
)
=4
;
巩固练习
例
1
解下列方程:
解分式方程
解:
方程的两边同乘
以
x
(
x
–2)
,
得
2
x
=3
x
–6
解
得:
x
=6
检验
:当
x
=6
时
,
x
(
x
–2
)
≠
0.
所以
,原方程的解是
x
=6.
探究新知
素养考点
1
3
.
解下列方程:
解:
方程的两边同乘以
2
x
(
x
+3)
,
得
(
x
+3)=4
x
解
得:
x
= 1
检验
:当
x
=1
时,
2
x
(
x
+3
)≠
0.
所以
,原方程的解是
x
=1.
巩固练习
例
2
解方程
解
:
方程
两边同乘
得
=
3.
化
简,得
=3.
解
得
=1.
检验:当
=
1
时
,
=0
,
因此
x
=
1
不是原
分式方程的解
,
所以原
分式方程无解
.
解含有整式项的分式方程
探究新知
素养考点
2
解分式方程的一般步骤
:
1.
在方程的两边都乘
最简公分母
,约去分母,化成
整式方程
.
2.
解这个整式方程
.
3.
把整式方程的解代入
最简公分母
,如果最简公分母的值
不为
0
,
则整式方程的解是原分式方程的解;
否则
,这个解不是原分式方程的解,必须舍去
.
4.
写出原方程的解
.
解分式方程的思路:
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
探究新知
解分式方程的一般步骤
:
探究新知
归纳总结
分式方程
整式方程
x=a
x=a
是分式方程的解
x=a
不是分式方程的解
最简公分母不为
0
最简公分母为
0
去分母
解整式方程
检验
4.
解分式方程 时,去分母
后得到
的整式方程是(
)
A. 2(
x
–8
)+
5
x
=16(
x
–7
)
B. 2(
x
–8
)+5
x
=8
C.
2(
x
–8)–5
x
=16(
x
–7
)
D. 2(
x
–8)–5
x
=8
解析:
原方程可以变形
为 ,
两边都乘以
2
(
x
–7
)
得
2(
x
–8
)
+5
x
=8×2(
x
–7
),
即
2(
x
–8
)
+5
x
=16(
x
–7)
.
A
巩固练习
易错易混点拨
:
(1)
去分母时,原方程的整式部分漏乘.
(2)
约去分母后,分子是多项式时, 没有添括号.
(
因分数线有括号的作用)
(3)
把整式方程的解代入最简公分母后的值为
0
,不舍掉
.
探究新知
方法点拨
连接中考
1.
分式方程
=1的解是( )
A.
x
=1 B.
x
=
–
1
C.
x
=3 D.
x
=
–
3
A
2.
关于
x
的分式方程
解为
x
=4,则常数
a
的值为(
)
A.
a
=1 B.
a
=2 C.
a
=4 D.
a
=10
D
巩固练习
1.
若
关于
x
的分式方程
的
解为
x
=2,
则
m
的值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
B
基础巩固题
课堂检测
2.
方程
的解为( )
A
.
x
=–1
B
.
x
=0
C
.
x
=
D
.
x
=1
D
课堂检测
基础巩固题
已知
关于
x
的方程
有增根,求该方程的增根和
k
的值
.
解:
去分母,得
3
x
+3–
(
x
–1
)
=
x
2
+
kx
,
整
理,得
x
2
+
(
k
–2
)
x
–4=0
.
因为有增根,所以增根为
x
=0
或
x
=1.
当
x
=0
时,代入方程
得
–4=0
,所
以
x
=0
不是方程的增根;
当
x
=1
时,代入方程,得
k
=5
,所
以
k
=5
时
,
方程
有增根
x
=1.
能力提升题
课堂检测
解方程
:
拓广探索题
课堂检测
解
:方程可化为:
课堂检测
得
解
得
x
=–3
,
经检验:
x
=
–
3
是原方程的根
.
课堂小结
解分式方程
整式方程
x=a
x=a
是分式方程的解
x=a
不是分式方程的解
最简公分母不为
0
最简公分母为
0
去分母
解整式方程
检验
分式方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做
分式方程
.
第二课
时
列分式方程解应用题
1.
解分式方程的一般
步骤
.
(
1)
在方程的两边都乘以
最简公分母
,约去分母,化成
整式方程
.
(
2)
解这个整式方程
.
(
3)
把整式方程的根代入
最简公分母
,看结果是不是为零,使
最简公分母为零的根是原方程的增根
,必须舍去
.
(
4)
写出原方程的根
.
利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗?
导入新知
素养目标
1.
能找出实际问题中的
等量关系
,熟练地列出相应的方程
.
2.
会解含有字母系数的
分式方程
.
3
.
知道列方程解应用题为什么必须
验根
,掌握解题的基本步骤和要求
.
甲
、乙两人做某种机器零件,已知甲每小时比乙多做
6
个,甲做
90
个零件所用的时间和乙做
60
个零件所用的时间相等,求甲、乙每小时各做多少个零件?
请审题分析题意
设元
列分式方程解应用题的步骤
探究新知
知识点
1
解:
设甲每小时做
x
个零件,则乙每小时做(
x
–6
)个零件,依题意得:
经
检验
,
x
=18
是原分式方程的解
,
且符合题意
.
答:
甲每小时做
18
个,乙每小时做
12
个
.
由
x
=
18,
得
x
–6=12
解得
探究新知
列分式方程解应用题的一般
步骤:
1
.
审
:
分析题意
,
找出数量关系和相等关系
.
2
.
设
:
选择恰当的未知数
,
注意单位统一
.
3
.
列
:
根据数量和相等关系
,
正确列出方程
.
4
.
解
:
解这个分式方程
.
5
.
验
:
检验
.
既要检验所
求
的
解是不是
分式
方程
的解,又要检验是否
符
合
实际意义
.
6
.
答
:
注意单位和语言完整
.
探究新知
归纳总结
例
1
两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工
1
个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成
.
哪个队的施工速度快
?
分析
:
甲队
1
个月完成总工程的
,
设乙队
如果单独
施工
1
个月完成总工程的
,
那么甲
队半个月
完成总工程的
_____,
乙队半个月
完成
总工程的
_____,
两队半个月完成总工
程的
_______ .
利用分式方程解答工程问题
探究新知
素养考点
1
解
:
设乙队如果单独施工
1
个月完成总工程的
.
依题意得
方程两边同乘
6
x
,
得
2
x
+
x
+3=6
x
, 解得
x
=1
.
检验
:
x
=1
时,
6
x
≠0,
x
=1
是原分式方程的
解
.
探究新知
答:
由上可知
,
若乙队单独施工
1
个月可以完成全部任务
,
而
甲队
1
个月完成总工程的
,
可知乙队施工速度快
.
1
.
为了
提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的
1 200
件新产品进行精加工后再投放市场,现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用
10
天;
信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的
1.5
倍
.
根据
以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
巩固练习
解:
设甲工厂每天加工
x
件产品,则乙工厂每天加工
1.5
x
件产品,依题
意得 ,
解
得:
x
=40
.
经
检验
x
=40
是原方程的解,所以
1.5
x
=60.
答:
甲工厂每天加工
40
件产品,乙工厂每天加工
60
件产品
.
巩固练习
s
km
所用的
时间
为
h
;提速
后列车的平均速度为
km/h
,提速后列车
运行
km
,所
用时间
为
h.
根据行驶时间的等量关系可以
列出方程
:
例
2
某列车平均提速
v
km/h
,用相同的时间,列车提速前行驶
s
km
,提速后比提速前多行驶
50 km
,提速前列车的平均速度为多少?
x
x
+
v
s
+50
=
s
解
:
设
提速前列车的平均速度为
x
km/h
,则
提速前列车行驶
(
s
+50
)
x
+
v
s
+50
利用分式方程解答行程问题
探究新知
素养考点
2
(
x
+
v
)
去分母得:
s
(
x
+
v
)=
x
(
s
+50)
去括号,
得
sx
+
sv
=
sx
+50
x
.
移项、合并同类项,
得
50
x
=
xv
.
解
得
检验
:由于
v
,
s
都是正数,
时,
x
(
x
+
v
)≠
0
,
是
原分式方程的解
.
答:
提速前列车的平均速度
为
km/h
.
探究新知
2.
八
年级学生去距学校
s
km
的博物馆参观
,一部分
学生骑自行车先走,过了
t
h
后
,其余学生
乘汽车
出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是
学生
骑车速度的
2
倍,求学生骑车的速度.
解:
设学生骑车的速度是
x
km/h
,由题意得,
方程两边同乘
2
x
,得
2
s
–
s
=2
tx
.
解得
x
=
.
巩固练习
检验:由于
s
,
t
都是正数,
x
=
时,
2
x
≠0
,
所以,
x
=
是
原分式方程的解,且符合题意
.
答:
学生骑车的速度
是
km/h
.
例
3
关于
x
的
方程 无
解
,
求
k
的值
.
利用分式方程的根求字母的值或取值范围
探究新知
解:
方程的两边同时乘
(
x
+3)(
x
–3
)
得
x
+3+
kx
–3
k
=
k
+3
整理
得
:
(
k
+1)
x
=4
k
,
因为
方程无解
,
则
x
=3
或
x
= –3
当
x
=3
时
,(
k
+1) ·3=4
k
,
k
=3
,
当
x
= –3
时
,(
k
+1
)(–3
)=4
k
,
所以
当
k
=3
或
时
,
原分式方程无解
.
素养考点
3
3.
如果关于
x
的方程
无
解
,
则
m
的值等于
(
)
A
. –3 B. –2
C
. –1 D. 3
B
解析
:
方
程的两边都
乘
x
–3
,
得
2=
x
–3–
m
,
移项并合并同类项得
,
x
=5+
m
,由于方程无解
,
此时
x
=3,
即
5+
m
=3
,
∴
m
= –2.
巩固练习
连接中考
甲
、乙两船从相距300km的
A
、
B
两地同时出发相向而行,甲船从
A
地顺流航行180km时与从
B
地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为
x
km/h,则求两船在静水中的速度可列方程为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
A
巩固练习
1
.
下列方程中属于分式方程的有
( )
;
属于一元分式方程的有
( )
.
①
②
③
④
x
2
+
2
x
–1=0
①
①
基础巩固题
课堂检测
③
2.
解方程
:
得
:
(
x
–1
)
+2
(
x
+1
)
=4
∴
原方程无
解
.
∴
x
=1
检验:当
x
=1
时
,
(
x
+1
)(
x
–1
)
=0
,
所以
x
=1
不是原方程的
根
.
解:
方程两边都乘以最简公分母
课堂检测
基础巩固题
某
公司购买了一批
A
、
B
型芯片,其中
A
型芯片的单价比
B
型芯片的单价少9元,已知该公司用3120元购买
A
型芯片的条数与用4200元购买
B
型芯片的条数相等.
(1)求该公司购买的
A
、
B
型芯片的单价各是多少元?
(2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6280元,求购买了多少条
A
型芯片?
能力提升题
课堂检测
解
:
(1)设
B
型芯片的单价为
x
元/条,则
A
型芯片的单价为(
x
–
9
)元/条,
根
据
题意得:
,
解
得:
x
=35
,经检验,
x
=35是原方程的解,
∴
x
–
9=26
.
答
:
A
型芯片的单价为26元/条,
B
型芯片的单价为35元/条.
(
2)设购买
a
条
A
型芯片,则购买(
200
–
a
)条
B
型芯片,
根
据题意得:
26
a
+35(200
–
a
)=6280,
解
得:
a
=80
.
答
:
购买了80条
A
型芯片.
课堂检测
某
镇道路改造工程
,
由甲、乙两工程队合作
20
天可完成
.
甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用
30
天完成此项工程
.
(1)
求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天
?
(2)
若甲
工程队单独
做
a
天后
,
再由甲、乙两工程队合作
____
天
(
用含
a
的代数式表示
)
可完成此项工程
;
(3)
如果甲工程队施工每天需付施工费
1
万元
,
乙工程队施工每天需付施工费
2.5
万元
,
甲工程队至少要单独施工多少天后
,
再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程
,
才能使施工费不超过
64
万元
?
拓广探索题
课堂检测
解
:(1)
设乙单独做
x
天完成此项工程
,
则甲单独做
(
x
+30)
天完成此项工程
.
由
题意得
:
20(
)=
1
整
理得
x
2
–10
x
–600=0
,
解
得
x
1
=30,
x
2
=
–20
.
经
检验
:
x
1
=30,
x
2
=–20
都是分式方程的解
,
但
x
2
=–20
不符合题意舍去
.
x
+30=60
.
答
:
甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要
60
天,
30
天
.
课堂检测
(2)
设甲单独做
a
天后
,
甲、乙再合作
(
20–
)
天
,
可以完成此项
工程
.
(3)
由题意得
1×
a
+(1+2.5)(
20–
)≤64
解
得
a
≥36
答
:
甲工程队至少要单独做
36
天后
,
再由甲、乙两队合作完成
剩下
的工程
,
才能使施工费不超过
64
万元
.
课堂检测
步骤
1.
审
;
2
.
设
;
3
.
列
;
4.
解
;
5
.
验
;
6.
答
.
应用
工程问题:工作量
=
工作效率×工作时间
行程问题:路程
=
速度×时间
列分式方程解应用题
课堂小结
相关文档
- 八年级上数学课件《物体位置的确定2021-11-0117页
- 八年级上数学课件- 11-2-2 三角形2021-11-0116页
- 八年级上数学课件第六章 数据的分2021-11-0118页
- 八年级上数学课件《线段、角的轴对2021-11-0111页
- 八年级上数学课件八年级上册数学课2021-11-0145页
- 八年级上数学课件八年级上册数学课2021-11-0118页
- 2019-2020学年甘肃兰州八年级上数2021-11-0112页
- 八年级上数学课件八年级上册数学课2021-11-0114页
- 八年级上数学课件八年级上册数学课2021-11-0121页
- 八年级上数学课件《设计轴对称图案2021-11-0112页