2020春八年级数学下册第19章全等三角形19-2全等三角形的判定3角边角习题课件华东师大版 29页

3. 角 边 角 一、两角一边对应相等的两个三角形的关系 两角一边对应相等的两个三角形 _____. 【 点拨 】 两个三角形仅满足两角和一边相等，这样的两个三角 形不一定全等，所以对应很重要 . 全等 二、全等三角形的判定 1.A.S.A. (1) 内容：如果两个三角形有 _______ 及其 _____ 分别对应相等， 那么这两个三角形全等 . (2) 简写：“ _______” 或“ _______”. (3) 书写格式：如图所示 . 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC≌△A′B′C′(_______). 两个角 夹边 角边角 A.S.A. A.S.A. 2.A.A.S. (1) 内容：如果两个三角形有 _______ 和其中一个角的 _____ 分别 对应相等，那么这两个三角形全等 . (2) 简写：“ _______” 或“ _______”. (3) 书写格式：如上图所示， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC≌△A′B′C′(_______). 【 点拨 】 判定三角形全等的 “ A.S.A. ” 和 “ A.A.S. ” 定理可以 相互转化 . 两个角 对边 角角边 A.A.S. A.A.S. 应用“ A.S.A.” 判定三角形全等 【 例 1】(2011· 汕头中考 ) 已知 : 如图 ,E,F 在 AC 上 ,AD∥CB 且 AD=CB,∠D=∠B. 求证 :AE=CF. 【 解题探究 】 1. 应用 “ A.S.A. ” 判定三角形全等要注意什么 ? 答 : 注意边要在两角之间 . 2. 例题中要证 AE=CF, 需要证哪两个三角形全等 ? 已知什么条件 ? 还缺少什么条件 ? 答 : 要证 AE=CF, 需要证△ ADF≌△CBE ；已知一角和一边对应相等 , 还缺少夹边的另一角对应相等 . 3. 找条件 : ∵AD∥CB,∴∠A=∠C. 4. 给出证明： 在△ ADF 和△ CBE 中 , ∴△ADF≌△CBE(A.S.A.) ∴AF=CE. ∴AF+EF=CE+EF, 即 AE=CF. 【 互动探究 】 例题中如果应用 S.A.S. 证明△ ADF≌△CBE, 需要改变什么条件 ? 提示： 把例题中的条件 AD ∥ CB 变为 DF=BE 即可应用 S.A.S. 证明 △ ADF ≌△ CBE. 【 规律总结 】 证明两三角形全等的思路 (1) 若已知两边，可以考虑证明这两边的夹角相等； (2) 若已知两角，可以考虑两角的夹边或考虑其中一角的对边对 应相等； (3) 已知一边和一角，要分清已知边和角的位置关系，切忌出现 “ S.S.A. ” 的错误思路 . 【 跟踪训练 】 1. 如图所示 ,∠1=∠2,∠3=∠4, 若证得 BD=CD, 则所用的判定两三角形全等的 依据是 ( ) (A) 角角角 (B) 角边角 (C) 边角边 (D) 角角边 【 解析 】 选 B. 在△ ABD 和△ ACD 中 ,∠1=∠2,AD=AD,∠3=∠4, 所 以 , 依据 A.S.A. 可判定△ ABD≌△ACD. 2. 如图 ,AB 与 CD 交于点 O,OA=OC,∠A=∠C, 根 据 ________ 可得到△ AOD≌△COB, 从而可以 得到 AD=________. 【 解析 】 在△ AOD 和△ COB 中 ,∠A=∠C,OA=OC, ∠AOD=∠COB, 所以 , 依据 A.S.A. 可判定△ AOD≌△COB, 从而可以 得到 AD=CB. 答案： A.S.A. CB 3. 如图 ,AB∥CD,AB=CD, 点 B ， E ， F ， D 在 一条直线上 ,∠A=∠C. 求证 :AE=CF. 【 证明 】 ∵AB∥CD, ∴∠B=∠D. 又∵ AB=CD,∠A=∠C, ∴△ABE≌△CDF(A.S.A.), ∴AE=CF( 全等三角形对应边相等 ). 应用“ A.A.S.” 判定三角形全等 【 例 2】(6 分 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,AD 是中线 , 分别过点 B ， C 作 AD 及 其延长线的垂线 BE ， CF, 垂足分别为点 E ， F. 求证 :BE=CF. 【 规范解答 】 ∵ 在△ ABC 中 ,AD 是中线 , ∴BD= CD . ………………………… 1 分 ∵ CF⊥AD,BE⊥AD, ∴∠CFD=∠ BED =90°. …………… 2 分 在△ BED 与△ CFD 中 , ∵ ∠BED =∠CFD,∠BDE=∠CDF, BD=CD, ∴ △BED ≌ △CFD (A.A.S.) …………… 5 分 ∴ BE=CF. ……………………………… 6 分 特别提醒 : 要正确应用隐含条件对顶角 , 快速解题 . 【 互动探究 】 例题中的 AD 是中线 , 改为 AD 是∠ BAC 的平分线 , 其他条件不变 , 题 目的结论还成立吗 ? 提示： 不成立 . 【 规律总结 】 理解 “ A.S.A. ”“ A.A.S. ” 的两个要点 (1)① “ A.S.A. ” 包含 “ 角 ” 和 “ 边 ” 两种元素，是两角夹一 边，而不是两角及其中一角的对边对应相等，特别注意 “ 夹边 ” 与 “ 对边 ” 的区别；②在书写用 “ A.S.A. ” 证明两个三角形全 等的过程时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角的位置 关系 . (2)① “ A.A.S. ” 判定方法可由 “ A.S.A. ” 判定方法推导出来； ② “ A.A.S. ” 是指两角和其中一角的对边对应相等，不要误认 为是 “ 两角和一边对应相等 ” . 【 跟踪训练 】 4. 如图 , 已知直线 AD,BC 交于点 E, 且 AE=BE, 欲证明△ AEC≌△BED, 需增加的条件可以是 __________.( 添加一个即可 ) 【 解析 】 根据对顶角相等 , 得∠ AEC=∠BED, 且 AE=BE. 添加 ∠ A=∠B 时 , 依据 A.S.A. 可证△ AEC≌△BED ；当∠ C=∠D 时 , 依据 A.A.S. 可证△ AEC≌△BED ；当 CE=DE 时 , 依据 S.A.S. 可证 △ AEC≌△BED. 答案： ∠ A=∠B( 或∠ C=∠D 或 CE=DE, 答案不唯一 ) 5. 如图 ,A,E,F,C 四点共线 ,BF∥DE,AB=CD. 请你添加一个条件 , 使 △ DEC≌△BFA. 【 解析 】 添加 AB∥CD 或 (∠A=∠C) 时 , 使△ DEC≌△BFA. 证明 :∵BF∥DE,∴∠BFA=∠DEC. 由 AB∥CD, 得∠ A=∠C, 在△ DEC 和△ BFA 中 , ∠A=∠C,∠BFA=∠DEC, AB=CD, ∴△ DEC ≌△ BFA(A.A.S.).( 答案不唯一 ) 1. 已知 AB=A′B′,∠A=∠A′,∠B=∠B′, 则△ ABC≌ △A′B′C′ 的根据是 ( ) (A)S.A.S. (B)S.S.A. (C)A.S.A. (D)A.A.S. 【 解析 】 选 C. 根据题干可知由 A.S.A. 得△ ABC≌△A′B′C′. 2. 如图 , 已知 MB=ND,∠MBA=∠NDC, 下列不能判定△ ABM≌△CDN 的条件是 ( ) (A)∠M=∠N (B)AB=CD (C)AM=CN (D)AM∥CN 【 解析 】 选 C. 条件 A 依据 A.S.A. 可证△ ABM≌△CDN ；条件 B 依据 S.A.S. 可证△ ABM≌△CDN ；条件 D 可得∠ A=∠NCD, 依据 A.A.S. 可证△ ABM≌△CDN ；条件 C 不能证△ ABM≌△CDN. 3. 如图 , 已知 AB∥CD, 欲证明△ AOB≌△COD, 可补充条件 __________.( 填写一个适合的条件即可 ) 【 解析 】 由 AB∥CD, 得∠ A=∠C,∠B=∠D, 根据对顶角相等 , 得 ∠ AOB=∠COD, 添加条件 AO=CO 或 BO=DO, 可依据条件 A.S.A. 证明△ AOB≌△COD ；添加条件 AB=CD, 可依据条件 A.A.S.( 或 A.S.A.) 证明△ AOB≌△COD. 答案 ： AO=CO( 或 BO=DO 或 AB=CD) 4. 如图 , 在△ ABC 中 ,AD⊥BC,CE⊥AB, 垂足分别为 D ， E,AD ， CE 交 于点 H, 请你添加一个适当的条件 :_________, 使△ ADB≌△CEB. 【 解析 】 由 AD⊥BC,CE⊥AB, 得∠ ADB=∠CEB=90° ；又∠ B=∠B, 添加条件 AD=CE 或 AB=CB 可依据 A.A.S. 证明△ ADB≌△CEB ；添加 条件 BD=BE, 可依据 A.S.A. 证明△ ADB≌△CEB. 答案： AD=CE( 或 AB=CB 或 BD=BE) 5. 如图 , 有一湖的湖岸在 A ， B 之间呈一段圆弧状 ,A ， B 间的距离 不能直接测得 . 你能用已学过的知识或方法设计测量方案 , 求出 A ， B 间的距离吗 ? 【 解析 】 要测量 A ， B 间的距离 , 可用如下方法 : 过点 B 作 AB 的垂线 BF, 在 BF 上取两点 C ， D, 使 CD=BC, 再定出 BF 的 垂线 DE, 使 A ， C ， E 在一条直线上 , 根据 “ 角边角 ” 可知 △ EDC≌△ABC. 因此 :DE=BA. 即测出 DE 的长就是 A ， B 之间的距离 , 如图 .( 答案不唯一 )