2020春八年级数学下册第19章全等三角形19-2全等三角形的判定5斜边直角边习题课件华东师大版 30页

5. 斜边直角边 探究 1. 在一般三角形中 , 由两组对应 ( 边或角 ) 条件相等的三角形 ___ 全等 . 2. 在直角三角形中 : (1) 两直角边对应相等的两个直角三角形 _____, 依据 _______. 不 全等 S.A.S. (2) 一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形 _____, 依据 _______________. (3) 一直角边和一斜边对应相等的两个直角三角形 , 应用勾股定 理 , 可以转化为 _________ 对应相等的两个直角三角形 _____, 依 据 _______. 全等 A.A.S. 或 A.S.A. 两直角边 全等 S.A.S. 【 归纳 】 如果两个直角三角形的斜边和一条 _______ 分别对应相 等 , 那么这两个直角三角形全等 . 简记为 H.L.( 或 ___________ ). 【 点拨 】 H.L. 定理只适合两直角三角形全等的判定 . 直角边 斜边直角边 【 预习思考 】 1. 一般三角形的判定方法适合直角三角形的判定吗 ? 直角三角 形的判定比一般三角形多了个什么条件 ? 提示： 适合 . 它比一般三角形多了直角相等 . 2. 有两组对应条件相等的两直角三角形全等吗 ? 为什么 ? 提示： 不一定 . 当两组角对应相等时，两个直角三角形不全等 . 应用“ H.L.” 判定直角三角形全等 【 例 1】 如图 , 在四边形 ABCD 中 ,AB=CD, BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD, 垂足分别为 E,F. 求证 :△ABE≌△CDF. 【 解题探究 】 1.△ABE 和△ CDF 是什么三角形 ? 证明这样的三角形全等首先考虑 什么定理 ? 答 :△ABE 和△ CDF 是 直角 三角形 . 证明这样的三角形全等首先考 虑 H.L. 定理 . 2. 探求全等的条件 : (1)∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEB=∠CFD=90°, (2)∵BF=DE, ∴BF-EF=DE-EF, 即 BE=DF, 3. 证明全等 : 在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中 , ∵AB=CD,BE=DF, ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(H.L.). 【 规律总结 】 应用 “ H.L. ” 应注意的三个问题 (1) “ H.L. ” 是判定两个直角三角形全等的方法，对于一般的三 角形不成立，在使用时一定要注意其应用的范围 . (2) 在书写格式上，三角形的前面必须注明 “ Rt ” . (3) 在题设中，没有指明但又是直角三角形的，必须依照定义说 明或推证是直角三角形，否则不能直接应用 “ H.L. ” . 【 跟踪训练 】 1. 如图所示 , 在△ ABC 中 ,∠C=90°, DE⊥AB 于 D,BC=BD, 如果 AC=3 cm, 那么 AE+DE 等于 ( ) (A)2 cm (B)3 cm (C)4 cm (D)5 cm 【 解析 】 选 B.∵DE⊥AB,∴∠BDE=90°. 在 Rt△BCE 和 Rt△BDE 中 ,BC=BD,BE=BE, ∴Rt△BCE≌Rt△BDE, 即 DE=EC,∴AE+DE=AE+EC=AC=3 cm. 2. 如图 , 在△ ABC 和△ ABD 中 ,∠C=∠D=90°, 若利用“ A.A.S.” 证 明△ ABC≌△ABD, 可添加条件 _________ ；若利用“ H.L.” 证明 △ ABC≌△ABD, 则需要加条件 _________. 【 解析 】 在△ ABC 和△ ABD 中 ,∠C=∠D=90°,AB=AB, 若利用 “ A.A.S. ” 证明△ ABC≌△ABD, 可添加条件∠ CAB=∠DAB 或 ∠ CBA=∠DBA ；若利用 “ H.L. ” 证明△ ABC≌△ABD, 则需要加条 件 AC=AD 或 BC=BD. 答案： ∠ CAB=∠DAB 或∠ CBA=∠DBA AC=AD 或 BC=BD 3. 如图，已知∠ B=∠D=90° ， BC=DC. 问 AC 是否平分∠ BCD ？为什么？ 【 解析 】 AC 平分∠ BCD. 理由： ∵∠ B=∠D=90° ， 在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中 , ∵AC=AC, BC=DC. ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.), ∴∠ ACB= ∠ ACD, 即 AC 平分∠ BCD. 【 变式备选 】 如图 ,∠B=∠D=90°,BC=DC,∠1=40°, 则∠ 2=______. 【 解析 】 在 Rt△ABC 与 Rt△ADC 中 , ∵BC=DC,AC=AC, ∴Rt△ABC≌Rt△ADC,∴∠2=∠ACB. 在△ ABC 中 ,∠ACB=180°-∠B-∠1=50°, ∴∠2=50°. 答案： 50° 直角三角形判定定理的综合应用 【 例 2】(10 分 ) 在△ ABC 中 ,AB=CB, ∠ABC=90°,F 为 AB 延长线上一 点 , 点 E 在 BC 上 , 且 AE=CF. (1) 求证 :Rt△ABE≌Rt△CBF ； (2) 若∠ CAE=30°, 求∠ ACF 的度数 . 【 规范解答 】 (1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF= ∠ABE =90°. ……………… 2 分 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中 , ∵AE=CF, AB=CB ， ∴ Rt△ABE≌Rt△CBF(H.L.) ； …………………………… 5 分 (2)∵AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠CAB= ∠ACB =45°, …………… 6 分 又∵∠ BAE=∠CAB- ∠CAE=45°-30°=15°, 由 (1) 知 Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴∠BCF= ∠BAE =15°, …………………………………… 9 分 ∴∠ ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°. ……………………………………………… 10 分 特别提醒 : 应用△ ABC 是等腰直角三角形这一性质来解题 【 互动探究 】 若例题中的条件变为△ ABC 和△ EBF 为等腰直角三角形 , 且 A ， B ， F 三点共线 , 题中的结论 (1) 还成立吗 ? 提示： 成立 . 依据 S.A.S. 可证明 Rt△ABE≌Rt△CBF. 【 规律总结 】 判定直角三角形全等的 “ 四种思路 ” (1) 若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，直接应用 “ H.L. ” 判定两直角三角形全等 . (2) 若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用 “ A.A.S. ” 进行判 定两直角三角形全等 . (3) 若有一组锐角和一组直角边对应相等 , 则分为两种情况 : ① 直角边是锐角的对边，用 “ A.A.S. ” 进行判定两直角三角形 全等； ②直角边是锐角的邻边，用 “ A.S.A. ” 进行判定两直角三角形 全等 . (4) 若有两直角边对应相等，则用 “ S.A.S. ” 进行判定两直角三 角形全等 . 【 跟踪训练 】 4. 使两个直角三角形全等的条件是 ( ) (A) 一个锐角对应相等 (B) 两个锐角对应相等 (C) 一条边对应相等 (D) 两条边对应相等 【 解析 】 选 D. 选项 A: 一个锐角对应相等 , 利用已知的直角相等 , 可得出另一组锐角相等 , 但不能证明两三角形全等 , 故错误；选 项 B: 两个锐角相等 , 那么也就是三个对应角相等 , 但不能证明两 三角形全等 , 故错误；选项 C: 一条边对应相等 , 再加一组直角相 等 , 不能得出两三角形全等 , 故错误；选项 D: 两条边对应相等 , 若 是两条直角边相等 , 可利用 S.A.S. 证全等；若一直角边对应相等 , 一斜边对应相等 , 也可证全等 , 故正确 . 5. 如图 , 在△ ABC 中 ,∠B=∠C,D 是 BC 的中点 ,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F 为垂足 , 求证 :AD 平分∠ BAC. 【 证明 】 ∵DF⊥AC,DE⊥AB, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D 是 BC 的中点 ,∴BD=CD. 在△ BDE 和△ CDF 中 , ∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD, ∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中 ,AD=AD,DE=DF, ∴Rt△AED≌Rt△AFD,∴∠BAD=∠CAD, 即 AD 平分∠ BAC. 1. 如图 , 四边形 ABCD 中 ,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°, 则∠ BCD 的度数为 ( ) (A)145° (B)130° (C)110° (D)70° 【 解析 】 选 C.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴ 在 Rt△ADC 和 Rt△ABC 中 ,CB=CD,AC=AC ∴Rt△ABC≌Rt△ADC, 又∠ ACB=90°-∠BAC=55°, ∴∠ACD=∠ACB=55°,∠BCD=110°. 故选 C. 2. 下列条件中 , 不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) (A) 两个锐角对应相等 (B) 一条直角边和一个锐角对应相等 (C) 两条直角边对应相等 (D) 一条直角边和一条斜边对应相等 【 解析 】 选 A.A 项不正确 , 全等三角形的判定必须有边的参与； B 项正确 , 符合判定 A.A.S.( 或 A.S.A.) ； C 项正确 , 符合判定 S.A.S. ； D 项正确 , 符合判定 H.L., 故选 A. 3. 如图 , 已知 AC⊥BD 于点 P,AP=CP, 请添加一个条件 , 使△ ABP≌△CDP ( 不能添加辅助线 ), 你添加的条件 是 ________. 【 解析 】 结合已知条件可得添加的条件是 BP=DP 或 AB=CD 或 ∠ A=∠C 或∠ B=∠D 等 . 答案： BP=DP( 或 AB=CD 或∠ A=∠C 或∠ B=∠D 等，答案不唯一 ) 4. 如图 ,△ABC 中 ,AD⊥BC 于 D, 要使△ ABD≌△ACD, 若根据“ H.L.” 判定 , 还需要加条件 __________, 若加条件 __________ 则可用 A.A.S. 判定 . 【 解析 】 ∵AD⊥BC,AD=AD,AB=AC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD. 已知 AD⊥BC 于 D, 则 AD=AD, 若添加条件∠ B=∠C, 根据 A.A.S. 可判定 △ ABD≌△ACD. 答案： AB=AC ∠B=∠C 5. 如图 , 已知△ ABC 是等腰三角形 ,BD ， CE 分别是△ ABC 两腰上 的高线 , 试说明 BE=CD 成立的理由 . 【 解析 】 ∵△ABC 是等腰三角形 , ∴AB=AC. 又 ∴CE=BD. 在 Rt△BCE 和 Rt△CBD 中 , BC=CB, CE=BD, ∴Rt△BCE≌Rt△CBD(H.L.). ∴ BE=CD.