2020春八年级数学下册第20章平行四边形的判定20-2矩形的判定习题课件华东师大版 34页

§20.2 矩形的判定 矩形的判定方法 (1) 根据定义 : 有一个角是 _____ 的 _____ 四边形是矩形 . (2) 根据对角线 : 对角线 _____ 的 _____ 四边形是矩形 . 直角 平行 相等 平行 【 点拨 】 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形 , 所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形 . (3) 根据角 : 有 ___ 个是 _____ 的四边形是矩形 . 【 归纳 】 证明矩形一般先证明是平行四边形 , 然后再证明是矩形 . 三 直角 【 预习思考 】 □ ABCD 添加什么条件后，可以变为矩形 ABCD ？ 提示： 加一个角是直角或对角线相等 . 矩形的判定 【 例 1】(2011· 青岛中考 ) 已知 : □ ABCD 中 ,E,F 分别是 AB,CD 的中点 , 连结 AF,CE. (1) 求证 :△BEC≌△DFA ； (2) 连结 AC, 若 CA=CB, 判断四边形 AECF 是什么特殊四边形 ? 并证明你的结论 . 【 解题探究 】 (1)① 一般三角形全等有几种判定方法 ? 答 : 一般三角形全等的判定有 “ S.A.S. ” , “ A.S.A. ” , “ A.A.S. ” , “ S.S.S. ” 四种方法 . ② 根据平行四边形的性质 , 结合三角形全等的判定方法 , 应用哪个判定定理证明△ BEC≌△DFA? 答 : 根据平行四边形的性质 , 可以应用 “ S.A.S. ” 证明△ BEC≌△DFA. ③ 若证△ BEC≌△DFA ， 根据 □ ABCD 的条件可知 BC= DA ,∠B= ∠D 故只需再证 BE = DF . ∵E,F 分别为 AB 和 CD 的中点 , 故只需证 AB = CD . 而根据四边形 ABCD 是平行四边形，便可得出 AB = CD ，问题得证 . (2)① 根据已知条件 , 初步得出四边形 AECF 是什么特殊四边形 ? 说明理由 . 答 : 四边形 AECF 是 平行四边形 . 理由 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴AB∥CD, 且 AB=CD. ∵E,F 分别是 AB,CD 的中点 , ∴ AE = CF . 又 AE∥CF, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ② 连结 AC, 若 CA=CB, 则△ BCA 有什么特点 ?CE 和 AB 有什么位置关系 ? 答 :△BCA 是 等腰三角形 . 根据等腰三角形的性质 , CE⊥AB . ③ 综上所述 , 四边形 AECF 是什么特殊四边形 ? 答 :∵ □ AECF 有一个角是 直角 , ∴ 四边形 AECF 是 矩形 . 【 互动探究 】 例题证明四边形 AECF 是矩形还有其他方法吗 ? 提示： 有 . 连结 AC 和 EF, 可以先证明四边形 AEFD 是平行四边形 , 得到 AD=EF, 再证 AC=EF, 应用 “ 对角线相等的平行四边形是矩形 ” 的方法证明四边形 AECF 是矩形 . 【 规律总结 】 矩形的判定口诀 任意一个四边形 , 三个直角成矩形； 对角线等互平分 , 四边形它是矩形 . 已知平行四边形 , 一个直角叫矩形；两对角线若相等 , 理所当然为矩形 . 【 跟踪训练 】 1. 平行四边形 ABCD 中 ,AC,BD 是两条对角线 , 如果添加一个条件 , 即可推出平行四边形 ABCD 是矩形 , 那么这个条件是 ( ) (A)AB=BC (B)AC=BD (C)AC⊥BD (D)AB⊥BD 【 解析 】 选 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 2. 如图 ,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC. 证明 : 四边形 ABCD 是矩形 . 【 证明 】 ∵EB=EC,∠AEB=∠DEC,EA=ED, ∴△ABE≌△DCE, ∴AB=DC. 又∵ AD=BC, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . ∵△ABE≌△DCE,∴∠ABE=∠DCE. ∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB, ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=180°, ∴∠ABC=∠DCB=90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 3.M 为平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点 , 且 MD=MC, 你能说明平行四边形 ABCD 一定为矩形吗 ? 说明你的理由 . 【 解析 】 平行四边形 ABCD 一定为矩形 . ∵AM=BM,BC=AD,MD=MC, ∴△MBC≌△MAD, ∴∠A=∠B. 又∵ ABCD 为平行四边形 ,AD∥BC, ∴∠A=∠B=90°, ∴ 平行四边形 ABCD 为矩形 . 矩形的判定的应用 【 例 2】(10 分 ) 如图 , 在△ ABC 中 , 点 O 是 AC 边上 ( 端点除外 ) 的一个动点 , 过点 O 作直线 MN∥BC. 设 MN 交∠ BCA 的平分线于点 E, 交∠ BCA 的外角平分线于点 F, 连接 AE,AF. 那么当点 O 运动到何处时 , 四边形 AECF 是矩形 ? 并证明你的结论 . 【 规范解答 】 当点 O 运动到 AC 的中点 ( 或 OA=OC) 时 , 四边形 AECF 是矩形 . ………………………………………… 2 分 证明 :∵CE 平分∠ BCA, ∴∠1=∠ 2 . ……………… 3 分 又∵ MN∥BC, ∴∠1=∠ 3 . ∴∠ 3 =∠ 2 , ∴EO= CO . ……………………………………………………… 5 分 同理 ,FO= CO . ………………………………………………… 6 分 ∴ EO= FO . 易错提醒 : 正确应用角平分线和平行线得到等腰三角形是解题关键 . 又 OA=OC, ∴ 四边形 AECF 是 平行四边形 . ……………………………… 7 分 又∵∠ 1=∠2,∠4=∠5, ∴∠1+∠5= ∠2+∠4 . ………………………………………… 8 分 又∵∠ 1+∠5+∠2+∠4= 180° , ∴∠2+∠4= 90° . …………………………………………… 9 分 ∴四边形 AECF 是矩形 . ……………………………………… 10 分 【 规律总结 】 矩形判定的两种思路 (1) 依据条件 , 先证平行四边形 , 再证有一个角是直角或对角线相等得矩形； (2) 依据条件 , 证三个角为直角得矩形 . 【 跟踪训练 】 4. 在数学活动课上 , 老师和同学们判断一个四边形门框是否为 矩形 , 下面是某合作学习小组的 4 位同学拟定的方案 , 其中正确 的是 ( ) (A) 测量对角线是否相互平分 (B) 测量两组对边是否分别相等 (C) 测量一组对角是否都为直角 (D) 测量其中三角是否都为直角 【 解析 】 选 D. 因为有三个角是直角的四边形是矩形 . 其余条件判定矩形不充分 . 5. 如图 , 过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段 h, 沿这条垂线段剪下三角形纸片 , 将它平移到右边 , 平移距离等于平行四边形的底边长 a. 平移后的图形是矩形吗 ? 为什么 ? 【 解析 】 是矩形 . 因为平移后的图形首先是个平行四边形 , 又因为这个平行四边形的相邻的两边都垂直 , 因此是个矩形 . 1. 已知 □ ABCD 的对角线交于点 O, 分别添加下列条件 ①∠ ABC=90° ；② AC=BD ；③ AB=BC ；④ AC 平分∠ BAD. 能判定 □ ABCD 为矩形的条件的序号是 ( ) (A)①② (B)②③④ (C)③④ (D)②③ 【 解析 】 选 A. 有一个角为直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 , 故选①② . 2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时 , 一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形 , 他们各自做了如下检测 . 检测后 , 他们都说窗框是矩形 , 你认为最有说服力的是 ( ) (A) 甲量得窗框两组对边分别相等 (B) 乙量得窗框的对角线相等 (C) 丙量得窗框的一组邻边相等 (D) 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等 【 解析 】 选 D. 根据矩形的判定定理得 , 选项 A 、 B 、 C 都不能说明窗框是矩形；由 “ 两组对边分别相等 ” 得平行四边形 , 再由 “ 两条对角线相等 ” 得平行四边形是矩形 , 所以选项 D 正确 , 即丁测量的对 . 3. 延长等腰△ ABC 的腰 BA 到 D,CA 到 E, 分别使 AD=AB,AE=AC, 则四边形 BCDE 是 _______ ，其判别根据是 ________. 【 解析 】 由 AD=AB,AE=AC 且 AB=AC, 得四边形 BCDE 是矩形，其依据是对角线互相平分且相等的四边形是矩形 . 答案： 矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4.(2012· 毕节中考 ) 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形 , 现有一个对角线分别为 6 和 8 的菱形 , 它的中点四边形的对角线长是 _______. 【 解析 】 如图 , 不妨令 BD=6,AC=8,∵E,F,G, H 分别为各边的中点 ,∴EF∥GH∥AC, ∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴ 四边形 EFGH 是矩形 , 答案： 5 5.(2012· 枣庄中考 ) 已知 : 如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD 2 +CD 2 =2AB 2 . (1) 求证 :AB=BC ； (2) 当 BE⊥AD 于 E 时 , 试证明 :BE=AE+CD. 【 证明 】 (1) 连结 AC. ∵∠ABC=90°,∴AB 2 +BC 2 =AC 2 . ∵CD⊥AD,∴AD 2 +CD 2 =AC 2 . 又 ∵ AD 2 +CD 2 =2AB 2 ， ∴ AB 2 +BC 2 =2AB 2 ， ∴ AB=BC. (2) 过 C 点作 CF⊥BE 于 F. ∵BE⊥AD,∴ 四边形 CDEF 是矩形 . ∴CD=EF. ∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°, ∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF, ∴AE=BF,∴BE=BF+EF=AE+CD.