2020春八年级数学下册第20章平行四边形的判定20-3菱形的判定习题课件华东师大版 35页

§20.3 菱形的判定 菱形的判定方法 (1) 对角线互相 _____ 的 _____ 四边形是菱形 . 【 点拨 】 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 . 垂直 平行 (2) 四边 _____ 的四边形是菱形 . (3) 每条对角线 _____ 一组 _____ 的四边形是菱形 . 【 归纳 】 菱形的判定除定义外 , 一般是先判定为平行四边形 , 再根据平行四边形的对角线性质判定菱形 . 相等 平分 对角 【 预习思考 】 1. 平移平行四边形的一边 , 平行四边形能变为菱形吗 ? 根据是什么 ? 提示： 能 . 平移平行四边形的一边，使一邻边相等，根据菱形的定义可知该平行四边形为菱形 . 2. 改变平行四边形对角线的位置关系 , 平行四边形能变为菱形吗 ? 依据是什么 ? 提示： 能 . 当对角线互相垂直时，依据菱形的判定定理 , 可得该平行四边形为菱形 . 菱形的判定 【 例 1】(2011· 保山中考 ) 如图 , 在平行 四边形 ABCD 中 , 点 P 是对角线 AC 上一点 , PE⊥AB,PF⊥AD, 垂足分别为 E,F, 且 PE=PF, 平行四边形 ABCD 是菱形吗 ? 为什么 ? 【 解题探究 】 1. 角平分线 + 平行线会有什么结论 ? 答 : 角平分线 + 平行线会得到 等腰 三角形 . 2. 应用上面的结论 , 例题会得出哪些相等关系的量 ? 答 : 由∠ DAC=∠CAE,AB∥DC, 得∠ DAC=∠DCA, 所以 DA=DC . 3. 根据前两步的探究 , 例题中的平行四边形的边有什么特征 ? 答 : 一组 邻边 相等 , 即平行四边形为菱形 . 4. 推理如下 :∵PE⊥AB,PF⊥AD, 且 PE=PF, ∴AC 是∠ DAB 的平分线 , ∴∠DAC=∠CAE, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ,∴DC∥AB, ∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA, ∴DA=DC, ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形 . 【 规律总结 】 菱形判定口诀 任意一个四边形 , 四边相等成菱形； 四边形的对角线 , 垂直互分是菱形 . 已知平行四边形 , 邻边相等叫菱形； 两对角线若垂直 , 顺理成章为菱形 . 【 跟踪训练 】 1. 小明和小亮在做一道习题 , 若四边形 ABCD 是平行四边形 , 请 补充条件 ________, 使得四边形 ABCD 是菱形 . 小明补充的条件是 AB=BC ；小亮补充的条件是 AC=BD, 你认为下列说法正确的是 ( ) (A) 小明、小亮都正确 (B) 小明正确 , 小亮错误 (C) 小明错误 , 小亮正确 (D) 小明、小亮都错误 【 解析 】 选 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形 , 所以小明正确 , 小亮错误 . 2. 如图 ,△ABC 为等腰三角形 , 把它沿底边 BC 翻折后 , 得到△ DBC. 请你判断四边形 ABDC 的形状 , 并说出你的理由 . 【 解析 】 四边形 ABDC 为菱形 . 理由是 : 由翻折 , 得△ ABC≌△DBC, ∴AC=CD,AB=BD. ∵△ABC 为等腰三角形 , ∴AB=AC, ∴AC ＝ CD ＝ AB ＝ BD,∴ 四边形 ABDC 为菱形 . 3.(2012· 娄底中考 ) 如图 , 在矩形 ABCD 中 , M,N 分别是 AD,BC 的中点 ,P,Q 分别是 BM, DN 的中点 . (1) 求证 :△MBA≌△NDC ； (2) 四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形 ? 请说明理由 . 【 解析 】 (1)∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴∠A=∠C=90°,AB=DC,AD=BC. ∵M,N 分别是 AD,BC 的中点 ,∴AM=NC, ∴△MBA≌△NDC ； (2) 四边形 MPNQ 是菱形 . 理由 :∵△MBA≌△NDC, ∴MB=DN,∠ABM=∠CDN. ∵P,Q 分别是 BM,DN 的中点 , ∴PM=NQ. ∵∠ABM+∠CBM=90°,∠CDN+∠CND=90°, ∴∠CBM=∠CND, ∴PM∥NQ, ∴ 四边形 MPNQ 是平行四边形 . 连结 MN, 由题意可得四边形 AMNB 是矩形 ,PN 为直角三角形斜边 上的中线 , 故 PN=MP, ∴ 四边形 MPNQ 是菱形 . 菱形的判定的应用 【 例 2】(6 分 ) 两个全等的直角三角形重叠放在直线 l 上 , 如图 (1),AB=6 cm,BC=8 cm,∠ABC=90°, 将 Rt△ABC 在直线 l 上左 右平移 , 如图 (2) 所示 . (1) 求证 : 四边形 ACFD 是平行四边形； (2) 怎样移动 Rt△ABC, 使得四边形 ACFD 为菱形 . 【 规范解答 】 (1)∵ 四边形 ACFD 为 Rt△ABC 平移形成的 , ∴AD∥CF,AC∥DF, …………………………………………… 2 分 ∴四边形 ACFD 为平行四边形； ……………………………… 3 分 易错提醒 : 移动 Rt△ABC 时 , 可以左右移动 , 是两种情况 . (2) 当 AD=AC 时 , 四边形 ACFD 为菱形 , ………………………… 4 分 在 Rt△ABC 中 , AB=6 cm,BC=8 cm,∠ABC=90° 根据勾股定理求得 AC=10 cm, ……………………………… 5 分 ∴将 Rt△ABC 向左、右平移 10 cm, 均可使得四边形 ACFD 为菱形 ……………………………………………………………… 6 分 【 互动探究 】 1. 例题如果将 Rt△ABC 沿 AB 所在的边上下移动 , 会得到平行四边形吗 ? 提示： 会 . 2. 将 Rt△ABC 沿 AB 所在的边上下移动多少四边形将变为菱形 ? 提示： 10 cm. 【 规律总结 】 证明菱形的两种方法 【 跟踪训练 】 4. 如图 , 小聪在作线段 AB 的垂直平分线时 , 他 是这样操作的 : 分别以 A 和 B 为圆心 , 大于 的长为半径画弧 , 两弧相交于 C,D, 则直线 CD 即为所求 . 根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是 ( ) (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 正方形 (D) 等腰梯形 【 解析 】 选 B.∵ 分别以 A 和 B 为圆心 , 大于 的长为半径画 弧 , 两弧相交于 C,D,∴AC=AD=BD=BC, ∴ 四边形 ADBC 一定是菱形 , 故选 B. 5. 下列命题中 : ① 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 ②两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形 ③两条对角线互相平分的四边形是菱形 ④两条对角线相等的四边形是菱形 真命题为 ______( 填序号 ). 【 解析 】 命题①和④只能说明是一般四边形；命题②两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 , 又对角线互相垂直可以确定为菱形；命题③为平行四边形 . 答案： ② 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°, ∠BAC=60° ， DE 垂直平分 BC, 垂足为 D ， 交 AB 于点 E, 又点 F 在 DE 的延长线上， 且 AF=CE, 求证：四边形 ACEF 是菱形 . 【 证明 】 ∵DE 垂直平分 BC, ∴EB=EC. 又∵∠ BAC=60°, ∴∠ECB=∠ABC=30°.∴∠ACE=60°. ∴△ACE 为等边三角形，∴ AC=CE=AE. 又 CE=AF,∴AC=CE=AF=AE. 又 DF∥AC,∴∠AEF=∠BAC=60°, ∴△AEF 为等边三角形，∴ AF=EF. ∴AC=CE=EF=FA,∴ 四边形 ACEF 是菱形 . 1. 如图 , 在菱形 ABCD 中 ,E,F,G,H 分别是菱形四边的中点 , 连接 EG 与 FH 交于点 O, 则图中共有菱形 ( ) (A)4 个 (B)5 个 (C)6 个 (D)7 个 【 解析 】 选 B. 由菱形的性质可知 ,AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE =OE=OG=OH=OF,∴ 四边形 AEOH,HOGD,EOFB,OFCG 和 ABCD 均为菱形 , 共 5 个 . 故选 B. 2. □ ABCD 的对角线相交于点 O, 分别添加下列条件 : ①AC⊥BD ；② AB=BC ；③ AC 平分∠ BAD ；④ AO=DO, 使得 □ ABCD 是菱形的条件有 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 【 解析 】 选 C. 根据菱形的判定定理 ,①AC⊥BD ；② AB=BC ； ③ AC 平分∠ BAD 可以判定 □ ABCD 为菱形 . 3. 如图 , 在等腰梯形 ABCD 中 ,AB∥DC,AD=BC=CD, 点 E 为 AB 上一点 , 连接 CE. 请添加一个你认为合适的条件 _________, 使四边形 ADCE 为菱形 . 【 解析 】 可添加的条件为 AE=AD 或∠ CEB=∠B 等 . 以∠ CEB=∠B 为例进行说明 : 证明 :∵∠CEB=∠B,∴BC=CE=AD ； ∵四边形 ABCD 是等腰梯形 ,∴∠DAB=∠CEB=∠B ； ∴ AD CE, 即四边形 AECD 是平行四边形； 又∵ AD=DC,∴ 平行四边形 ADCE 是菱形 . 答案： AE=AD 或∠ CEB=∠B( 答案不唯一 ) 4. 如图，在 □ ABCD 中， AD⊥BD ， E,F 分别为边 AB ， CD 的中点， 连接 DE ， BF ， BD. 四边形 BFDE 的形状是 ________. 【 解析 】 四边形 ABCD 是平行四边形→ →四边形 BFDE 是平行四边形 →四边形 BFDE 是菱形 . 答案： 菱形 5.(2012· 恩施中考 ) 如图，在△ ABC 中， AD⊥BC 于 D ，点 D ， E ， F 分别是 BC,AB,AC 的中点 . 求证 : 四边形 AEDF 是菱形 . 【 证明 】 ∵ 点 D ， E ， F 分别是 BC,AB,AC 的中点 . ∴DE∥AC ， DF∥AB, ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . 又∵ AD⊥BC ， BD=DC, ∴AB=AC, ∴AE=AF, ∴ 平行四边形 AEDF 是菱形 .