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- 2021-11-01 发布
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第十八章 平行四边形周周测 9
一 选择题
1.下 列 命 题 中 ,真 命 题 是 ( )
A. 对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形
B.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形
C.对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2.下列命题中,不正确的是( )
A.有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D.对角线相等的菱形是正方形
3.已知▱ ABCD 的周长为 32,AB=4,则 BC=( )
A.4 B.12 C.24 D.28
4.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,∠ABC 的平分线交 AD 于点 F,
若 BF=12,AB=10,则 AE 的长为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
5.如图,将▱ ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连
接BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图,在菱形 ABCD 中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F 为垂足,AE=ED ,则∠EBF 等于( )
A.75° B.60° C.50° D.45°
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7.如图,在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则△DEF周长为
( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,对角线 AC=6.若过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,则 AE 的长为
( )
A.4 B.2.4 C.4.8 D.5
9.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为 2.5m)围成的花坛,如图中的阴影部分
所示,校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示,并在新扩充的部
分种上草坪,则扩建后菱形区域的周长为( )
A.20m B.25m C.30m D.35m
10.如图,菱形 ABCD 中,∠B=60°,AB=4,则以 AC 为边的正方形 ACEF 的周长为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
11.如图,菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点,点 A 的坐标为(a,2),点 B 的坐标为(﹣1,
﹣ ),点 C 的坐标为(2 ,c),那么 a,c 的值分别是( )
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A.a=﹣1,c=﹣ B.a=﹣2 ,c=﹣2 C.a=1,c= D.a=2 ,c=2
12.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结
论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,正确的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二 填空题
13.如图,两个完全相同的三角尺 ABC 和 DEF 在直线 l 上滑动.要使四边形 CBFE 为菱形,还需
添加的一个条件是________(写出一个即可).
14.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 中点,若 CD=5,
则 EF 长为 .
15.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,点E是BC边上的一点,连接AE,把∠B沿AE
折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE长为________.
16.如图,菱形 ABCD 中,AB=4,∠B=60°,E,F 分别是 BC,DC 上的点,∠EAF=60°,
连接 EF,则△AEF 的面积最小值是 .
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17.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿
直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为
______个.
18.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 10,点 P 是对角线 BD 上的一个动点,M、N 分别是
BC、CD 边上的中点,则 PM+PN 的最小值是___________.
三 作图题
19.如图,将四边形 ABCD 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A.B、C、D 均落在
格点上.
(Ⅰ)计算 AD2+DC2+CB2 的值等于 ;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以 AB 为一边的矩形,使该矩形
的面积等于 AD2+DC2+CB2,并简要说明画图方法(不要求证明).
四 解答题
20.如图,点 E、F 为线段 BD 的两个三等分点,四边形 AECF 是菱形.
(1)试判断四边形 ABCD 的形状,并加以证明;
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(2)若菱形 AECF 的周长为 20,BD 为 24,试求四边形 ABCD 的面积.
21.如图,已知在▱ ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BF=DE.求证:AE=CF.
22.如图,在△ABC 中,AB=BC,BD 平分∠ABC.四边形 ABED 是平行四边形,DE 交 BC
于点 F,连接 CE.求证:四边形 BECD 是矩形.
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23.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D,交 AB 于 E,F 在
DE 上,并且 AF=CE.
(1)求证:四边形 ACEF 是平行四边形;
(2)当∠B 满足什么条件时,四边形 ACEF 是菱形?请回答并证明你的结论.
24.将矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求证:四边形AECF为菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长;
(3)在(2)的条件下折痕EF的长.
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25.如图,已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,E 是 BO 的中点,过 B 点作 AC
的平行线,交 CE 的延长线于点 F,连接 BF
(1)求证:FB=AO;
(2)当平行四边形 ABCD 满足什么条件时,四边形 AFBO 是菱形?说明理由.
26.如图,△ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠ACB 的平分
线于点 E,交∠ACB 的外角平分线于点 F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若 CE=12,CF=5,求 OC 的长;
(3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?并说明理由.
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第十八章 平行四边形周周测 9 试题答案
1.C. 2.B.3.B. 4.A 5.C; 6.C 7.C; 8.B. 9.C 10.C. 11. 12.C.
13.C;B=BF 或 BE⊥CF 或∠EBF=60°或 BD=BF(答案不唯一)
14.5 15. 3 或 1.5 16. . 17. 3 18.10
19.解:(1)∵AD2=32+12=10,DC2=32+12=10,CB2=12+12=2,
∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22,故答案为:22;
(2)如图,以 AB 为边做正方形 ABGH,再作平行四边形 HMNG,直线 MN 交 AH 于点 Q,
交 GB 于点 P,矩形 ABPQ 即为所求.理由是:∵S▱ HMNG=2×6﹣2×( +1+ ×5×1)=4,
∴S 矩形 HQNG=S▱ HMNG=4,
∵S 正方形 ABGH=( )2=26,∴S 矩形 ABPQ=26﹣4=22,所以画出的矩形 ABPQ 的面积等于
AD2+DC2+CB2.
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20.解:(1)四边形 ABCD 为菱形.理由如下:如图,连接 AC 交 BD 于点 O,
∵四边形 AECF 是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,
又∵点 E、F 为线段 BD 的两个三等分点,∴BE=FD,∴BO=OD,
∵AO=OC,∴四边形 ABCD 为平行四边形,∵AC⊥BD,∴四边形 ABCD 为菱形;
(2)∵四边形 AECF 为菱形,且周长为 20,∴AE=5,∵BD=24,∴EF=8,OE= EF= ×8=4,
由勾股定理得,AO= = =3,∴AC=2AO=2×3=6,
∴S 四边形 ABCD= BD•AC= ×24×6=72.
21.证明:连接AC交BD于点O,连接AF、CE
∵▱ ABCD∴OA=OC,OB=OD ∵OF=BF﹣OB,OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF
∵OA=OC,OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF
22.证明:∵AB=BC,BD 平分∠ABC,∴BD⊥AC,AD=CD.
∵四边形 ABED 是平行四边形,∴BE∥AD,BE=AD,∴BE=CD,
∴四边形 BECD 是平行四边形.∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∴▱ BECD 是矩形.
23.解:(1)∵ED 是 BC 的垂直平分线∴EB=EC,ED⊥BC,∴∠3=∠4,
∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,
∵∠2 与∠4 互余,∠1 与∠3 互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,
又∵AF=CE,∴△ACE 和△EFA 都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,
∴在△EFA 和△ACE 中∵∠1=∠5,∠2=∠F,AF=CE,∴△EFA≌△ACE(AAS),
∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形 ACEF 是平行四边形;
(2)当∠B=30°时,四边形 ACEF 是菱形.证明如下:
∵∠B=30°,∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC
∴平行四边形 ACEF 是菱形.
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24.
25.证明:(1)如图,取 BC 的中点 G,连接 EG.
∵E 是 BO 的中点,∴EG 是△BFC 的中位线,∴EG=0.5BF.同理,EG=0.5OC,∴BF=OC.
又∵点 O 是▱ ABCD 的对角线交点,∴AO=CO,∴BF=AO.
又∵BF∥AC,即 BF∥AO,∴四边形 AOBF 为平行四边形,∴FB=AO;
(2)当平行四边形 ABCD 是矩形时,四边形 AFBO 是菱形.理由如下:
∵平行四边形 ABCD 是矩形,∴OA=OB,∴平行四边形 AFBO 是菱形.
26.(1)证明:∵MN 交∠ACB 的平分线于点 E,交∠ACB 的外角平分线于点 F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF;
(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=12,CF=5,∴EF= =13,∴OC= EF=6.5;
(3)解:当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形.
证明:当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形 AECF 是平行四边形,
∵∠ECF=90°,∴平行四边形 AECF 是矩形.
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