八年级数学下册第1章直角三角形1-4角平分线的性质课件（湘教版） 23页

1.4 角平分线的性质 1. 在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质 . 2. 提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用 . 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角 . 你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 对折 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中 AB=AD ， BC=DC. 将点 A 放在角的顶点， AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE ， AE 就是∠ DAB 的平分线 . 你能说明它的道理吗？ B D A C E 【 证明 】 在△ ACD 和△ ACB 中 AD=AB （已知）， DC=BC （已知）， CA=CA （公共边）， ∴ △ ACD≌ △ACB （ SSS ）， ∴∠ CAD=∠CAB （全等三角形的对应角相等）， ∴ AC 平分∠ DAB （角平分线的定义） . B D A C E 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） 尺规作角的平分线 画法： 1. 以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 M ，交 OB 于 N ． 2. 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 的内部交于Ｃ． 3. 作射线 OC ． 射线 OC 即为所求． O A B N M C 证明 : 连接 MC,NC 由作法知 : 在△ OMC 和△ ONC 中 　　　 OM=ON ， 　　　 MC=NC ， 　　　 OC=OC ， ∴△OMC≌△ONC(SSS) ， ∴∠AOC=∠BOC ， 即 OC 是∠ＡＯＢ的平分线 . 为什么 OC 是∠ AOB 的平分线 ? O A B N M C 将∠ AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 猜想 : 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 探究活动 证明 : ∵ Ｏ C 平分∠ＡＯＢ , P 是 OC 上一点（已知）， ∴∠ D Ｏ P=∠B Ｏ P （角平分线定义）， ∵ PD⊥OA,PE⊥OB （已知）， ∴∠ ODP=∠OEP=90° （垂直的定义）， 在△ OPD 和△ OPE 中 　∠ DOP=∠EOP （已证）， 　∠ ODP=∠OEP （已证）， 　　　 OP=OP 　　（已知）， ∴ △ OPD≌△OPE(AAS) ， ∴PD ＝ PE （全等三角形对应边相等） . 已知： OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD⊥OA 于 D ， PE⊥OB 于 E ， 求证 : PD=PE. P A O B C E D 1 2 验证 定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ， PE ⊥OB ∴PD=PE. P A O B C E D 1 2 角的平分线的性质 　　 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 m ，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000 ） 【 跟踪训练 】 S D C S 【 解析 】 作夹角的角平分线 OC ，截取 OD=2.5cm ,D 即为所求 . O 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图 ,QD⊥OA ， QE⊥OB ， 点 D 、 E 为垂足， QD ＝ QE ． 求证：点 Q 在∠ AOB 的平分线上． 证明 : ∵ QD⊥OA ， QE⊥OB ， 　∴ ∠ QDO ＝∠ QEO ＝ 90° （垂直的定义） . 在 Rt△QDO 和 Rt△QEO 中 　 QO ＝ QO （公共边）， QD=QE （已知）， ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO （ HL ）， 　∴ ∠ QOD ＝∠ QOE ， ∴ 点 Q 在∠ AOB 的平分线上 . 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 . ∵ QD⊥OA ， QE⊥OB ， QD ＝ QE ． ∴点 Q 在∠ AOB 的平分线上． 用数学语言表示为： 结论 (1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ， ∴___________ (________________________________________). (2)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ， ∴__________ (________________________________________________). A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【 跟踪训练 】 1. 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 ,AD 是它 的角平分线 , 且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是 E,F. 求证 :EB=FC. B A E D C F 【 证明 】 根据角的平分线的性质得 DE=DF ，再根据 HL 证明△ BED≌△CFD, 从而得到 EB=FC. 2. 直线表示三条相互交叉的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 则可供选择的地址有 :( )A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【 解析 】 选 D. 由于没有限制在何处选址 , 故要求的地址共有四处 , 在各自夹角的平分线上，即： A 、 B 、 C 、 D 各一处 . A D C B 3. （宁德 · 中考）如图，已知 AD 是△ ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ AED≌△AFD ，需添加一个条件是： _______________ ，并给予证明 . B D A E F c 【 解析 】 解法一： 添加条件： AE ＝ AF. 在△ AED 与△ AFD 中， ∵ AE ＝ AF ，∠ EAD ＝∠ FAD ， AD ＝ AD ， ∴△ AED≌△AFD （ SAS ） . 解法二： 添加条件：∠ EDA ＝∠ FDA. 在△ AED 与△ AFD 中， ∵∠ EAD ＝∠ FAD ， AD ＝ AD ，∠ EDA ＝∠ FDA ， ∴△ AED≌△AFD （ ASA ） . 1. 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 . 通过本课时的学习，需要我们掌握： 时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数” . 用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多 59 倍 . —— 雷巴柯夫