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- 2021-11-06 发布
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相似形
1. 如图,D、E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是
A.1 B.2
C.3 D.4
2. 如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有
A.3对 B.5对
C.6对 D.8对
3. 若△ABC~△A′B'C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A'B′C'的周长的比为
A.2∶1 B.1∶2
C.4∶1 D.1∶4
4. 如图,在矩形ABCD中,E为AB中点,以BE为边作正方形BEFG,边EF交CD于点H,在边BE上取点M使BM=BC,作MN∥BG交CD于点L,
交FG于点N,欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,现以点F为圆心,FE为半径作圆弧交线段DH于点P,连结EP,记△EPH的面积为S1,图中阴影部分的面积为S2.若点A,L,G在同一直线上,则的值为
A. B.
C. D.
5. 如图,在中,分别是边上的点,,若,则等于
A.5 B.6
C.7 D.8
6. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边
上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则
A. B.
C. D.
7. 如图ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使,连接EF交DC于点G,则=
A.2∶3 B.3∶2
C.9∶4 D.4∶9
8. 在某一时刻,测得一根高为的竹竿的影长为,同时同地测得一栋楼的影长为,则这栋楼的高度为__________m.
9. 如图,在等腰中,,,点在边上,,点在边上,,垂足为,则长为__________.
10. 如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,DE=2,BC=6,则EF=__________.
11. 如图,平面直角坐标系中,矩形的边分别在轴,轴上,点的坐标为,点在矩形的内部,点在边上,满足∽,当是等腰三角形时,点坐标为__________.
12. 在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为__________.
13. 在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m,则这栋楼的高度为__________m.
14. 如图,和是有公共顶点的等腰直角三角形,.
(1)如图1,连接,,的廷长线交于点,交于点,求证:;
(2)如图2,把绕点顺时针旋转,当点落在上时,连接,,的延长线交于点,若,,求的面积.
15. △ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1∶2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
16. 根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似;(__________命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(__________命题)
③两个大小不同的正方形相似.(__________命题)
(2)如图1,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,=.求证:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求的值.
17. 小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
(1)温故:如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=a,AD=h,求正方形PQMN的边长(用a,h表示).
(2)操作:如何画出这个正方形PQMN呢?
如图2,小波画出了图1的△ABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:先在AB上任取一点P',画正方形P'Q'M'N',使点Q',M'在BC边上,点N'在△ABC内,然后连结BN',并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN.
(3)推理:证明图2中的四边形PQMN是正方形.
(4)拓展:小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”,在该线上截取NE=NM,连结EQ,EM(如图3),当∠QEM=90°时,求“波利亚线”BN的长(用a,h表示).
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
答案
1. C
2. C
3. B
4. C
5. B
6. C
7. D
8. 54
9.
10. 4
11. 或
12. (2,1)或(-2,-1)
13. 54
14. (1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形,,
∴,,,
即,
在与中,,
∴,∴,
∵,
∴,∴.
(2)在与中,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴的面积.
15. ①如图,△A1B1C为所作,点A1的坐标为(3,-3).
②如图,△A2B2C为所作.
③OB=,
点B经过的路径长=.
16. (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.
②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.
③两个大小不同的正方形相似.是真命题.故答案为:假,假,真.
(2)如图1中,连接BD,B1D1.
∵∠BCD=∠B1C1D1,且,
∴△BCD∽△B1C1D1,
∴∠CDB=∠C1D1B1,∠C1B1D1=∠CBD,
∵,∴,
∵∠ABC=∠A1B1C1,
∴∠ABD=∠A1B1D1,
∴△ABD∽△A1B1D1,
∴,∠A=∠A1,∠ADB=∠A1D1B1,
∴,∠ADC=∠A1D1C1,∠A=∠A1,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)∵四边形ABCD与四边形EFCD相似.
∴,
∵EF=OE+OF,∴,
∵EF∥AB∥CD,
∴,∴,∴,
∵AD=DE+AE,
∴,
∴2AE=DE+AE,
∴AE=DE,∴=1.
17. (1)如图1,由正方形PQMN得PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴,即,
解得PN.
(3)证明:由画法得,∠QMN=∠PNM=∠POM=90°,
∴四边形PQMN为矩形,
∵N'M'⊥BC,NM⊥BC,
∴NM'∥NM,
∴△BN'M'∽△BNM,
∴,同理可得,
∴.
∵N′M′=P′N′,∴NM=PN,
∴四边形PQMN为正方形.
(4)如图2,过点N作NR⊥ME于点R.
∵NE=NM,∴∠NEM=∠NME,
∴ER=RM=EM,
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°,
∴∠EQM=∠EMN.
又∠QEM=∠NRM=90°,NM=QM,
∴△EQM≌△RMN(AAS),
∴EQ=RM,
∴EQ=EM,
∵∠QEM=90°,∴∠BEQ+∠NEM=90°,
∴∠BEQ=∠EMB,
又∵∠EBM=∠QBE,
∴△BEQ∽△BME,
∴.
设BQ=x,则BE=2x,BM=4x,
∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE,
∴BN=BE+NE=5x,
∴BN=NM=.