【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-20 勾股定理（基础）（教师版） 14页

专题 20 勾股定理（专题测试-基础） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2017·山东中考模拟）如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿 AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解析】 试题解析：易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F=BF， 设 D′F=x，则 AF=8-x， 在 Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42， 解之得：x=3， ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= 1 2 •AF•BC=10． 故选 B． 2．（2016·山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12cm，底面周长为 10cm， 在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( ) A．13cm B．2 㜠 cm C． 㜠 cm D．2 cm 【答案】A 【解析】 试题解析：如图： ∵高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处， ∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 即为最短距离， A′B= 㜠 㜠 （cm）． 故选 A． 3．（2019·吉林中考模拟）如图，在▱ABCD 中，连接 AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则 BC 的长是 ( ) A． 2 B．2 C．2 2 D．4 【答案】C 【详解】 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB= 2 ，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°， ∴AC=CD= 2 ，∠ACD=90°，即△ACD 是等腰直角三角形， ∴BC=AD=    2 2 2 2 =2． 故选 B． 4．（2019·江苏中考模拟）如图，字母 B 所代表的正方形的面积是 ( ) A．12 B．144 C．13 D．194 【答案】B 【详解】 如图， 根据勾股定理我们可以得出： a2+b2＝c2 a2＝25，c2＝169， b2＝169﹣25＝144， 因此 B 的面积是 144． 故选 B． 5．（2015·河北中考模拟）在△ABC 中，若 AC=15，BC=13，AB 边上的高 CD=12，则△ABC 的周长为（ ） A．32 B．42 C．32 或 42 D．以上都不对 【答案】C 【解析】 试题分析：∵AC=15，BC=13，AB 边上的高 CD=12， ∴AD= 㜠 㜠 ， BD= 㜠 㜠 ， 如图 1，CD 在△ABC 内部时，AB=AD+BD=9+5=14， 此时，△ABC 的周长=14+13+15=42， 如图 2，CD 在△ABC 外部时，AB=AD-BD=9-5=4， 此时，△ABC 的周长=4+13+15=32， 综上所述，△ABC 的周长为 32 或 42． 故选 C． 6．（2018·江苏中考模拟）如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过 A、B、C 三点的平面截这个正方体，所 得截面的周长是（ ） A．2cm B．3 2 cm C．6cm D．8cm 【答案】C 【详解】 在正方体中，AB=BC=AC． ∵根据勾股定理得到 AB= 2 2( 2) ( 2) =2（cm）， ∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm， 即截面的周长为 6cm． 故选：C． 7．（2018·广东中考模拟）如图，一只蚂蚁从长、宽都是 3cm，高是 8cm 的长方体纸盒的 A 点沿纸盒面爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是( ) A．(3 2 +8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定 【答案】B 【解析】 试题解析： 如图(1)所示：  223 8 3 130.AB     如图(2)所示： 2 26 8 10.AB    由于 130 10 ， 所以最短路径为 10. 故选 B. 8．（2017·四川中考真题）如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（ ） A．（1，1） B．（ ，1） C．（ ， ） D．（1， ） 【答案】D 【解析】 如图所示，过 B 作 BC⊥AO 于 C，则∵△AOB 是等边三角形，∴OC= AO=1，∴Rt△BOC 中， BC= = ，∴B（1， ），故选 D． 9．（2019·湖北中考模拟）如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.5 米，则梯子顶端 A 下落了（ ）米． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】A 【解析】 详解：在 Rt△ABC 中，AB=2.5 米，BC=1.5 米， 故 AC= 2 2AB BC = 2 22.5 1.5 =2 米． 在 Rt△ECD 中，AB=DE=2.5 米，CD=（1.5+0.5）米， 故 EC= 2 2DE CD = 2 22.5 2 =1.5 米， 故 AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5 米． 故选 A． 10．（2018·云南中考模拟）如图，在△ABC 中，∠B=∠C，AD 平分∠BAC，AB=5，BC=6，则 AD 等于 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 ∵ ,B C   AB=AC，AD 平分 BAC ， ∴AD⊥BC，点 D 是 BC 中点， ∴ 90ADB   ， ∴ 1 32BD BC  ， 在 Rt△ADB 中，AB=5， ∴ 2 2 4AD AB BD   ， 故选 B. 11．（2018·广东中考模拟）已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与 点 D 重合，折痕为 EF，则△ABE 的面积为（ ） A． 23cm B． 24cm C． 26cm D． 212cm 【答案】C 【详解】 由折叠的性质可得 DE=BE， 设 AE=xcm ，则 BE=DE=（9-x）cm， 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：32+ x2=（9-x）2 解得：x=4， ∴AE=4cm， ∴S△ABE= 1 2 ×4×3=6（cm2）， 故选 C． 12．（2013·贵州中考真题）有一直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ） A．5 B．5 或 7 C． 7 D． 5 【答案】B 【详解】 ①长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时： 第三边的长为： 2 24 -3 = 7 ； ②长为 3、4 的边都是直角边时： 第三边的长为： 2 24 +3 =5； 综上，第三边的长为：5 或 7 ． 故选 B． 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体纸盒内可完全放入的 棍子最长是_________ cm． 【答案】13 【解析】 如图所示： BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm， 连接 BD、AD， 在 Rt△BCD 中，BD= 2 2BC CD =5cm， 在 Rt△ABD 中，AD= 2 2AB BD =13cm． 故这个盒子最长能放 13cm 的棍子． 故答案为：13． 14．（2019·四川中考模拟）已知直角三角形的两边长分别为 3、4．则第三边长为________． 【答案】5 或 7 【解析】 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论： ①长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时：第三边的长为： 2 24 3 7  ； ②长为 3、4 的边都是直角边时：第三边的长为： 2 24 3 5  ； ∴第三边的长为： 7 或 5． 15．（2019·山东中考模拟）如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点．若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于 ． 【答案】8． 【详解】 ∵△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点，DE=5， ∴DE= 1 2 AC=5， ∴AC=10． 在直角△ACD 中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得 2 2 2 210 6 8CD AC AD     ． 故答案是：8． 16．（2018·湖北中考真题）为了比较 5 +1 与 10 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°， BC=3，D 在 BC 上且 BD=AC=1．通过计算可得 5 +1_____ 10 ．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD= 2 2CD AC = 5 ，AB= 2 2AC BC = 10 ， ∴BD+AD= 5 +1， 又∵△ABD 中，AD+BD＞AB， ∴ 5 +1＞ 10 ， 故答案为：＞． 17．（2018·江苏中考模拟）如图，已知长方体的三条棱 AB、BC、BD 分别为 4，5，2，蚂蚁从 A 点出发沿 长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方是_____. 【答案】61 【解析】 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65; 如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85; 如图:AM2=52+(4+2)2=61. ∴蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方是:61. 故答案为:61. 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2018·江西中考模拟）如图，△AOB，△COD 是等腰直角三角形，点 D 在 AB 上， （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若 AD=3，BD=1，求 CD． 【答案】(1)见解析；（2） 10 【解析】 （1）∵△AOB，△COD 是等腰直角三角形， ∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD， 在△AOC 和△BOD 中 OA OB AOC BOD OC OD       ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）； （2）∵△AOB，△COD 是等腰直角三角形， ∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠B=∠OAB=45°， ∵△AOC≌△BOD，BD=1， ∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°， ∵∠OAB=45°， ∴∠CAD=45°+45°=90°， 在 Rt△CAD 中，由勾股定理得：CD= 2 2 2 21 3 10AC AD    ． 19．（2018·云南中考模拟）如图，在△ABC 中，AD=15，AC=12，DC=9，点 B 是 CD 延长线上一点，连接 AB，若 AB=20． 求：△ABD 的面积． 【答案】42. 【解析】 解：在△ADC 中，AD=15，AC=12，DC=9， AC2+DC2=122+92=152=AD2， 即 AC2+DC2=AD2， ∴△ADC 是直角三角形，∠C=90°， 在 Rt△ABC 中，BC= = =16， ∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7， ∴△ABD 的面积= ×7×12=42． 20．（2018·湖北中考真题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码 20 层！”小华却 不以为然：“20 层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没 问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选 A、B 两点，测量数据如图，其中矩形 CDEF 表示 楼体，AB=150 米，CD=10 米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B 四点在同一直线上）问： （1）楼高多少米？ （2）若每层楼按 3 米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据： 2 ≈1.73， 5 ≈1.41， ≈2.24） 【答案】（1）55.1（2）详见解析 【详解】 解：（1）设楼高为 x 米，则 CF=DE=x 米， ∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC= 3 x 米，BD=x 米． ∴ 3 x+x=150﹣10，解得    140x 70 3 1 70 1.73 1 70 0.73 51.1 3 1          （米）． ∴楼高 51.1 米． （2）∵51.1 米＜3×20 米， ∴我支持小华的观点，这楼不到 20 层． 21．（2017·重庆市兼善中学中考模拟）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20 /km h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 60AD km . （1）求台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？ （2）如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台 风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1)4 小时 (2)2.5 【解析】 (1)∵AB=100km，AD=60km， ∴在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得 BD= 2 2AB AD =80km， ∴台风中心经过 80÷20=4 小时从 B 移动到 D 点； (2)如图，∵距台风中心 30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴人们要在台风中心到达 E 点之前撤离， ∵BE=BD-DE=80-30=50km， ∴游人在 50÷20=2.5 小时内撤离才可脱离危险．