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- 2021-11-10 发布
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3.4~3.7
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.如图G-3-1,在⊙O中,=,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )
A.40° B.30°
C.20° D.15°
2.在同圆或等圆中,下列说法错误的是( )
A.相等的弦所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
图G-3-1
图G-3-2
3.如图G-3-2,在两个同心圆中,大圆的半径OA,OB,OC,OD分别交小圆于点E,F,G,H,∠AOB=∠GOH,则下列结论中,错误的是( )
A.EF=GH B.=
C.∠AOC=∠BOD D.=
4.已知正六边形的边长为2,则它的外接圆的半径为( )
A.1 B. C.2 D.2
5.在如图G-3-3所示的暗礁区,两灯塔A,B之间的距离恰好等于圆的半径,为了使航船(S)不进入暗礁区,那么S对两灯塔A,B的视角∠ASB必须( )
11
A.大于60° B.小于60°
C.大于30° D.小于30°
图G-3-3
图G-3-4
6.如图G-3-4,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )
A.②④⑤⑥ B.①③⑤⑥
C.②③④⑥ D.①③④⑤
二、填空题(每小题4分,共24分)
7.如图G-3-5,AB是⊙O的直径,AC=BC,则∠A=________°.
图G-3-5
图G-3-6
8.如图G-3-6,在⊙O的内接四边形ABCD中,点E在DC的延长线上.若∠A=50°,则∠BCE=________°.
9.如图G-3-7,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点.若BC=6,AB=10,OD⊥BC于点D,则OD的长为________.
11
图G-3-7
图G-3-8
10.用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图G-3-8所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=________°.
11.如图G-3-9,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连结OB,OC.若∠BAC和∠BOC互补,则弦BC的长度为________.
图G-3-9
图G-3-10
12.如图G-3-10,已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O,则B,D两点间的距离为__________.
三、解答题(共52分)
13.(12分)如图G-3-11所示,⊙O的直径AB长为6,弦AC长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求四边形ADBC的面积.
图G-3-11
11
14.(12分)如图G-3-12,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E,连结DB.
(1)求证:DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC的外接圆半径.
图G-3-12
15.(12分)作图与证明:如图G-3-13,已知⊙O和⊙O上的一点A,请完成下列任务:
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF;
(2)连结BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.
图G-3-13
11
16.(16分)如图G-3-14,正方形ABCD内接于⊙O,E为上任意一点,连结DE,AE.
(1)求∠AED的度数;
(2)如图②,过点B作BF∥DE交⊙O于点F,连结AF,AF=1,AE=4,求DE的长.
图G-3-14
11
详解详析
1.C 2.A 3.D 4.C 5.D
6.D [解析] ∵AB是⊙O的直径,∴∠D=90°,即AD⊥BD,∴①正确;
∵OC∥BD,∴∠C=∠CBD.
又∵OB=OC,∴∠C=∠OBC,
∴∠OBC=∠CBD,即BC平分∠ABD,
∴③正确;
∵∠D=90°,OC∥BD,
∴∠CFD=∠D=90°,
即OC⊥AD,∴AF=DF,∴④正确;
又∵AO=BO,∴OF是△ABD的中位线,
∴OF=BD,即BD=2OF,∴⑤正确.故选D.
7.45 [解析] ∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°.
∵AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=(180°-∠C)=45°.
8.50
9.4 [解析] ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵BC=6,AB=10,∴AC==8.
∵OD⊥BC于点D,∴DB=DC.
又∵OA=OB,∴OD=AC=4.
10.36
11
11.4 [解析] ∵∠BAC+∠BOC=180°,
2∠BAC=∠BOC,
∴∠BOC=120°,∠BAC=60°.
过点O作OD⊥BC于点D,
则∠BOD=∠BOC=60°.
∵OB=4,
∴OD=2,
∴BD===2 ,
∴BC=2BD=4 .
12.4 [解析] 如图,连结OB,OC,OD,BD,BD交OC于点P,
∴∠BOC=∠COD=60°,
∴∠BOD=120°,=,
∴OC⊥BD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=30°.
∵OB=4,
∴PB=OB·cos∠OBD=OB=2 ,
∴BD=2PB=4 .
13.解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
11
在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,
∴BC===4 .
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,
∴∠DCA=∠BCD,
∴=,
∴AD=BD,
∴在Rt△ABD中,AD=BD=3 ,
∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=AC·BC+AD·BD=×2×4 +×3 ×3 =9+4 .
故四边形ADBC的面积是9+4 .
14.解:(1)证明:连结CD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BAD=∠CBD.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠ABE,
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.
又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,
∴∠DBE=∠BED,
∴DE=DB.
(2)∵∠BAC=90°,
∴BC是圆的直径,
∴∠BDC=90°.
11
∵AD平分∠BAC,BD=4,
∴BD=CD=4,
∴BC==4 .
∴△ABC的外接圆半径为2 .
15.解:(1)如图①,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交⊙O于点B,F,C,E,连结AB,BC,CD,DE,EF,AF,
则正六边形ABCDEF即为所求.
(2)四边形BCEF是矩形.
证明:如图②,连结OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,
∴===,
∴=,
∴BF=CE,
∴四边形BCEF是平行四边形.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠DEF=∠EDC=120°.
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE=30°,
∴∠CEF=∠DEF-∠DEC=90°,
∴平行四边形BCEF是矩形.
11
16.解:(1)如图①,连结OA,OD.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOD=90°,
∴∠AED=∠AOD=45°.
(2)如图②,连结CF,CE,CA,过点D作DH⊥AE于点H.
∵BF∥DE,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CDE.
∵∠CFA=∠AEC=90°,∠AED=∠BFC=45°,
∴∠DEC=∠AFB=135°.
又∵CD=AB,∴△CDE≌△ABF,
∴AF=CE=1,
∴AC==,
∴AD=AC=.
∵∠DHE=90°,
∴∠HDE=∠HED=45°,
∴DH=EH,设DH=EH=x,
在Rt△ADH中,
∵AD2=AH2+DH2,
11
∴=(4-x)2+x2,
解得x=或x=,
∴DE=DH=或.
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