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- 2021-11-10 发布
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例 如图,AD是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过C作AD的垂线,垂足为B,CB与⊙O相交于点E,AE平分∠CAB,且AE=2,求△ABC各边的长.
解:∵AD为⊙O的切线,∴∠BAE=∠C,
∵AE平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE,
又∵∠C+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°.
则有BE=1,AB=,BC=3,AC=2.
说明:此题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型.
例 (吉林省,2000)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长.
证明(1):∵XY是⊙O的切线,∴∠1=∠2
∵BD∥XY,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
∵∠3=∠4,∴∠2=∠4.
∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC.∴△ABE≌△ACD.
解(2):∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB
∴,∴,即.∵AB=AC=6,BC=4,∴.∴(cm)
说明:①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换;②建立方程求线段的长度.
例 如图,P为⊙O的直径CB延长线上的一点,A为⊙O上一点,若 = ,AE交BC于D,且∠C=∠PAD.
(1) 求证:PA为⊙O的切线;
(2) 若∠BEA=30°,BD=1,求AP及PB长。
证明(1):连结AO,∵ = ,BC为直径,
∴AE⊥BC,AD=DE, =
∵OA=OB,∴∠C=∠3,∴∠1=2∠C
又∵∠C=∠PAD,∴∠1=∠2
∵∠1 +∠4=90°,∴∠2 +∠4=90°,∴PA⊥OA
∴PA为⊙O的切线.
解(2):在Rt△EBD中,∵∠BEA=30°,BD=1. ∴BE=2,DE=
在Rt△ODA和Rt△EBD中
∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E,∠ODA=∠BDE,AD=ED
∴Rt△ODA≌Rt△EBD,∴AD=DE= ,OD=BD=1,OA= BE=2.
在Rt△OAP中,∵AD⊥OP,∴AD2=OD·DP,即=1·DP,∴DP=3,∴BP=2
在Rt△ADP中
根据勾股定理,得 AP=.
说明:此题为综合型题目.它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想.
典型例题四
例 如图,是的角平分线,以为弦的圆与相切于点,⊙交、于点、,求证:.
分析:要证乘积式,只需证比例式,应证
证明 连结,
⊙与相切于,
平分,
,又,
,故.
,即.
说明:本题思路明确,转证乘积式为比例式,但在创建平行线过程中,弦切角与圆周角的性质起到关键作用.
典型例题五
例 如图,为⊙的直径,过点作⊙的切线,交⊙于点,的延长线交于点,(1)求证:;(2)若厘米,求、的长.
分析:要证,即要证∽.
证明(1)连结.
∽
又,,
厘米.
说明:有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件.
典型例题六
例 如图,已知是圆的弦,,是圆的切线,并且与弦的延长线相交于点,求证:.
分析:欲证明乘积式,只需证比例式,只需证明∽.
证明 ,
,
又是圆的切线,
故∽,
,即.
说明:本题着重考查圆周角、弦切角以及创建相似三角形证明比例线段的基础知识和基本方法.本题是1996年上海中等学校招生试题,难度不大,但体现了证题的基本方法.
典型例题七
例 如图,已知为⊙的弦,切⊙于,于,于,于,求证:.
分析:要证,只需证,但要直接证明有困难,考虑通过过渡比来解决.
证明 连结、
说明:证明线段成比例,如果直接证明比较困难,就要想方设法找出过渡线段或过渡比,本例中的就是过渡比.
典型例题八
例 已知:如图,设是正三角形外接圆上的一点,交于.
求证:(1)
(2)
(3)
证明 (1)在上截取,连结.
是正三角形
又≌
,
.即
又,
是等边三角形
.
即
(2),,
∽,
即.
又,,
∽
由上所得:
又
即
又,
(3)由知,
等式两边同时除以,得:
由知,
即.
说明:本题利用圆中知识点,证明三角形相似,然后推出有关的比例式,证明结论.这是一道典型的综合题.有一定难度,望同学们多思考,多训练从而达到巩固知识,提高能力的目的.
典型例题九
例 如图,CD为⊙O的直径,AE切⊙O于B,DC的延长线交AB于A,.求:的度数.
解 连结CB.∵BE切⊙O于B,
∵CD为直径,
在中,
说明:本题考查弦切角性质,解题关键是连结BC,构造弦切角,易错点是不能正确作出辅助线.
典型例题十
例 (黑龙江省,1999)已知四边形ABCD为圆内接四边形,AD为圆的直径,直线MN切圆于B,DC的延长线交MN于G,若,则的值为多少?
解 连结BD.
∵MN为⊙O的切线,
为⊙O的直径,
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
说明:本题综合考查弦切角与三角函数知识,解题关键是连BD,构成直角三角形,易错点是记错特殊角的三角函数值.
典型例题十一
例 (北京市海淀区,2000)已知:如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,A是的中点,过A点的切线与CB的延长线相交于点E.(1)求证:;(2)若点E在CB延长线上运动,点A在上运动,使切线EA变为割线EFA,其它条件不变,问具备什么条件使原结论成立?(要画出示意图,注明条件,不要求证明).
证明 (1)连结AC.
∵A是的中点,∴
∴EA切⊙O于点A,点C在⊙O上,
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
解 (2)如图,具备条件(或或,或等),使原结论成立.
说明:本题主要考查弦切角的应用.解题关键是作辅助线,使构成的与相似,易错点是画不出或画错(2)小题的图形.
选择题
1.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为( )
(A)105° (B)115° (C)120° (D)125°
2.如图,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )
(A)2 (B)3 (C)2 (D)4
3.如图,直线切⊙于点,则图中的弦切角共有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,是⊙的直径,,是⊙的弦,是⊙的切线,切点为,,那么等于()
A. B. C. D.
5.如图,在⊙中,是弦,是⊙的切线,是切点,过作于,交⊙于点,若平分,则=()
A. B. C. D.
6.如图,⊙与⊙交于,,⊙的弦与⊙相切于点,⊙的弦与⊙相切于点,则下列结论中正确的是()
A. B. C. D.无法确定
7.如图,是⊙内接四边形两条对角线的交点,延长线与过点的⊙的切线交于点,若,,,则的度数为()
A. B. C. D.
8.如图,是⊙的直径,,是⊙的弦,是⊙的切线,切点为,,那么等于( ).
A. B. C. D.
9.如图,经过⊙上的点的切线和弦的延长线相交于点,若,,则所对的弧的度数为( ).
A. B. C. D.
10.过圆内接的顶点引切线交延长线于,若,,则为( ).
A. B. C. D.
11.过圆内接四边形的顶点引切线,为圆直径,若,则为( ).
A. B. C. D.
答案:
1.D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C. 8.B;9.C;10.A;11.B.
填空题
1.已知一个圆的弦切角等于50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 .
2.如图,AB是直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,若CD切⊙O于C点,则∠CAB的度数为 ,∠DCB的度数为 ,∠ECA的度数为 .
3.如图,,是⊙的两条切线,切点分别为、、是优弧上的点,已知,那么度。
4.如图,是⊙的弦,是⊙的切线,为上任一点,,那么=________
5. 如图,,切⊙于,两点,,且与⊙相交于,若,则=________
6.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,与⊙O切于C,那么度.
7.已知:一个圆的弦切角是50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________.
8.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,,则.
9.如图,中,,⊙O切AB于D,切BC于E,切AC于F,则.
10.如图,是⊙的直径,,是⊙上的点,,=,是⊙的切线,则的度数是_________.
11.是⊙的弦,是⊙的切线,为上任一点,,那么_________.
12.如图,是⊙的直径,,分别切⊙于,,若,则_________.
参考答案:
1. 100°
2. 30° 30° 60°
3. 50
4.
5.
6.30
7.100°
8.55°
9.45°.
10.;
11.或;
12.
解答题
1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB∥DE,AC切⊙O于A,交ED延长线于C.
求证:AE:AE=DC:BE
2.如图,PA切⊙O于A,PB交⊙O于B、C,若=,AE交BC于D,且∠BEA=30°,DB=1,求AP及PB长.
3.如图,四边形内接于⊙,过点的切线,与的延长线相交于点,求证:
4.如图,切⊙于,是直径,交 ⊙于,是切线,于,,。求的长。
5.如图,,,过点作圆的切线,若,求的度数。
6.如图,MN是⊙O的切线,切点为A,弦CD,弦AB交CD于点E.求证:.
7.已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,过点C的切线交AD的延长线于点E,且.
(1)求证:.
(2)若,求的正弦值.
8.已知,如图,在⊙中,是直径,是弦,直线切⊙于,长为,长为,求点到的距离.
9.已知:如图,是的角平分线,过,作圆与切于交于,于.求证:.
10.如图,的角平分线交外接圆于,为圆的切线,求证:到,的距离相等.
11.已知:如图,为⊙的直径,与⊙相切于点,交⊙于,.求证:.
12.已知:如图,圆内接中,,是圆的切线,与圆相交于点,连.求证:.
13.已知:如图,切⊙于,是割线,平分,平分.求证:.
14.已知:如图,是⊙的直径,切⊙于点,交⊙于点,的平分线分别交,于点,,交⊙于点,,并且线段,的长是一元二次方程的两根(为常数).
(1)求证:;
(2)求证:⊙的直径长为常数;
(3)求的值.
答案与提示:
1.提示:证△ACD∽△ABE即可.
2. 提示:如图,连结AC、AB,可证△ABP≌△ABE,再利用垂径定理和解三角形可得BP=2,AP=2
3.连结证明∽
4.连结
5.过作交于,
6.连结BC,证∽
7..(1)连结BD、OC相交于F,;(2)∽,
8.连.;9.连.证.
10.连.证.11.连,.证∽;12.连.证∽.
13.证为等腰三角形.
14.(1)证∽;
(2)证,得.∵,的长是两根,可得,即⊙的直径为常数.
(3)∵切⊙于,为直径,∴.
∵,∴.
∵,∴①.
∵②,∴,.∴.
在中,.
在中,.
∵,所以.