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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:弦切角

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例 如图,AD是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过C作AD的垂线,垂足为B,CB与⊙O相交于点E,AE平分∠CAB,且AE=2,求△ABC各边的长.‎ 解:∵AD为⊙O的切线,∴∠BAE=∠C,‎ ‎∵AE平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE,‎ 又∵∠C+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°.‎ 则有BE=1,AB=,BC=3,AC=2.‎ 说明:此题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型.‎ 例 (吉林省,2000)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△ACD;‎ ‎(2)若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长.‎ 证明(1):∵XY是⊙O的切线,∴∠1=∠2‎ ‎∵BD∥XY,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,‎ ‎∵∠3=∠4,∴∠2=∠4.‎ ‎∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC.∴△ABE≌△ACD.‎ 解(2):∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB ‎∴,∴,即.∵AB=AC=6,BC=4,∴.∴(cm)‎ 说明:①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换;②建立方程求线段的长度.‎ 例 如图,P为⊙O的直径CB延长线上的一点,A为⊙O上一点,若 = ,AE交BC于D,且∠C=∠PAD. ‎ (1) 求证:PA为⊙O的切线;‎ (2) 若∠BEA=30°,BD=1,求AP及PB长。‎ 证明(1):连结AO,∵ = ,BC为直径,‎ ‎∴AE⊥BC,AD=DE, = ‎ ‎∵OA=OB,∴∠C=∠3,∴∠1=2∠C 又∵∠C=∠PAD,∴∠1=∠2‎ ‎∵∠1 +∠4=90°,∴∠2 +∠4=90°,∴PA⊥OA ‎∴PA为⊙O的切线. ‎ ‎ 解(2):在Rt△EBD中,∵∠BEA=30°,BD=1. ∴BE=2,DE=‎ 在Rt△ODA和Rt△EBD中 ‎∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E,∠ODA=∠BDE,AD=ED ‎∴Rt△ODA≌Rt△EBD,∴AD=DE= ,OD=BD=1,OA= BE=2.‎ 在Rt△OAP中,∵AD⊥OP,∴AD2=OD·DP,即=1·DP,∴DP=3,∴BP=2 ‎ 在Rt△ADP中 根据勾股定理,得 AP=.‎ 说明:此题为综合型题目.它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想. ‎ 典型例题四 例 如图,是的角平分线,以为弦的圆与相切于点,⊙交、于点、,求证:.‎ 分析:要证乘积式,只需证比例式,应证 证明 连结,‎ ‎⊙与相切于,‎ 平分,‎ ‎,又,‎ ‎,故.‎ ‎,即.‎ 说明:本题思路明确,转证乘积式为比例式,但在创建平行线过程中,弦切角与圆周角的性质起到关键作用.‎ 典型例题五 例 如图,为⊙的直径,过点作⊙的切线,交⊙于点,的延长线交于点,(1)求证:;(2)若厘米,求、的长.‎ 分析:要证,即要证∽.‎ 证明(1)连结.‎ ‎∽‎ 又,,‎ 厘米.‎ 说明:有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件.‎ 典型例题六 例 如图,已知是圆的弦,,是圆的切线,并且与弦的延长线相交于点,求证:.‎ 分析:欲证明乘积式,只需证比例式,只需证明∽.‎ 证明 ,‎ ‎,‎ 又是圆的切线,‎ 故∽,‎ ‎,即.‎ 说明:本题着重考查圆周角、弦切角以及创建相似三角形证明比例线段的基础知识和基本方法.本题是1996年上海中等学校招生试题,难度不大,但体现了证题的基本方法.‎ 典型例题七 例 如图,已知为⊙的弦,切⊙于,于,于,于,求证:.‎ 分析:要证,只需证,但要直接证明有困难,考虑通过过渡比来解决.‎ 证明 连结、‎ 说明:证明线段成比例,如果直接证明比较困难,就要想方设法找出过渡线段或过渡比,本例中的就是过渡比.‎ 典型例题八 例 已知:如图,设是正三角形外接圆上的一点,交于.‎ 求证:(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 证明 (1)在上截取,连结.‎ 是正三角形 又≌ ‎ ‎,‎ ‎.即 又,‎ 是等边三角形 ‎.‎ 即 ‎(2),,‎ ‎∽,‎ 即.‎ 又,,‎ ‎∽‎ ‎ ‎ 由上所得:‎ 又 即 ‎ 又,‎ ‎(3)由知,‎ 等式两边同时除以,得:‎ 由知,‎ 即.‎ 说明:本题利用圆中知识点,证明三角形相似,然后推出有关的比例式,证明结论.这是一道典型的综合题.有一定难度,望同学们多思考,多训练从而达到巩固知识,提高能力的目的.‎ 典型例题九 例 如图,CD为⊙O的直径,AE切⊙O于B,DC的延长线交AB于A,.求:的度数.‎ 解 连结CB.∵BE切⊙O于B,‎ ‎∵CD为直径,‎ 在中,‎ 说明:本题考查弦切角性质,解题关键是连结BC,构造弦切角,易错点是不能正确作出辅助线.‎ 典型例题十 例 (黑龙江省,1999)已知四边形ABCD为圆内接四边形,AD为圆的直径,直线MN切圆于B,DC的延长线交MN于G,若,则的值为多少?‎ 解 连结BD.‎ ‎∵MN为⊙O的切线,‎ 为⊙O的直径,‎ ‎∵四边形ABCD为圆内接四边形,‎ 说明:本题综合考查弦切角与三角函数知识,解题关键是连BD,构成直角三角形,易错点是记错特殊角的三角函数值.‎ 典型例题十一 例 (北京市海淀区,2000)已知:如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,A是的中点,过A点的切线与CB的延长线相交于点E.(1)求证:;(2)若点E在CB延长线上运动,点A在上运动,使切线EA变为割线EFA,其它条件不变,问具备什么条件使原结论成立?(要画出示意图,注明条件,不要求证明).‎ 证明 (1)连结AC.‎ ‎∵A是的中点,∴‎ ‎∴EA切⊙O于点A,点C在⊙O上,‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,‎ 解 (2)如图,具备条件(或或,或等),使原结论成立.‎ 说明:本题主要考查弦切角的应用.解题关键是作辅助线,使构成的与相似,易错点是画不出或画错(2)小题的图形.‎ 选择题 ‎1.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为( )‎ ‎ (A)105° (B)115° (C)120° (D)125°‎ ‎2.如图,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )‎ ‎(A)2 (B)3 (C)2 (D)4‎ ‎3.如图,直线切⊙于点,则图中的弦切角共有()‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4.如图,是⊙的直径,,是⊙的弦,是⊙的切线,切点为,,那么等于()‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图,在⊙中,是弦,是⊙的切线,是切点,过作于,交⊙于点,若平分,则=()‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如图,⊙与⊙交于,,⊙的弦与⊙相切于点,⊙的弦与⊙相切于点,则下列结论中正确的是()‎ A. B. C. D.无法确定 ‎7.如图,是⊙内接四边形两条对角线的交点,延长线与过点的⊙的切线交于点,若,,,则的度数为()‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图,是⊙的直径,,是⊙的弦,是⊙的切线,切点为,,那么等于(  ). ‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎9.如图,经过⊙上的点的切线和弦的延长线相交于点,若,,则所对的弧的度数为(  ). ‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎10.过圆内接的顶点引切线交延长线于,若,,则为(  ).‎ ‎ A.   B.   C.   D.‎ ‎11.过圆内接四边形的顶点引切线,为圆直径,若,则为(  ).‎ ‎ A.  B.  C.  D.‎ 答案:‎ ‎1.D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C. 8.B;9.C;10.A;11.B.‎ 填空题 ‎1.已知一个圆的弦切角等于50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 .‎ ‎2.如图,AB是直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,若CD切⊙O于C点,则∠CAB的度数为 ,∠DCB的度数为 ,∠ECA的度数为 .‎ ‎3.如图,,是⊙的两条切线,切点分别为、、是优弧上的点,已知,那么度。‎ ‎4.如图,是⊙的弦,是⊙的切线,为上任一点,,那么=________‎ ‎5. 如图,,切⊙于,两点,,且与⊙相交于,若,则=________‎ ‎6.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,与⊙O切于C,那么度.‎ ‎7.已知:一个圆的弦切角是50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________.‎ ‎8.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,,则.‎ ‎9.如图,中,,⊙O切AB于D,切BC于E,切AC于F,则.‎ ‎10.如图,是⊙的直径,,是⊙上的点,,=,是⊙的切线,则的度数是_________.‎ ‎11.是⊙的弦,是⊙的切线,为上任一点,,那么_________. ‎ ‎12.如图,是⊙的直径,,分别切⊙于,,若,则_________.‎ 参考答案:‎ 1. ‎100°‎ 2. ‎30° 30° 60°‎ 3. ‎50‎ 4. 5. ‎6.30‎ ‎7.100°‎ ‎8.55°‎ ‎9.45°. ‎ ‎10.;‎ ‎11.或;‎ ‎12.‎ 解答题 ‎1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB∥DE,AC切⊙O于A,交ED延长线于C.‎ 求证:AE:AE=DC:BE ‎2.如图,PA切⊙O于A,PB交⊙O于B、C,若=,AE交BC于D,且∠BEA=30°,DB=1,求AP及PB长.‎ ‎3.如图,四边形内接于⊙,过点的切线,与的延长线相交于点,求证:‎ ‎4.如图,切⊙于,是直径,交 ⊙于,是切线,于,,。求的长。‎ ‎5.如图,,,过点作圆的切线,若,求的度数。‎ ‎6.如图,MN是⊙O的切线,切点为A,弦CD,弦AB交CD于点E.求证:.‎ ‎7.已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,过点C的切线交AD的延长线于点E,且.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)若,求的正弦值.‎ ‎8.已知,如图,在⊙中,是直径,是弦,直线切⊙于,长为,长为,求点到的距离.‎ ‎9.已知:如图,是的角平分线,过,作圆与切于交于,于.求证:.‎ ‎10.如图,的角平分线交外接圆于,为圆的切线,求证:到,的距离相等.‎ ‎11.已知:如图,为⊙的直径,与⊙相切于点,交⊙于,.求证:.‎ ‎12.已知:如图,圆内接中,,是圆的切线,与圆相交于点,连.求证:. ‎ ‎13.已知:如图,切⊙于,是割线,平分,平分.求证:.‎ ‎14.已知:如图,是⊙的直径,切⊙于点,交⊙于点,的平分线分别交,于点,,交⊙于点,,并且线段,的长是一元二次方程的两根(为常数).‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:⊙的直径长为常数;‎ ‎(3)求的值. ‎ 答案与提示:‎ ‎1.提示:证△ACD∽△ABE即可.‎ ‎2. 提示:如图,连结AC、AB,可证△ABP≌△ABE,再利用垂径定理和解三角形可得BP=2,AP=2‎ ‎3.连结证明∽‎ ‎4.连结 ‎5.过作交于,‎ ‎6.连结BC,证∽‎ ‎7..(1)连结BD、OC相交于F,;(2)∽,‎ ‎8.连.;9.连.证.‎ ‎10.连.证.11.连,.证∽;12.连.证∽.‎ ‎13.证为等腰三角形.‎ ‎14.(1)证∽;‎ ‎(2)证,得.∵,的长是两根,可得,即⊙的直径为常数.‎ ‎(3)∵切⊙于,为直径,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴①.‎ ‎∵②,∴,.∴.‎ 在中,.‎ 在中,.‎ ‎∵,所以.‎