中考数学专题复习练习：圆 10页

例（天津2002中考试题）、已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是（ ）‎ ‎（A）等腰梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）正方形 分析：问题的关键是圆的两条直径具备什么性质，构成特殊四边形的条件.‎ 解：∵AB、CD是⊙O的两条直径，∴AB=CD，且AB、CD互相平分，‎ ‎∴ACBD一定是矩形.应选（C）.‎ 说明：①巩固圆的定义；②研究特殊四边形的顶点共圆问题.是圆与直线形知识的综合.（此题适宜第一课时用）‎ 例 已知等腰直角三角形ABC（如图），试取斜边AB上的一点为圆心画圆，使点A、B、C分别在所画的圆内、圆外和圆上．‎ 分析：确定一个圆有两个条件：圆心和半径，设选取圆心是点O，因为点C要在所画圆上，所以OC即为所画的圆的半径．（此题适宜第一课时用）‎ 解：作中线CD，则AD=BD=CD，且CD⊥AB．‎ ‎ 在AD上任取一点0，连接OC．以0为圆心，OC为半径画圆，这个⊙0即符合要求．这是因为AO＜AD=CD＜OC (垂线段最短)，所以点A在⊙0内．‎ ‎ BO=BD+DO=CD+DO＞CO(三角形两边之和大于第三边)，所以点B在⊙0外．‎ 说明：该题可以激发学生的思维，提高学习兴趣；在画的过程中，复习和巩固知识，培养学生的思维能力.‎ 例 判断题 ‎（1）直径是弦（ ） （2）弦是直径（ ）‎ ‎（3）半圆是弧（ ） （4）弧是半圆（ ）‎ ‎（5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等（ ）‎ 解（略）‎ 说明：通过原命题和逆命题的对比，深刻理解概念.另外这样的题目很多，这里知识抛砖引玉.（此题适宜第二课时用）‎ 例 已知：如图，两同心圆的直径AC、BD相交于O点.求证：AB=CD.‎ 分析：证△AOB≌△COD即可.‎ 证明：∵两同心圆的直径AC、BD相交于O点，‎ ‎∴O点为两同心圆的圆心，∴OA=OC，OB=OD，‎ 又∵∠AOB=∠COD ‎∴△AOB≌△COD（SAS）‎ ‎∴AB=CD.‎ 说明：此题目不难，但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征.（此题适宜第二课时用）‎ 典型例题五 例 ⊙O半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1，问P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？‎ 分析：这是一个很有趣的问题．打一个比方，若把O点看作太阳，则P点好比是地球，Q点好比是月亮．P点到O点距离是2，P点运动时，带着Q也运动，则PQ始终是1．‎ 解：，‎ ‎∴P点在⊙O内部．‎ Q点和O点的距离较复杂，当Q点在OP延长线上时，Q点和O点距离最大，最大距离是3；当Q点在OP上时，Q点和O点的距离最小，最小距离是1；当Q点处在点和点时，．如图．‎ ‎∴Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，⊙O内．‎ 典型例题六 例 如图, 已知矩形的边，.‎ ‎（1）以点为圆心，为半径作⊙，则点、、与⊙的位置关系如何？‎ ‎（2）若以点为圆心作⊙，使、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙的半径的取值范围是什么？‎ 分析：要判定、、与⊙的位置，只需比较、、的长度与半径的大小. ‎ 解 （1），‎ 点在⊙内，‎ ‎，点在⊙上，‎ 点在⊙外 ‎（2），，‎ 也就是说，点到圆心的距离是最短距离，点到圆心的距离是最长距离.‎ 使、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，⊙的半径的取值范围是 说明：要判定平面上一点与圆的位置关系，只须比较该点到圆心的距离与半径的大小.‎ 典型例题七 例 画图说明满足下列条件的点的轨迹：‎ ‎（1）经过点，且半径等于的圆的圆心轨迹；‎ ‎（2）边，面积为的的顶点的轨迹.‎ 分析：（1）圆心是动点，且圆要经过点，故圆心必须到定点的距离等于，属轨迹1.‎ ‎（2）因为的面积为，底，故边上的高为，动点必须到直线的距离等于1，属轨迹4.‎ 解 （1）经过点，且半径等于的圆的圆心轨迹，是以为圆心，为半径的圆，如图(1)‎ ‎ ‎ ‎ 图(1) 图 (2) ‎ ‎（2）边，面积为的的项点的轨迹，是平行于边，且到边的距离等于的两条平行线（图(2)）‎ 说明：根据给定的条件，探求并确定符合条件的轨迹图形，通常是转化为五个基本轨迹.‎ 典型例题八 例 如图，是⊙的直径，，交⊙于，且，求的度数.‎ 分析：是的外角，因此，只要弄清与的关系，即可求出.‎ 解 边结 ‎.‎ 说明：因为同圆的半径相等，所以当圆中有两条半径出现，就有等腰三角形出现，于是可根据等腰三角形的性质定理求得，所以连结半径是常用的辅助线.‎ 典型例题九 例 求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上.‎ 已知：如图，菱形的对角线和相交于点，，，，分别是、、、的中点，求证：、、、四个点在以为圆心的同一圆上.‎ 分析：判定、、、四个点在同一圆上，根据圆的定义，它们应到定点距离都等于定长.因为、、、是菱形各边的中点，根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出、、、到点距离都等于定长，因此命题得证.‎ 证明 连结、、、，‎ 四边形为菱形 ‎，且.‎ ‎、、、分别为、、、的中点，‎ ‎.‎ ‎、、、四点在以为圆心的圆上.‎ 说明：本题为文字叙述题，所以应先写出已知和求证并画出图形；证点共圆，只须证这些点与定点的距离相等即可.‎ 典型例题十 例 如图，在中，，，cm, 以为圆心，cm为半径画圆，指出点与⊙C的位置关系，若要⊙C经过点，则这个圆的半径应有多长. ‎ 解 由已知条件，知cm，cm，所以cm.点在⊙C的外部， ‎ cm，点在⊙C上； cm，点在⊙C的内部.‎ ‎ 要使⊙C经过点，⊙C的半径应等于1.5 cm.‎ 说明：本题考查点与圆的位置关系，解题关键是分别求出点三点到点 的距离.易错点是分不清四点中，哪一点是圆心而导致错误.‎ 典型例题十一 例 如图，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为 .（2002广西壮族自治区中考题）‎ 点评：本题考查的知识为与圆有关的面积.命题的亮点为：试题新颖，考查的角度新，刻意考查“怎么想”，考查数学思想方法的活用.思路对头，心算即得，否则无从下手.解答此题只需将阴影部分旋转集中一起，这时会发现阴影部分的面积恰为单位圆面积的四分之一.‎ 典型例题十二 例 ⊙O的直径为2，各点到O点的距离分别是，和，则在⊙O上的点是 ，在⊙O内的点是 ，在⊙O外的点是 .‎ 解 ，‎ ‎∴ 点在圆上，点在圆内，在圆外.‎ 说明：本题考查点和圆的位置关系，解题关键是求出各点到O点的距离再与半径1比较.易错点是误将直径2当作半径.‎ 选择题 ‎1.下列说法正确的是 ‎（A）两个半圆是等弧 （B）同圆中优弧与半圆的差必为劣弧 ‎（C）同圆中优弧与劣弧的差必为劣弧 （D）由弦和弧组成的图形叫弓形 ‎2. 已知⊙O的直径是6 cm，若P是⊙O内部的一点，则OP的长度的取值范围是( ).‎ ‎ (A) OP＜6cm (B) (C) (D) ‎ ‎3. 两个圆的圆心都是，半径分别为和，且，那么点在（）‎ A．⊙内 B．⊙外 C．⊙外，⊙内 D．⊙内，⊙外 ‎4. 图中，⊙中的点、、以及点、、分别在不同的两直线上，图中弦的条数为（）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5. 是⊙的弦，于，再以为半径作同心圆，称作小⊙，点是上异于、、的任意一点，则点的位置是（）‎ A．在大⊙上 . B．在大⊙的外部. ‎ C．在小⊙内部 . D．在小⊙外且在大⊙内部.‎ ‎6．已知⊙的半径为，线段．则点与⊙的位置关系是（　　）．‎ ‎　A．点在⊙外　　B．点在⊙上 ‎　C．点在⊙内　　D．不能确定 ‎7．⊙的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点（　　）．‎ ‎　A．在⊙内　　　　B．在⊙上 ‎　C．在⊙外　　　　D．可能在⊙内也可能在⊙外 ‎8．在中，，，，以为圆心，以为半径画圆，则点与⊙的位置关系为（　　）．‎ ‎　A．在⊙上　　　B．在⊙外 ‎　C．在⊙内　　　D．与⊙的位置无法确定 ‎9．下面四个命题，真命题的个数为（　　）．‎ ‎①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆 ‎　A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 ‎10．给出下面四个命题：(1)两个端点重合的弧叫等弧；(2)半圆不是弧；(3)可以画一个圆经过已知矩形的四个顶点；(4)到圆心的距离小于半径的点的集合是圆的内部除圆心外的所有点．其中真命题的个数是（　　）．‎ ‎　A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 ‎11．⊙的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（　　）．‎ ‎　A．点在⊙内　　　B．点在⊙上 ‎　C．点在⊙外　　　D．点在⊙上或在⊙外 ‎12．一个点到一个圆的最短距离是，最长距离是，则这个圆的半径是（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．或　　D．或 ‎13．已知为⊙内部一点，经过作⊙的直径，则可作的直径的条数是（　　）．‎ ‎　A．1条　　B．2条　　C．无数条　　D．无数条或1条 答案：‎ ‎1．B 2. C 3. C 4. B 5. D. 6．C；7．B；8．A；9．B；10．A；11．A 12．C；13．D 填空题 ‎1. 以2cm 为半径可以画 个圆，以O为圆心可以画 个圆，以O为圆心，以 2为半径可以画 个圆．‎ ‎2. 已知⊙O的半径为5 cm，P为一点，当OP＝5 cm时，点P在 ；当OP 时，点P在圆内；当OP大于5 cm时，点P在 ‎ ‎3. 在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 .‎ ‎4. 以点C为圆心，任意画三个圆，则它们是 圆.‎ ‎5. 一个圆的最大的弦长为10cm，则此圆的半径为 .‎ ‎6. 如图，则图中有 条直径，有 条弦，以A点为一个端点的优弧有 个，劣弧有 个.‎ ‎7. ⊙的半径为，，那么点与⊙的关系为________‎ ‎8. ⊙的半径为，点在⊙上，，那么与点⊙的位置关系是_______‎ ‎9. 直径相交于点，，当、在、上移动时，中点的轨迹为________‎ ‎10. 已知⊙的半径为1，点与的距离为，且方程有实数根，则在⊙的________.‎ ‎11．若⊙的半径为，点到圆心的距离为，当点在圆外时，则___________；当点在圆上，则__________；当点在圆内时，则__________．‎ ‎12．到的两边距离相等的点的轨迹是____________．‎ ‎13．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是__________________．‎ ‎14．如图，图中有______条直径，________条弦，以为一个端点的优弧有_______个，劣弧有_____个．‎ 答案:‎ ‎1. 无数多，无数多，一个；2. 圆上；；圆外. 3. B，M，A、C. 4. 同心 5. 5cm 6. 1，3，4，4 7. 在⊙的内部 8. 不确定 9. 以为圆心，以为半径的圆 10.在⊙的内部或圆周上. 11．，，；12．‎ 的平分线；13．线段的垂直平分线；14．1，3，4，4.‎ 解答题 ‎1．已知如图，是直径，，交⊙于，且，求的度数.‎ ‎2．已知如图，是⊙的直径，为弦，交于，且，求的长。‎ ‎3．有一长和宽分别为、的矩形，以点为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆的半径的取值范围。‎ ‎4．在中，，，，以为圆心，以为半径作⊙，点、及、的中点、与⊙有怎样的位置关系？‎ ‎5．已知如图，是⊙的直径，是上一点（不同于、），是⊙上一点。求证：.‎ ‎6．点P到圆上的最大距离为8cm，最小距离为6cm，求⊙O的半径，并说明如何找最大距离和最小距离.‎ ‎7．以⊙O的半径OA为边作正方形OABC，求证点B在圆外，点C在圆上，两对角线的交点M在圆内.‎ ‎8．如图，已知：⊙O中，A、B在圆上，AM=BN.‎ 求证：四边形ABNM为等腰梯形 ‎9．求证：直径是圆中最长的弦.‎ ‎10．如图，是⊙的任一直径，是⊙中不过圆心的任一条弦．求证：．‎ ‎11．如图，是⊙的直径，，交⊙于，且，求的度数．‎ ‎12. 如图，已知中，，是两条高．求证：，，，四点在同一个圆周上．‎ 答案：‎ ‎1．提示：连结 ‎ ‎2．‎ ‎3．‎ ‎4．点在圆外、点在圆上，的中点在圆内，的中点在圆外 ‎5．略 ‎6、解：如图，连接OP，直线OP交⊙O于A、B，设M是⊙O上异于点A和点B的一点.连接OM和MP，则有PA=OP+OA=OP+OM＞PM，PB=OB-OP=OM-OP＜PM．由此可以得知PA、PB表示点P到圆上的最大距离和最小距离.‎ ‎[方法一]设⊙O的半径为R，，解得R=7，即⊙‎ O的半径为7cm.‎ ‎ [方法二]设⊙O的半径为R，则有2R＝8+6，解得R=7，即⊙O的半径为7cm.‎ 若点P在圆外，如图，设圆的半径为r，则有6十2r＝8，r＝1，即圆的半径为1 cm.即⊙O的半径为1cm.故此圆的半径为7cm或1 cm ‎7．解：如图，设OA=R，则OC=R=AB=BC.‎ 在Rt△OAB中，‎ ‎∵OC=R，∴点C在圆上；‎ ‎∵，∴点B在圆外；‎ ‎∵正方形对角线交于M，∴‎ ‎∴点M在圆内 ‎8．（略）‎ ‎9．已知：如图， AB是⊙O的直径，CD是非直径的任一弦.‎ 求证：AB>CD.‎ 证明：连结OC、OD 在△ODC中，OC+OD>CD，‎ 又AB是⊙O的直径，∴AB=CO+OD ‎∴AB>CD.‎ ‎10．连结，．在中，∵，且，，∴．‎ ‎11．；12．取的中点，连，．证