人教版九年级数学上册导学案第二十一章 一元二次方程 19页

第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次 项和系数及常数项． 一、自学指导．(10 分钟) 问题 1： 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－ 2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．① 问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时 间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛 1 场，所以全部比赛共 x（x－1） 2 __场．列方程__x（x－1） 2 ＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1 个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2 次__． 归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 __2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数， __bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项． 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数 a≠0 是一个重要条件，不能漏掉． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1； (3)5x2－2x－1 4 ＝x2－2x＋3 5 ； (4)2(x＋1)2＝3(x＋1)； (5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0. 解：(2)(3)(4)． 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数， 这样的方程仍然是整式方程． 2．将方程 3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、 一次项系数及常数项． 解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得 3x2－8x－10＝0.其中二次项 系数是 3，一次项系数是－8，常数项是－10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 1．求证：关于 x 的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论 m 取何值，该方程都是一 元二次方程． 证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1， ∵(m－4)2≥0， ∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0. ∴无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程． 点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2－8m＋17≠0 即可． 2．下面哪些数是方程 2x2＋10x＋12＝0 的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 解：将上面的这些数代入后，只有－2 和－3 满足等式，所以 x＝－2 或 x＝－3 是一元 二次方程 2x2＋10x＋12＝0 的两根． 点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相 等即可． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9 分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y； (3)2x2－3x－1＝0; (4) 1 x2 －2 x ＝0； (5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是． 2．若 x＝2 是方程 ax2＋4x－5＝0 的一个根，求 a 的值． 解：∵x＝2 是方程 ax2＋4x－5＝0 的一个根， ∴4a＋8－5＝0， 解得 a＝－3 4. 3．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； (2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x. 解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调 a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．2 解一元二次方程 21．2.1 配方法(1) 1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程． 2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能． 重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想． 难点：通过根据平方根的意义解形如 x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意 义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程． 一、自学指导．(10 分钟) 问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的 正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的 面积列出方程： __10×6x2＝1500__， 由此可得__x2＝25__， 根据平方根的意义，得 x＝__±5__， 即 x1＝__5__，x2＝__－5__． 可以验证__5__和－5 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm. 探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5 及方程 x2＋6x＋9 ＝4? 方程(2x－1)2＝5 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可 将方程变形为__2x－1＝± 5__，即将方程变为__2x－1＝ 5和__2x－1＝－ 5__两个一元一 次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5 的两个解为 x1＝__1＋ 5 2 ，x2＝__1－ 5 2 __． 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次 方程，这样问题就容易解决了． 方程 x2＋6x＋9＝4 的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次， 得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为 x1＝ __－1__，x2＝__－5__. 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程 能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得 x＝± p或 mx＋n＝± p. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟) 解下列方程： (1)2y2＝8； (2)2(x－8)2＝50； (3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0. 解：(1)2y2＝8， (2)2(x－8)2＝50， y2＝4， (x－8)2＝25， y＝±2， x－8＝±5， ∴y1＝2，y2＝－2； x－8＝5 或 x－8＝－5， ∴x1＝13，x2＝3； (3)(2x－1)2＋4＝0， (4)4x2－4x＋1＝0， (2x－1)2＝－4<0， (2x－1)2＝0， ∴原方程无解； 2x－1＝0， ∴x1＝x2＝1 2. 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能， 则可运用直接开平方法解． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 1．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24； (3)9n2－24n＋16＝11. 解：(1)－1± 7 3 ；(2)－1±2 6；(3)4± 11 3 . 点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根． 2．已知关于 x 的方程 x2＋(a2＋1)x－3＝0 的一个根是 1，求 a 的值． 解：±1. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9 分钟) 用直接开平方法解下列方程： (1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5； (3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0； (5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25； (7)x2＋2x＋1＝4. 解：(1)x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2； (2)x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5； (3)x1＝－1，x2＝1 3 ； (4)x1＝1 6 ，x2＝－1 6 ； (5)x1＝9 2 ，x2＝－9 2 ； (6)x1＝0，x2＝－10； (7)x1＝1，x2＝－3. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想． 3．理解 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么 p≥0? 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．2.1 配方法(2) 1．会用配方法解数字系数的一元二次方程． 2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程． 重点：掌握配方法解一元二次方程． 难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b 的过程． (2 分钟) 1．填空： (1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2； (2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2； (3)x2＋px＋__(p 2)2__＝(x＋__p 2__)2. 2．若 4x2－mx＋9 是一个完全平方式，那么 m 的值是__±12__． 一、自学指导．(10 分钟) 问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽分别是多 少米？ 设场地的宽为 x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为 16 m2，得到方程__x(x＋6) ＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__． 探究：怎样解方程 x2＋6x－16＝0? 对比这个方程与前面讨论过的方程 x2＋6x＋9＝4，可以发现方程 x2＋6x＋9＝4 的左边 是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x2＋6x－16＝0 不 具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 解：移项，得 x2＋6x＝16， 两边都加上__9__即__(6 2)2__，使左边配成 x2＋bx＋(b 2)2 的形式，得 __x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__， 左边写成平方形式，得 __(x＋3)2＝25__， 开平方，得 __x＋3＝±5__， (降次) 即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__， 解一次方程，得 x1＝__2__，x2＝__－8__． 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是 为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程． 问题 2：解下列方程： (1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9. 解：(1)x＝± 2；(2)x1＝－1 2 ，x2＝5 2 ； (3)x1＝－7 2 ，x2＝－1 2. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0； (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数 a； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两 个一元一次方程来解． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8 分钟) 1．填空： (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； (2)x2－x＋__1 4__＝(x－__1 2__)2； (3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2. 2．解下列方程： (1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0； (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)移项，得 x2＋6x＝－5， 配方得 x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4， 由此可得 x＋3＝±2，即 x1＝－1，x2＝－5. (2)移项，得 2x2＋6x＝－2， 二次项系数化为 1，得 x2＋3x＝－1， 配方得 x2＋3x＋(3 2)2＝(x＋3 2)2＝5 4 ， 由此可得 x＋3 2 ＝± 5 2 ，即 x1＝ 5 2 －3 2 ， x2＝－ 5 2 －3 2. (3)去括号，整理得 x2＋4x－1＝0， 移项得 x2＋4x＝1， 配方得(x＋2)2＝5， x＋2＝± 5，即 x1＝ 5－2，x2＝－ 5－2. 点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方式． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5 分 钟) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点 P，Q 同时由 A，B 两点 出发分别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半？ 解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 1 2(8－x)(6－x)＝1 2 ×1 2 ×8×6， 即 x2－14x＋24＝0， (x－7)2＝25， x－7＝±5， ∴x1＝12，x2＝2， x1＝12，x2＝2 都是原方程的根，但 x1＝12 不合题意，舍去． 答：2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半． 点拨精讲：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根 据已知条件列出等式． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8 分钟) 1．用配方法解下列关于 x 的方程： (1)2x2－4x－8＝0； (2)x2－4x＋2＝0； (3)x2－1 2x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5. 解：(1)x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5； (2)x1＝2＋ 2，x2＝2－ 2； (3)x1＝1 4 ＋ 17 4 ，x2＝1 4 － 17 4 ； (4)x1＝ 6 2 ，x2＝－ 6 2 . 2．如果 x2－4x＋y2＋6y＋ z＋2＋13＝0，求(xy)z 的值． 解：由已知方程得 x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋ z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋ z＋2＝0， ∴x＝2，y＝－3，z＝－2. ∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝ 1 36. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．2.2 公式法 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程． 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导． (2 分钟) 用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－1； (2)无解． 一、自学指导．(8 分钟) 问题：如果这个一元二次方程是一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法 的步骤求出它们的两根？ 问题：已知 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根 x1 ＝－b＋ b2－4ac 2a ，x2 ＝ －b－ b2－4ac 2a . 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把 a，b，c 也当成一个具体数字，根据 上面的解题步骤就可以一直推下去． 探究：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0，当 b2－4ac≥0 时， 将 a，b，c 代入式子 x＝－b± b2－4ac 2a 就得到方程的根，当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根． (2)x＝－b± b2－4ac 2a 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2 个实数根，也可能有__1__个实根或者__ 没有__实根． (5)一般地，式子 b2－4ac 叫做方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母 Δ表示，即Δ＝b2－4ac. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ (1)2x2－3x＝0； (2)3x2－2 3x＋1＝0； (3)4x2＋x＋1＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝3 2 ；有两个不相等的实数根； (2)x1＝x2＝ 3 3 ；有两个相等的实数根； (3)无实数根． 点拨精讲：Δ＞0 时，有两个不相等的实数根；Δ＝0 时，有两个相等的实数根；Δ＜0 时，没有实数根． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 1．方程 x2－4x＋4＝0 的根的情况是( B ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．当 m 为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解：(1)m＜1 4 ； (2)m＝1 4 ； (3)m ＞1 4. 3. 已知 x2＋2x＝m－1 没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根. 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0 没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程 x2＋mx＝1－2m，即 x2＋mx＋2m－1＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况： (1)2x2－3x－3 2 ＝0; (2)16x2－24x＋9＝0； (3)x2－4 2x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根； (4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－ 2x－1 4 ＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2 5x＋10＝0. 解：(1)x1＝3，x2＝－4； (2)x1＝ 2＋ 3 2 ，x2＝ 2－ 3 2 ； (3)x1＝1，x2＝－3； (4)x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6； (5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根． 点拨精讲：(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数 a，b，c 确定的； (2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 b2－4ac≥0 的前提下，把 a，b，c 的值代入 x＝－b± b2－4ac 2a (b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 1.求根公式的推导过程． 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c 的值，再算．出 b2－4ac 的值、 最后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．2.3 因式分解法 1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程． 2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多 样性． 重点：用因式分解法解一元二次方程． 难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想． (2 分钟) 将下列各题因式分解： (1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m； (2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__； (3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__． 一、自学指导．(8 分钟) 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地的高度(单位：m)为 10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面 吗？(精确到 0.01s) 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即 10x－4.9x2＝0， ① 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？ 分析：方程①的右边为 0，左边可以因式分解得： x(10－4.9x)＝0， 于是得 x＝0 或 10－4.9x＝0， ② ∴x1＝__0__，x2≈2.04． 上述解中，x2≈2.04 表示物体约在 2.04 s 时落回地面，而 x1＝0 表示物体被上抛离开地 面的时刻，即 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0 m. 点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为 0，然后对方程左边进行因式分 解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法． (2)如果 a·b＝0，那么 a＝0 或 b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0， 那么__x＋1＝0 或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟) 1．说出下列方程的根： (1)x(x－8)＝0； (2)(3x＋1)(2x－5)＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝8； (2)x1＝－1 3 ，x2＝5 2. 2．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0； (3)5x2－20x＋20＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝7 2 ，x2＝－7 2 ； (3)x1＝x2＝2. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)5x2－4x＝0； (2)3x(2x＋1)＝4x＋2； (3)(x＋5)2＝3x＋15. 解：(1)x1＝0，x2＝4 5 ； (2)x1＝2 3 ，x2＝－1 2 ； (3)x1＝－5，x2＝－2. 点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是 0，另一边可以分解因 式． 2．用因式分解法解下列方程： (1)4x2－144＝0； (2)(2x－1)2＝(3－x)2； (3)5x2－2x－1 4 ＝x2－2x＋3 4 ； (4)3x2－12x＝－12. 解：(1)x1＝6，x2＝－6； (2)x1＝4 3 ，x2＝－2； (3)x1＝1 2 ，x2＝－1 2 ； (4)x1＝x2＝2. 点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋x＝0; (2)x2－2 3x＝0； (3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0； (5)(x－4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x1＝0，x2＝－1； (2)x1＝0，x2＝2 3； (3)x1＝x2＝1； (4)x1＝11 2 ，x2＝－11 2 ； (5)x1＝3，x2＝1. 点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__； (2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__； (3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 2．把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场 地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 x m. 则可列方程 2πx2＝π(x＋5)2. 解得 x1＝5＋5 2，x2＝5－5 2(舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋5 2) m. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 1．用因式分解法解方程的根据由 ab＝0 得 a＝0 或 b＝0，即“二次降为一次”． 2．正确的因式分解是解题的关键． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－b a ，x1x2＝c a. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题． 重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用． 难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用． 一、自学指导．(10 分钟) 自学 1：完成下表： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； 答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x2＋px＋q＝0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 自学 2：完成下表： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 2x2－3x－2＝0 2 －1 2 3 2 －1 3x2－4x＋1＝0 1 3 1 4 3 1 3 问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律： ①用语言叙述发现的规律； 答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系 数之比． ②ax2＋bx＋c＝0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律． 答：x1＋x2＝－b a ，x1x2＝c a. 自学 3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理) ax2＋bx＋c＝0 的两根 x1＝__－b＋ b2－4ac 2a __，x2＝__－b－ b2－4ac 2a __． x1＋x2＝－b a ，x1x2＝c a. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－3x－1＝0 ； (2)2x2＋3x－5＝0； (3)1 3x2－2x＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1； (2)x1＋x2＝－3 2 ，x1x2＝－5 2 ； (3)x1＋x2＝6，x1x2＝0. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10 分 钟) 1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2. 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝－7 3 ，x1x2＝－3； (3)x1＋x2＝5 4 ，x1x2＝1 4. 点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对 a，b，c. 2．已知方程 2x2＋kx－9＝0 的一个根是－3，求另一根及 k 的值． 解：另一根为3 2 ，k＝3. 点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将 x＝－3 代入方程先求 k，再求 另一个根；一种是利用根与系数的关系解答． 3．已知α，β是方程 x2－3x－5＝0 的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1) 1 α ＋1 β ； (2)α2＋β2； (3)α－β. 解：(1)－3 5 ；(2)19；(3) 29或－ 29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8 分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积： (1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2； (3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1； (3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8； (4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36. 2．两根均为负数的一元二次方程是( C ) A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0 C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0 点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之 积为正数． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值； 求得方程的另一根和方程中的待定系数的值． 1．先化成一般形式，再确定 a，b，c. 2．当且仅当 b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系． 3．要注意比的符号：x1＋x2＝－b a(比前面有负号)，x1x2＝c a(比前面没有负号)． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．3 实际问题与一元二次方程(1) 1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二 次方程并求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键． 重点：列一元二次方程解决实际问题． 难点：找出实际问题中的等量关系． 一、自学指导．(12 分钟) 问题 1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个人？ 分析： ①设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了 __x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感； ②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__ 人患了流感． 则列方程： __(x＋1)2＝121__， 解得__x＝10 或 x＝－12(舍)__， 即平均一个人传染了__10__个人． 再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ 问题 2：一个两位数，它的两个数字之和为 6，把这两个数字交换位置后所得的两位数 与原两位数的积是 1008，求原来的两位数． 分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为 __10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)] ＝1008__， 解得 x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为 24 或 42. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟) 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共 送了 2550 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为( ) A．x(x＋1)＝2550 B．x(x－1)＝2550 C．2x(x＋1)＝2550 D．x(x－1)＝2550×2 分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相 片，全班共送出 x(x－1)张相片，可列方程为 x(x－1)＝2550. 故选 B. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干和小分支的总数是 91，求每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出 x 个小分支，则有 1＋x＋x2＝91， 即 x2＋x－90＝0， 解得 x1＝9，x2＝－10(舍去)， 故每个支干长出 9 个小分支． 点拨精讲：本例与传染问题的区别． 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和 比这个两位数小 4，设个位数字为 x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7 分钟) 1．两个正数的差是 2，它们的平方和是 52，则这两个数是( C ) A．2 和 4 B．6 和 8 C．4 和 6 D．8 和 10 2．教材 P21 第 2 题、第 3 题 学生总结本堂课的收获与困惑．(3 分钟) 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的__根__； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 2. 对于数字问题应注意数字的位置． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．3 实际问题与一元二次方程(2) 1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并 求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键． 重点：如何解决增长率与降低率问题． 难点：理解增长率与降低率问题的公式 a(1±x)n＝b，其中 a 是原有量，x 为增长(或降低) 率，n 为增长(或降低)的次数，b 为增长(或降低)后的量． 一、自学指导．(10 分钟) 自学：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨乙种药品的 成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到 0.01) 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的 年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成 本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题． 分析： ①设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元， 两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元． 依题意，得__5000(1－x)2＝3000__． 解得__x1≈0.23，x2≈1.77__． 根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__． ②设乙种药品成本的年平均下降率为 y.则， 列方程：__6000(1－y)2＝3600__． 解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__． 答：两种药品成本的年平均下降率__相同__． 点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降 前及降后的价格． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8 分钟) 某商店 10 月份的营业额为 5000 元，12 月份上升到 7200 元，平均每月增长百分率是多 少？ 【分析】如果设平均每月增长的百分率为 x，则 11 月份的营业额为__5000(1＋x)__元， 12 月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元． 由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__． 点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增 长数与基准数的比． 增长率＝增长数∶基准数 设基准数为 a，增长率为 x， 则一月(或一年)后产量为 a(1＋x)； 二月(或二年)后产量为 a(1＋x)2； n 月(或 n 年)后产量为 a(1＋x)n； 如果已知 n 月(n 年)后产量为 M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n. 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率．(利息税 20%) 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息 是 1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000＋2000x·80%，其他依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x， 则 1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320， 整理，得 1280x2＋800x＋1600x＝320，即 8x2＋15x－2＝0， 解得 x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%. 答：所求的年利率是 12.5%. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6 分钟) 青山村种的水稻 2011 年平均每公顷产 7200 kg，2013 年平均每公顷产 8460 kg，求水稻 每公顷产量的年平均增长率． 解：设年平均增长率为 x， 则有 7200(1＋x)2＝8460， 解得 x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)． 即年平均增长率为 8%. 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 8%. 点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解． 学生总结本堂课的收获与困惑．(3 分钟) 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符 合实际意义． 2. 若平均增长(降低)率为 x，增长(或降低)前的基数是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b， 则有：a(1±x)n＝b(常见 n＝2)． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟) 21．3 实际问题与一元二次方程(3) 1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一 个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题． 重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际 问题． 难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 一、自学指导．(10 分钟) 问题：如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封 面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积 是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度？(精确到 0.1 cm) 分析：封面的长宽之比是 27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__， 若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下边衬与左右边衬的 宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__． 探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟) 在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成 一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米，求金色纸边的宽． 解：设金色纸边的宽为 x 分米，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80. 解得 x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)． 答：金色纸边的宽为 1 分米． 点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分 钟) 如图，某小区规划在一个长为 40 m、宽为 26 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽度 的马路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面 积都是 144 m2，求马路的宽． 解：假设三条马路修在如图所示位置． 设马路宽为 x，则有 (40－2x)(26－x)＝144×6， 化简，得 x2－46x＋88＝0， 解得 x1＝2，x2＝44， 由题意：40－2x＞0，26－x＞0, 则 x＜20. 故 x2＝44 不合题意，应舍去，∴x＝2. 答：马路的宽为 2 m. 点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟) 1．如图，要设计一幅宽 20 cm、长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部 分)，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何 设计彩条的宽度．(精确到 0.1 cm) 解：设横彩条的宽度为 3x cm，则竖彩条的宽度为 2x cm. 根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－1 4)×20×30. 解得 x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意，舍去)． 故 3x＝1.8，2x＝1.2. 答：横彩条宽为 1.8 cm，竖彩条宽为 1.2 cm. 2．用一根长 40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为 75 cm2. (1)求此长方形的宽是多少？ (2)能围成一个面积为 101 cm2 的长方形吗？若能，说明围法． (3)若设围成一个长方形的面积为 S(cm2)，长方形的宽为 x(cm)，求 S 与 x 的函数关系式， 并求出当 x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？ 解：(1)设此长方形的宽为 x cm，则长为(20－x) cm. 根据题意，得 x(20－x)＝75， 解得 x1＝5，x2＝15(舍去)． 答：此长方形的宽是 5 cm. (2)不能．由 x(20－x)＝101，即 x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程 无解，故不能围成一个面积为 101 cm2 的长方形． (3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x. 由 S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100 知，当 x＝10 时，S 的值最大，最大面积为 100 cm2. 点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟) 用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系 列方程． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)