九年级数学上册第二章一元二次方程小结与复习课件新版北师大版 24页

小结与复习 第二章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 一、一元二次方程的基本概念 1. 定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 要点归纳 3. 项数和系数： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 一次项： ax 2 一次项系数： a 二次项： bx 二次项系数： b 常数项： c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2 ； (3) 二次项系数不为 0 ； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （ 1 ）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （ 2 ）设元：就是设未知数 , 分直接设与间接设 , 应根据实际需要恰当选取设元法． （ 3 ）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （ 4 ）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （ 5 ）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例 1 若关于 x 的方程 ( m -1) x 2 + mx -1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠1 B. m =1 C. m ≥1 D. m ≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为 0 ），因此它的系数 m -1≠0, 即 m ≠1 , 故选 A. A 1. 方程 5 x 2 - x -3= x 2 -3+ x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将 x =0 代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把 x =0 代入就可以得到以 m 为未知数的方程 m 2 -1=0 ，解得 m =±1 的值 . 这里应填 -1 . 这种题的解题方法我们称之为“有根必代” . 例 2 若关于 x 的一元二次方程 （ m -1) x 2 + x + m 2 -1=0 有一个根为 0, 则 m = . 易错提示 求出 m 值有两个 1 和 -1 , 由于原方程是一元二次方程，所以 1 不符合，应引起注意 . -1 针对训练 2. 一元二次方程 x 2 + px -2=0 的一个根为 2 ，则 p 的值为 . -1 【 易错提示 】 (1) 配方法的前提是二次项系数是 1 ； （ a - b ) 2 与 （ a + b) 2 要准确区分； （ 2 ） 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （ 2 ） 先求出方程 x 2 ﹣13 x +36=0 的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 考点三 一元二次方程的解法 例 3 (1) 用配方法解方程 x 2 -2 x -5=0 时，原方程应变为（ ） A. ( x -1) 2 =6 B.( x +2) 2 =9 C. ( x +1) 2 =6 D.( x -2) 2 =9 (2) ( 易错题） 三角形两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 ﹣13 x +36=0 的根，则该三角形的周长为（　） 　 A．13 B． 15 C．18 D．13或18 A A 3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 ，边 AB 的长是方程 x 2 -7 x +12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24 A 针对训练 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -3 m =4 x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m <2 C. m ≥0 D. m <0 A 易错提示 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a , b , c 的值 . 解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0 , 即 4 2 -4×1× （ -3 m )=16+12 m >0, 解得 , 故选 A . Δ 5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x 2 + x =0 B. 5 x 2 -4 x -1=0 C.3 x 2 -4 x +1=0 D. 4 x 2 -5 x +2=0 6. （开放题） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 - x + m =0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 　　 （写出一个即可）． D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例 5 已知一元二次方程 x 2 － 4 x － 3 ＝ 0 的两根为 m ， n ， 则 m 2 － mn ＋ n 2 ＝ ． 25 解析 根据根与系数的关系可知， m + n =4, mn =-3. m 2 － mn ＋ n 2 ＝ m 2 + n 2 - mn =( m + n ) 2 -3 mn =4 2 -3 ×(-3)=25. 故填 25. 【 重要变形 】 针对训练 7. 已知方程 2 x 2 +4 x -3=0 的两根分别为 x 1 和 x 2 , 则 x 1 2 + x 2 2 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 考点六 一元二次方程的应用 例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元，平均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨 2 元，平均每天就少售出 4 件 . (1) 若公司每天的销售价为 x 元，则每天的销售量为多少？ （ 2 ） 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设 公司每天的销售价为 x 元 . 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x -20 32-2( x -24) 150 其等量关系是：总利润 = 单件利润 × 销售量 . 解： （ 1 ） 32-( x -24) ×2=80-2 x ; （ 2 ） 由题意可得 ( x -20)(80-2 x )=150. 解得 x 1 =25, x 2 =35. 由题意 x ≤28, ∴ x =25, 即售价应当为 25 元 . 【 易错提示 】 销售量在正常销售的基础上进行减少 . 要注意验根 . 128 例 7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销 . 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . 求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是 x ，根据题意得 5 （ 1- x ) 2 =3.2 解得 x 1 =1.8 ( 舍去） , x 2 =0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. 平均变化率问题 几何问题 例 8 如图 1 ，在宽为 20 米，长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽 . 图 1 解析 本题 利用图形的变换 —— 平移，把零散的图形面积集中化，再建立方程并求解 . 解：设道路宽为 x 米，由平移得到图 2 ，则宽为 (20- x ) 米，长为 （ 32- x ) 米，列方程得 （ 20- x )(32- x )=540 ， 整理得 x 2 -52 x +100=0. 解得 x 1 =50 ( 舍去）， x 2 =2. 答：道路宽为 2 米 . 图 2 图 1 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解 . （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 8. ( 易错题）要在一块长 52 米，宽 48 米的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案 . 52 48 x x 图① 小亮设计的方案如图①所示，甬面宽度均为 x m , 剩下四块绿地面种共 2300m 2 . 小颖设计的方案如图②所示， BC = HE = x m, AB ∥ CD , HG ∥ EF , AB ⊥ EF , ∠1=60 °. x x G F H E A D ( 1 B C 图② 52 48 针对训练 解 : (1) 根据小亮的设计方案列方程，得 （ 52- x )(48- x )=2300 . 解得 x 1 =2, x 2 =98 ( 不合题意，舍去） . 答：小亮设计方案中甬路的宽度为 2m ； (2) 在图 2 中作 AI ⊥ CD , HJ ⊥ EF , 垂足分别是为 I , J . ∵ AB ∥CD , ∴ 四边形 ADCB 是平行四边形 . 由（ 1 ）得 x =2, ∴ AD = BC = HE =2m. 在 Rt △ ADI 中， ∠ ADC = ∠ 1=60 ° ， AD =2 m , ∴ AI = m, 同理 HJ= m. ∴ 小颖设计方案中四块绿地的总面 积 =52 ×48-2 ×52-2×48+ =2299 （ m 2 ). x x G F H E A D ( 1 B C 图② 52 48 J I 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念： ①整式方程； ②一元； ③二次 . 一般形式： ax 2 +bx+c=0 ( a ≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式 ： Δ = b 2 - 4 ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 课堂小结