全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC 29页

对称法 ♠ 电流叠加法 ♠ Y-△变换法 ♠ 对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、 合，对称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串 并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加 后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任 一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电 源的电路电流分布．这就是电流的可叠加性．对于一 些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠 加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题 转化成具有对称性的问题加以解决 。 　　利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的． 解: A B CD E F H G A C B D E G F H 3 3 4 3 AC R RR R R R    则 AC间等效电阻: 如图所示，12个阻值都是R的电阻，组 成一立方体框架，试求AC间的电阻RAC 、AB间的电阻 RAB与AG间的电阻RAG． 续解 A B CD E F H G AB间等效电阻: E G F H A B CD 2 R R 2 2 2.5 2 2 2.5 7 12AB RR R R R R RR R R R R                        则 续解 A B CD E F H G AG间等效电阻: F H C A B E D G 6 R 3 R 3 R 5 6AG RR 则 解: A B 0 2 r电源外电路等效电阻: 0 0 0 0 0 2.5 5 2 40 .5 7 7AB r r R r r r       通过电源的电流由 6.0 A 40/7 1.05A AB I R    如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω 的电阻丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通 过电池的电流． 波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几 何图形．他将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边 长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边 三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着再 将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分 割就得到图3的图形．经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有 自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相 似性就是将其中一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就 得到图2的图形．如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯 基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空． 图1 图2 图3 图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了 一门称为“分形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分 形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的 进展． 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成 的电阻网络的等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的 电阻均为r；经一次分割得到如图2所示的图形，其中每个小三角形 边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割 得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形 ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形， 其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分 之一． ⑴ 试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻． ⑵ 试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的 等效电阻 A B C D E F A B C D E F A B Cl 0 A B C D E F K G I J 解答 解: 读题 对三角形ABC,任意两点间的电阻 r0 2 3 R r A B C 对分割一次后的图形 2 r 1 6 3 5 9 25R r r   5 6 r 对分割二次后的图形 5 12 r 25 6 r      2 2 5 6 2 3 R r        可见,分割三次后的图形 3 3 125 2 2 3 5 6 3 4 r rR        2 5 3 6n n R r      递推到分割n次后的图形 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电 阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻． 解: A B A B B A  B Ar  3 4ABR r A B A B 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网 络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中A、B两点间的等效电阻RAB． 解: 三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻R/4. 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图 4 R 8 R B A 8 8 2 8 8 2 AB R R R R R R R            5 48 R 4 R 正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻均为 R．试求RAB和RCD． 解: 3 4ABR r B A E F 2 R 4 R 2 R 2RA B H I E 乙 2 R 2 R D C I G H L 甲 甲 B A F D C I G H L E DC 丙 2 R 2 R 2 R 2 R 3 8CDR r 解:解题方向:由于对称，可将AB中垂线上各电势点拆 分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有 自相似性的无限网络，其基本单元如图丙  B  BnAn nA nB Rx R R R R 2R 丙 BA 甲 A A B A B 乙 当n→∞时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x RR R R R R R RR R R R R              7 1 3xR R  7 1 3AB aR    试求框架上A、B两点间的电阻RAB．此框架是用同种细金属制 作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所 示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半． 解:解题方向:将原无限长立体正三棱柱框 架沿左、右递缩为三棱台再“压”在 AB所在平面，各电阻连接如图 A B C 2 rr 2 3 r 3 r 3 3 rx r x rx     由 3 21 6 x r  A B 2 21 21AB rR  如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每一段电阻丝 的电阻均为r，试求A、B两点之间的总电阻． AB C 返回 解: A B A B O O 2 I 8 I A BO 2 4 I 5 2 4 I 5 2 84 24 2 2 AB I R I RI R I I                  29 24AB RR  田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R，试求 网络中A、B两点间的等效电阻RAB． R 2 R 如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结点的导线的 电阻为r0，如果将A和B接入电路，求此导线网的等效电阻RAB． 解: BA 044ABI rIR I        0 2ABR r  解: b a 0 06 33 6ab I II IR RIR                 0abR R 有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成， 如图所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的等效电阻． 如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网 眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB 间的电阻RAB． 解: A B 6 6AB II IR R        3ABR R  半径为R的薄壁导电球由连在A、B两点上的（AO⊥BO，O点是 球心）两根细导线接到直流电源上，如图．通过电源的电流为I0．问在球面上C点处 （OC⊥OA，OC⊥OB）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作两个小标志，使它 们相距R／1000，其连线垂直电荷运动方向．问总电流中有多大部分通过这两标志之连 线？ 解: B A Ｏ B A C i1 i2 C处单位长度上电流 021 2 2c I i R   C处垂直于电荷运动方向 上一段弧是的电流为 021 2 2 1000 I Ri R    02 4000 I   如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为2r，求A、B间的 电阻． 解: A B B A C C 15 I 11 15 I 4 15 I B A 8 15 I 7 15 IC 2 15 I 11 5 10 72 4 15 15 15 15 ABR rII I r                    2ABR r 2r r 4r 返回 A C I A Ic 甲 B IBR A B R A C RBC a c Ia Ic O 乙 Ra Rb Rc b Ib A CA B A A B A C B CB A B A B B C C A C B C C A B C UU I R R UU I R R U U I R R       0 a b a a b b a c a a c c b c b b c c a b c U I R I R U I R I R U I R I R I I I             ab c ac b a a c a b b c U R U R I R R R R R R     A a B b C cI I I I I I   AB ab AC ac BC bcU U U U U U   bc a ba c b a c a b b c U R U R I R R R R R R     ca b cb a c a c a b b c U R U R I R R R R R R     ab c ac b a c a b b c U R U R R R R R R R     bc a ba c a c a b b c U R U R R R R R R R     ca b cb a a c a b b c U R U R R R R R R R     1c a c a b b c AB R R R R R R R    1b a c a b b c AC R R R R R R R R    1a a c a b b c BC R R R R R R R R    Y→△变换 Y Y Y AB BC c a AC b R R R R R R    △→ Y变换 AB AC AB BC AC BC a b c R R R R R R R R R       AB BC ACR R    解: a b BA d c D C A B 4r  AB间等效电阻: c a b O / 2r / 2r / 4r2r r 1.5r 1.25r O B C 2Y 6r 24 / 5r 4r 4r ABR  24 24 4 5 245 5 2 5 24 24 4 5 245 5 2 5 r                     47 80 r 如图所示,一个原来用12根相同的电阻丝构成的立方体框架，每 根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求A、B两点间的电阻． 2 4 4a c b r r r r r R R R r      2 2 1. 26 4 4 51.2 6 55AC AB BCR Rr r r rr R    r 如图所示,甲中三端电容网络为△型网络元，乙中三端电容网络 为Ｙ型网络元，试导出其间的等效变换公式． 解: A C q A qC 甲 B qBC A B C A C CBC 乙 a c q a q c b qb CbCa Cc OA a B b C cq q q q q q   AB ab AC ac BC bcU U U U U U   A AB AB AC AC B BA AB BC BC C CA CA CB BC q U C U C q U C U C q U C U C       0 a b ab a b a c ac a c a b c q q U C C q q U C C q q q       Y→△变换 Y Y Y a b b c a c AB BC CA C C C C C C C C C   △→ Y变换 a b BC CA AB cC C C C C C      Y a b cC C C   AB AC BA BC CB CAC C C C C C    解: R A B R/3 R/8 R/2 R/6 ABR  15 11 R 电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架如图所 示，求构架上A、B两点间电路的电阻． 如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱 柱框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求BD之间的电 阻值． 解: B D R B R/3 D R/6 2R/3 2R/15 3 1 22 3 151 2 BDR R           11 15 R 解: A B 2 R R R/8 R/4 ABR 1 3 1 1 1 8 4 2 12 4 2 R               47 22 R 如图所示，由电阻丝构成的网络中，每一段电 阻丝的电阻均为R，试求RAB． 由7个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如 图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图⑵所示，试求 P、Q两点之间的等效电阻． 解: Rxr r/4 r/2 5 3 4 2 2 5 3 4 2 x x x x x R r r r R rr R R r r r R r              5 55 15xR r  r r r rrr r ⑴ ⑵ P Q 如图所示，一长为L的圆台形均匀导体，两底面 半径分别为a和b ，电阻率为ρ．试求它的两个底面之间的电阻． 解: L ba 2i L nR La i k n          2 1 1 lim lim n n in ni i LR R Ln a i k n                 1 1 1lim 1 n n i L L Ln a i k a i k n n                         1 1 1lim 1 n n i L Lk a i k a i k n n                     1 1 k a b           1 1L a b a b         本题解题方向: 由电 阻定律出发,用微元 法求解! 解: l1 2 i i i r rR n r l       a b 121 nn i i rRl n r               12lim 1 lim nn i n n i rRl n r                  2 Rl be a    ln 2 b l R a    本题解题方向: 由电阻定 律出发,用微元法求解! 一铜圆柱体半径为a、长为l，外面套一个与它 共轴且等长的铜筒，筒的内半径为b，在柱与筒之间充满电阻率为ρ 的均匀物质，如图，求柱与筒之间的电阻． 如图所示的立方体网络中，每一小段电阻丝的 电阻均为R，试求RPQ. 解: / 2R r/4 R Q P P C 2R P C 7 R 3 R 3 R 12 R 4 7 R 2 7 R 12 35PC RR  24 35PQ RR 